Si Ton pose maintenant, comme au n

Téquation en z obtenue différant de (9) par le changement de A etBen i — Bet i — A, ces dernières quantités (ou leurs parties réelles) seront positives si A et B (ou leurs parties réelles) sont négatives. Or, d*après ce que nous venons de voir, nous savons intégrer la nouvelle équation dans tous les cas, et, connaissante, on en déduira immédiatement j^. Donc nous savons intégrer Téquation (9) pour toutes les valeurs négatives de A et de B (ou de leurs parties réelles).

921. Si les nombres A et B sont fractionnaires et de signes contraires, ils devront être réels, sans quoi ils seraient deux quantités complexes conjuguées, dont les parties réelles auraient nécessairement le même signe. Soient, par exemple, A négatif, B positif, et posons

b étant un entier positif, et B' une fraction positive et <^ i . Considérons maintenant Téquation

I [-A?-(B'-i)a4-«S(/iH-.r)]5

qui diffère de Téquation (9) par le changement de ^ et B en z et B' — I = B — (i-f- 1), ce dernier nombre étant négatif et numériquement moindre que Tunité. Cette équation , où A et B' — i sont négatifs, pourra s'intégrer, d'après le numéro précédent.

Connaissante, on aura aisémentj^. En faisant, dans (21), z = e^'(;y diflerentiant i -f- 1 fois, et posant enfin i;C*+i) = ^-Pxjr^ on en tirera

922. Si A et B sont de la forme p ± ù/, p étant positif, on appliquera directement la méthode de Laplace à Téquation (9). Si p est négatif, on fera, comme aux n°* 916 et 920,

et Ton appliquera la méthode de Laplace à Téquation transformée. Dans les deux cas, on obtiendra une seule intégrale particulière. On en trouvera ensuite une seconde en appliquant la méthode de la variation des constantes arbitraires [882].