Si a est une constante réelle, l'équation [i) z=. at
représentera l'axe Ox. En multipliant le second membre par un coefficient de direction e'*, l'équation
représentera une droite faisant avec Ox l'angle a. Si l'on écrit maintenant a au lieu de ae'*, a étant alors une quantité complexe quelconque, l'équation (2) représentera une droite quelconque passant par l'origine.
Pour f = I, z = a. L'équation (a) est donc celle de la droite qui joint l'origine au point a.
Si l'on multiplie le second membre par un coeflBcient de direction e*, l'équation
représentera une droite faisant avec la droite (a) l'angle d. Réciproquement, l'angle d, que font entre elle s deux droites
(3) z = at, z^a'u
est donné par l'équation ( ' )
(^) n est entendu qne, dans cette équation et les autres analogues, on ne s'occupe que de l'égalité des arguments.
cet angle étant compté de la seconde droite vers la première.
En supposant 6 = ~» on a, pour l'équation de la perpendiculaire à la droite (a),
z =z iat.
Réciproquement y la condition de perpendicularité des droites (3) sera
La bissectrice de Tangle des deux droites (3) a pour équation
en prenant le signe -+• ou le signe — , suivant que l'on considère les portions des deux droites correspondantes à des valeurs de t de même signe ou de signes contraires.
608. En ajoutant à chaque valeur de z une droite constante en grandeur et en direction b, on obtiendra une parallèle à la droite (2), dont l'équation sera
(4) z = at'\- b.
En faisant varier b, on obtient toutes les parallèles à la droite (2). Pour que deux droites
soient parallèles, il suffit que les droites z = aty z = a!t se confondent, ce qui aura lieu si leurs coefficients angulaires a, al sonl deux quantités complexes égales, ou du moins ayant même argument et par suite un rapport réel. La condition de parallélisme sera donc
— = une quantité réelle.
La droite (4) passe par les points i, i -+- a et i — a.
Pour avoir l'équation d'une droite passant par les deux points donnés z^,Z2j on identifiera ces points avec & et £ + a, ce qui donnera i = ^4, a = Zj — z<, et l'équation de la droite sera
2 — — z 3 = «, H- (z, — z, ) f, ou = t.
Zj — Zi
CALCUL DBS ÉQUIPOLLBNCES. 97
L'équation d'une droite menée par le point c et faisant avec (2) ou (4) Tangle sera
L'équatîon de la perpendiculaire abaissée du point c sur la droite
(2) ou (4) sera donc
« = c -4- iat.
609. Si Ton considère un lieu géométrique comme engendré par le mouvement du point z correspondant au temps t^ un terme de la forme at exprimera un mouvement de translation suivant la direction Oa ou parallèlement à cette direction.
Un terme de la forme ae'' exprimera un mouvement de rotation de la droite a autour de son extrémité initiale. D'après cela, il est facile de voir que les équations
z = ae^^ représentent un cercle ayant son centre à Torigine,
z = aé^-v- h » un cercle ayant son centre au point b^
z =z aé* •\- bt » une cycloïde allongée ou raccourcie,
z ■=. aé^-v- bé'^^ » une épicyclolde ou. une hypocycloîde,
z = até^ » une spirale d'Archimède,
z = fl^C*^'^' » une spirale logarithmique,
z = a[i — it) e" » une développante de cercle.
610. Les équations x= gcost, j=:hsint représentent, en coordonnées obliques, une ellipse rapportée à deux diamètres conjugués ag, ah. Si a et P sont les angles de ces diamètres avec l'axe
origine des directions, les coordonnées xetjr seront affectées des coefficients de direction e'*, &^; et comme {Jig. 58)
a = OM = OP + PM = x^«-i- /c'P,
H. — Cours de Cale, infin., IL 7
si l'on pose
on aura enfin, pour Téquation de Tellipse, (5) z =z a Qost '\- b ûnt.
On pourrait remplacer, dans cette équation, cos^ et sint par deux autres fonctions quelconques de t dont la somme des carrés soit Tunité, et représenter Tellipse par Téquation
En particulier, si Oa et 0£ sont les deux demi-axes, de longueurs a et (, et que Ton prenne la direction Oa pour origine des angles, Ob sera représenté par i(, et l'équation deviendra, a et 6 étant réels,
(7) 2 = ûcos/ H- /bsin^
Si, dans Téquation (5), on remplace t par £-f- -9 on aura un autre point de l'ellipse N, représenté par
(8) z^—-. — asÀnt -^- bcost.
Or l'expression
Ç = z cosT -}- Zi sinr rr: a cos (t -f- r) -h ô sin ( t -i- f )
représente encore un point de l'ellipse, quel que soit r. Donc OM et ON sont deux diamètres conjugués.
On tire maintenant des équations (5) et (8)
z'-^z\ = a}-}rbK
Donc la somme des carrés de deux diamètres conjugués, pris en grandeur et en direction, est constante. Si l'on remplace z, Z|,a, b par re'^, rie'''», gfe'", Zie'P, on tire aisément, de l'égalité précé^ dente,
(;..^rî)« - 4[rr.sin (/;,-/. )p^ (^«-i- //«)'- 4[^//8in(l3- «)]S
ce qui est une conséquence des théorèmes d'Apollonius.
Désignons par/^ la somme constante a*-f-i^, et soient Oyet
CALCUL DES ÉQUIP0LLBNGB8. 99
0/i = — 0/les deux valeurs de y/ô^+T^. On peut écrire
f:=iyl[a-\-ib)[a---ib).
Si Ton mène hah^ perpendiculaire à O J, et que l*on y porte les longueurs aAr = aA"i = O ft, alors on aura
0^, = a-\- ib, 0/ -~ « ~ ib, et par suite
donc Of est une moyenne proportionnelle bissectrice entre OAr, et Oât.
On peut construire autrement ces mêmes points y, y*^. On peut écrire
On obtient — = Oc en construisant le triangle Oie directement
semblable à Oaby puis menant ad égale et parallèle à Oc. Alors
Oy sera la moyenne proportionnelle bissectrice Ae Oa et de Od,
Puisque l'on a^- = ^^ j ^^^ on en conclut, à cause de/J == — /,
Donc le diamètre conjugué de OM est la moyenne proportionnelle bissectrice entre les deux rayons vecteurs M/*,yM. Il est donc parallèle à la bissectrice de Tangle formé par un de ces rayons vecteurs et le prolongement de l'autre.
