Equation de Miccati. — Cette équation est la suivante

a' -4- ««*-+• bx^=o.

En posant

a X l'équation se ramène à la forme linéaire (3i) x'*'x—x"=0'

Cette équation s'intègre immédiatement par les méthodes du paragraphe précédent, si Ton suppose à m une des valeurs zéro ou — a.

Pour toute autre valeur de m, si Ton pose

Téquation deviendra

■^ ^ ' dt dt* '

et celle-ci se simplifiera :

i** SiTon posem/i+ an — i = o, d'où /i = 9

{ m -h a )* "^ m-^'x dt dt*

équation qui a pour intégrale, si 7 est entier et positifs

(' ) En effet, en posant ^ = fi, Téquation devient

(A) ^^l^^-j.^^^l^y-Hfy = o.

Or, si l'on différentie fi fois l'équation

(B) ^^-iyr^ir'H-^«''=o,

on obtiendra une équation en zW qui coïncidera arec l'équation (A). Si l'on prend maintenant ^ = i pour variable indépendante, l'équation (B) se réduira à la forme

On traiterait d'une manière analogue le cas suivant.

EQUATION DE RICCATI.

el si -. est entier et positif,

am -(- 4 r j'

a** Si l'on pose mn + a /i — i ^ i . d'où n = 1

équation qui rentre dans l'équation (9), en remplaçant

Nous avons intégré cette équation dans tous les cas possibles; nous pouvons donc intégrer dans tous les cas l'équation de Riccati.