IIL Dans le cas de £2 = o, on a

— = -, 7 = m -4- /îw H 1

V> o^-h biu u — a

et réquation (i) devient

(aS) ' [A — «(m -f- j:)]j-|- (m -|-.r — nv.]/ -^ ny" =z o.

On a ici

d'où

f/« = ma -\ m' -+- A log ( j/ — a ) ,

{/i, z£2 étant les racines de Téquation

, . «(/IZ-J-Xi-t- -//«

Pour avoir l'intégrale générale de l'équation (25), il faut discuter l'équation (26).

1** Considérons le cas où l'on a

A ]>o, n<^Q\ les racines de l'équation (26) seront

11=1%, 4- 00 , — QO ; l'intégrale générale de l'équation (25) sera donc, dans ce cas,

I (a — «)A-ie »

ou, en posant dans la première intégrale u — a := i^ et dans la seconde // — a = — Vy

SI A est un entier positif, on pourra écrire cette intégrale sous la forme

Jf* ce a. t o

a® Si A et n sont l'un et Vautre positifs, les racines de Téquation (26) seront

et, en posant dans la première intégrale u — a = iV et dans la seconde u — a. = — /V, on trouvera de même

Si A est un entier positif, cette intégrale est susceptible de ia même transformation que dans le cas précédent.

3® Si A et n sont négatifs , les racines de Téquation (a6) seront 1/ := dz 00 , et la formule de Laplace devient

t/ — ac

Mais ici elle est illusoire, la fonction sous le signe J* passant par rindni dans rintervallc des limites. Il en sera de même

4° Si A est nul ou négatif, n étant positif

Donc, dans le cas de A<^o, Tinlégration de Téquation (aS) ne peut s'eifectuer par la méthode de Laplace. Voici la méthode que lui substitue M. Spitzer.