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Or, chacun des termes de la fraction du second membre étant un développement fini, il faudrait qu'une exponentielle fût égale, quel que fût x, à une fonction rationnelle finie, ce qui est impos- •tihle, à moins que les deux termes de la fraction ne s'évanouissent séparément. Donc chacune des expressions j^i , y^ vérifie séparément Téquation (9).
Donc Finlégrale générale de l'équation (9) sera
y = CiJt H-C,J„
(^1, C2 étant des constantes arbitraires.
916. Si A et B sont réels, positifs et non entiers, ou s'ils sont des nombres complexes à partie réelle positive, l'équation (11)
donnera seulement une intégrale particulière de (9). Pour trouver une seconde intégrale particulière, posons
Inéquation (9) deviendra, en supprimant le facteur (m H- j:)^~^,
[/[A -^B-^). — i) — (A/3-t-B«-l->«-l->.;S) [m -h.r) -h ap [m -h xY]z -+-[m -h ./•)[A-f-B-+- 2Â — (a-f-jS) [m -^^)]z' -h [m -+- x)»z* = o.
Si l'on choisit X de manière à annuler le terme X(A-|-B-f-X — i), on pourra diviser Téquation par m-f-or, ce qui la ramènera au type de Téquation (i). En négligeant la solution X = o, qui ramènerait Téquation (9), nous prendrons
X = ï — A — B, ce qui donne
[— a(i — A) — .3(1 — B) -h «S(An -+-.r)]2
équation qui ne diffère de (9) que par le changement de
en
et qui aura, par conséquent, pour intégrale, si i — B eti — A sont des nombres positifs,
On aura, dans ce cas, pour seconde intégrale particulière de l'équation (9),
(l5) y = [m-^.vY-^-^ I e"("'-+-^) (//—«)-»(// — jS)-Arftf.
917. L'intégration pourra s'effectuer sous forme finie si les deux nombres A et B sont réels, entiers et négatifs, l'un des deux pouvant même être nuL
En faisant, en effet, la transformation précédente, et posant
4'^X LIVftE 1%'. — LHAP. IV. | IV.
Oïl trouvera, en raisonnant comme au numéro 913,
1 — C,<^ #if — X '-
rii.__^i±.....]
918. «Si A e£ B sont positifs et moindres que l'unité, ou du moins si leurs parties réelles satisfont à cette double condition, les deux int^'grales particulières 'ii i et (i5 ; auront lieu à la fois, et. par suite, ou aura Fintégrale générale en ajoutant leurs produits par des constantes arbitraires.
Il \ aurait seulement exception dans le cas où l'on troublerait A -4- B = f , ce qui. si A et B ont des valeurs complexes, exigerait <|ne les parties réelles de ces deux nombres fussent égales chacune
H-* Dans ce cas. les deux intégrales particulières (ii) et (iS»
sc confondraient en une seule.
Posons, pour abréger, A+ B = K,
les intégrales (ii) et (i5) deviendront alors
e"'Vdu, .V, — I r"UV«-*//ii.
Sî XifJ'2 80*'*' des intégrales de (9)/-^ — b^ sera aussi une inté-
grale particulière, de sorte que l'on pourra remplacer la valeur de y 2 P^^* 1^ suivante :
yi-K I
Si Ton fait tendre i — K vers zéro, le rapport 17— aura pour
limite logV. Donc, dans le cas de A-f- B= i, la seconde intégrale particulière deviendra
>', = j e"''V\og\du
J Cf.
On vériGerait aisément que celte nouvelle intégrale satisfait encore à Téquation différentielle et qu'elle est, comme l'intégrale (il), développable suivant les puissances de m-\-xen une série convergente pour toute valeur de x.
919. Reprenons l'équation (9), et 1° substituons-y pour j' la valeur
(16) j=ze*^z;
2° différentions l'équation transformée
a fois par rapport à or, et posons
L'équation deviendra
( [— (A + rt)B — B«-4-«,3(/w-4- x)]ïî
ce qui ne diffère de l'équation (9) que par le changement de A, r en A-f- a, m.
Or des relations (16) et (17) on tire
(19) n:=e--DJ(c'-*'j).
Donc les deux équations de même forme (9) et (18), qui ne diffèrent que parle changement de Aen A-i-a, auront pour intégrales l'une j, l'autre e^ D^. ( fr'^j ) .
Si l'on pose de même
on verra que l'équation en Y différera de l'équation en r, par le changement de B en B-f- i, et qu'elle aura pour intégrale
Donc, si l'on augmente, dans (9), A de a, B de i, a et i étant deux nombres entiers et positifs, l'intégrale Y de l'équation obte-
iCii LITBC IV. • CHAP. IT. { IT.
nue *^r2 Vute i»jr par la relation
Or, nous a\ons trouvé '918] Fintégrale de l'équation 9 pour le cas où A et B ^ou leurs parties réelles satisfont aux inégalités
Si, au lieu de cela, A et B ■ ou leurs parties réelles > ont des valeurs positives non entières quelconques, on pourra, en les diminuant des plus grands entiers a cl b qu'ils renferment, les ramener entre les limites zéro et 1 . En intégrant Téquation correspondante à A' = A — a, B'=B — A, on en déduira ensuite, par la formule ( 20) , rintégrale générale Y de Téquation proposée.
