Étant donnée l'équation d'une courbe
la différentielle dz représentera en grandeur et en direction Télément d'arc de la courbe, et, si l'on désigne par ds la longueur de cet élément et par (ù l'angle de la tangente avec Taxe Ox, on aura
La valeur de ds est la moyenne proportionnelle entre dz et son
lOO J.IVRB III. — CHAP. I, S IX.
conjugué [605, 1],
ds = S^dz . dz .
L^angle o) est déterminé [604, II] par la formule
Y dz
En difTérentiant cette expression, on obtient Tangle de contingence cfci).
Ainsi, pour la spirale d'Archimède, dz = ate", et Ton a
dzz=za[\'^ it]é^dt, . ëfa = «(i — it)er-^'dt, d'où Ton tire
ds = ai^i-h fi.dt, e'- = e" W^-^'
Pour Tellipse rapportée à ses axes [610, (7)], on a
dz= [ — a sinr -4- 6/ cosr) dt^ d'où résulte
ds =r \/a* sin* r -+- b* cos* f . rf/.
612. Cherchons maintenant Téquation de la tangente. Cette équation étant de la forme ^= z-h aZyle coefficient angulaire a doit être égal [608] à dz multiplié par une quantité réelle, que
nous pouvons choisir égale à -7- • En posant donc
dz
dt~^'
nous aurons, pour l'équation de la tangente au point z,
D'après cela, on aura, pour l'équation de la normale eh z,
et pour l'équation d'une oblique, faisant avec la tangente l'angle 7,
(11) Ç = 2-f-c'Tz'T.
CALCUL DES ÉQUIPOLLBNCBS. lOI
613. Exemples. — I. D'après cela, la tangente à Tellîpse aura pour équation
Ç = acos^+ ôsinr-H ( — asin^+ ôcos<]t.
On voit que cette droite est parallèle au diamètre ON, conjugué de OM [610, (8)], et par suite bissectrice de Tangle supplémentaire des rayons vecteurs.
Ç étant la somme des deux composantes a(cos{ — Tsint), et i(sinf-hTCOs«), parallèles l'une à Oa, l'autre à 04, cette droite rencontrera l'une des droites Oa, 04, lorsque sa composante paraUèle à l'autre sera nulle. Ainsi on aura le point de rencontre avec
Oa en faisant
8in^4-TCos^ = o, d'où
T r= — tangf, et ?« = --- •
cosf
On trouverait de même, pour le point de rencontre avec Oi,
smr On conclut de là
Fï "^ yl — '•
II. La parabole étant engendrée par la composition de deux mouvements, l'un dirigé suivant Oa et proportionnel au carré du temps, l'autre dirigé suivant Ob et proportionnel au temps, son équation sera
a et b étant des quantités complexes quelconques. L'équation de la tangente sera
*Cette tangente rencontre Oa pour t = — «, ce qui donne
Ce point est donc symétrique, par rapport à l'origine, de l'extrémité de la composante at^ parallèle à Oa. Elle rencontre Oi pour
T = — - /, d'où lb=- ht.
lOa LIVRE III. — CHAP. I, § IX.
Par le point M menons une droite My*qui fasse avec la tangente MT le même angle que celle-ci fait avec Oa. En introduisant un facteur réel indéterminé k, on aura
7M/:MT = MT:0a,
Al
d*où, en mettant pour MT = f — z sa valeur 2at -+- i,
Donc 0/= OM -4- M/* a pour valeur
et cette valeur sera indépendante de f, si l'on prend i== »
d'où **
valeur qu'il est facile de construire. Il existe donc un point fixe par lequel passent toutes les droites faisant avec la tangente un angle égal à Tangle de celle-ci avec Oa. C'est le foyer de la parabole.
