On a maintenant, à cause de

ds* = dx* 4- <//*, dsd*s = dxd^x -+• dyd*y^

dx ds*d*x — dxdsd*s [dv* -4- dy^^d^x — dx[dxd*x H- dyd*y^

ds ds* d^

dydx*,d — dy(dyd*x — dxd*y) ' dx

et de même

, dx.dx*.d'f

dy dx

ds ds^ '

les valeurs de ^ — x, rî — y peuvent donc s'écrire

y^dr^dr' da^dr'

RATON BT CENTRE DE GOURRURB. 49

ouy à cause de p = -j-9

fdr^dy ilx^dy

D'ailleurs

d'où

le signe étant choisi de telle sorte que le second membre soit positif. Donc, en mettant pour dx^ sa valeur,

, ds^ ds^

le signe étant choisi de manière que la valeur de p soit positive. On retrouve ainsi les résultats du n^ o57.

562. On peut mettre l'expression (a) [559] de dz sous une autre forme. De^ égalités dx^ 4- dj' = ds^, dxd^x -+- djd^j = dsd^s on conclut

ds*(d*x*'hd^X^) — "idsd^sldxd^x -i-drd*r)-^d*s^{dx*'^dr^)

ds^

ds^[d'^x^-\-d'^y^) — idsd}s.dsd^S'^d^s^,ds^d^x^'^d^X^—(^^^^ ~" ds^ ~ d^^ '

d'où

563. n est facile de démontrer cette dernière formule directement. Prenons sur la courbe trois points consécutifs [Jig^ 49)>

M(j?,J^), M'(ar -Jt-dx^x-^- dy),

W[x -hdx-^ d[x -H dr)y j-^^d/ -h d[x 4- û^r )]i

H. — Cours de Calcul înfin,, II. 4

50 LIYBB III. — GHAP. I, § IV.

et calculons Tangle des deux cordes consécutives infiniment peu

Fîg. 49.

différentes MM'M,, M'M'', angle que nous avons vu être égala l'angle de contingence [545]. Soient Tare

MM' = ds, l'arc

Sur le prolongement de MM' prenons M'M, = MM'= rf5 [544]. Les coordonnées de M, seront x -h ^dxy j- -h 2dj-. Par conséquent, la distance M< M" a pour expression

En projetant d'ailleurs M'Mi sur M'M", on a, à un infiniment petit près d'ordre supérieur au second [537], M'P = M'Mj = ds, d'où PM''= d^s, et, de plus. M, P = dsdr. Donc

dsdr = v^Mi M"» — M" P* =r v^r/*.r* -h rfV' — ^* ^* •

Si l'on s'était appuyé sur le résultat que l'on vient de trouver directement au lieu de partir de la proposition du n^ 545, on aurait obtenu une nouvelle démonstration de cette proposition.

On a, d'ailleurs, d'après ce qui précède,

ds^dr* =z [da:^ -j- d^) [d^x^ -t- rf»/») - (dxd^x -h dyd^yY

= [dxd}x — djd'^xY^dji^ f''^)''

d'où

. djc^ dy

dxz=z±i — d—y

ds* dx^ comme on l'avait trouvé par d'autres procédés.

RAYON ET CENTRE DE COURBURE. 5c

564. Considérons maintenant le cas où la courbe est rapportée à des coordonnées polaires. Nous avons vu [516] que Ton a

T zrr /? -h ô, d'où dTZ=dp-¥- de.

Or on a

tango— ~7, d'où séc'Ô^O = </—?

df^ r ^dr^dr*-^ rd*r r'^^rr" d? T^^d? r'^dp ~" ^ H-f-r'« '

OU enfin

dr = dp »

d'où l'on tire

^ d^ (r^-hr'^y

^'^di'^dplidr^— rd^r-^r^dp^'] "" /*-t- -xr^^ — rt"'

Si Ton fait le même calcul en introduisant, au lieu de r, son inverse u= -j on aura [517]

tiing6=^ ^

et Ton en tire [518]