III. L'équation de la tangente à la spirale d'ArchimèdCy
z = ate^^, sera
Ç = X -4- ae*' ( I -h it] T.
Pour avoir l'angle de la tangente avec le rayon vecteur, on prendra la formule
d'où l'on tire
tongô =. \ [e^'^— i):(e*'»-l- i) =r /.
614. Cherchons actuellement le centre de courbure, intersection de deux normales infiniment voisines.
Pour passer d'une normale à la suivante, il faut changer t en t + dt. Au point d'intersection des deux normales, C doit être le
CALCUL DES ÉQUIPOLLENCES. Io3
même, et par conséquent dÇ nul ; mais r aura dû varier d'une normale à l'autre, et se changer en r -+- rfr. On différentiera donc l'équation (lo) de la normale par rapport à t (dont z est fonction) et à T, en laissant ^ constant, et l'on aura ainsi l'équation
équation qui se partagera en deux équations réelles, d'où l'on
tirera les valeurs de r et de — pour le point d'intersection. En
mettant pour t la valeur trouvée dans l'équation (lo), on aura le 1^ du centre de courbure correspondant au point z.
La longueur du rayon de courbure sera donnée par la formule
Si, dans l'équation qui donne le ^ du centre de courbure, on considère t comme variable, on aura Téquation du lieu des centres de courbure, ou de la développée de la courbe proposée.
Le même calcul s'applique à la recherche du lieu des intersections successives des obliques représentées par l'équation (i i). Ce lieu porte le nom de déi^eloppée imparfaite de la courbe.
615. Exemples, — L Si l'on considère l'ellipse rapportée à ses
axes principaux,
z = acos^ -h ib sin /,
l'équation de la normale
Ç:rz: acost -\- ibsuit-h /t( — asïnt -f- ibcost)
donne, par la différentiation,
o = ( — asini -h ib cos/) ( ' + ' ;7- ) — ''^ (^ cos t -i- ib sinf ),
d'où l'on tire, en séparant le réel de l'imaginaire,
abT=:a^ sin* t -{- b^ ces* t.
Mettant cette valeur dans l'équation de la normale et faisant
Ç = Ç -f- lyj, il vient
d'où Téquation de la développée
IL La cycloïde ordinaire, rapportée à son point de rebroussement et à sa base, a pour équation, le rayon du cercle générateur étant = I ,
L'équation de la tangente est donc
Pour r = i 7; = cot -» on a f = i 4- 21. Donc la tangente
passe par l'extrémité supérieure du diamètre vertical du cercle générateur.
L'équation de la normale est
Elle donne ^ = ^ pour t = — 1 ; donc la normale passe au point de contact du cercle générateur. Il vient, en différentiant,
I — (/ + t) e-'' -4- /(i — e-'^) ^ = Oy
d'où l'on tire t == — 2, et par suite le rayon de courbure est double de la normale. L'équation de la développée est donc
ce qui représente une cycloïde égale à la proposée. On peut, en effet, écrire cette équation sous la forme
Ç -t- TT =r r -4- TT — 2/ -4- /(i — e-'^'+'^'),
équation de la proposée dont on a transporté le point de rebroussèment au point tt — 21.
Si l'on cherche de même la développée imparfaite, c'est-à-dire le lieu des intersections successives des obliques représentées par
CALCUL DBS BQUIPOLLBNCBS. lo5
Téquation
Ç = / -h (|-f-^TT)(l— «-'■'),
on trouve t = — a sin/, et par suite Téquation du lieu est
Ç = / -4- (i — «Tsiny) (i — tf-'').
III. Pour la spirale logarithmique l'équation de la normale est ce qui donne, en différentiant et divisant par n + i,
d'où l'on tire t == i. On a donc, pour l'équation de la développée,
ce qui donne une courbe identique à la proposée que l'on aurait fait tourner d'un certain angle. La longueur du rayon de courbure est
Pour la développée imparfaite, on trouve T=:siny, ce qui
donne
Ç = [i -f- (/i-f- /Vt siny] e("+')',
équation qui représente encore la même spirale, à la position près.
616. La recherche des développées est un cas particulier du problème des enveloppes, et la solution de celui-ci peut être comprise, avec le problème des trajectoires, orthogonales ou obliquangles, dans une même formule commune.
Soit
l'équation d'une courbe, renfermant un paramètre arbitraire \ que nous supposerons réel, comme la variables. Si l'on considère un
lieu rencontrant toutes les courbes de la série représentée par cette équation pour les différentes valeurs de X, les divers points de ce lieu correspondront à des valeurs de z données par Téquation (iS), où Ton fera varier simultanément t et X. Si l'on établit entre ces deux quantités une certaine relation, on déterminera la nature du lieu qui traverse les courbes (i3).
Supposons maintenant que la trajectoire cherchée doive couper les lignes (i3) sous un angle constant 9. On exprimera cette condition en écrivant que l'angle des tangentes à la ligne (i3), obtenues Tune en supposant X constant, l'autre en supposant X variable, est égal à l'angle donné 0.
En différentiant l'équation (i3) dans les deux hypothèses, on
trouve respectivement, pour les coefficients angulaires des deux
tangentes,
dz àf dz df df dk
di dt^ dt dt dl dt^
ou, en supposant, pour abréger, ~ = s , 4r = z,,
dz , dz , dl
dt ' dt ' dt
On aura donc, pour déterminer l'angle de ces deux tangentes
[605, III], la formule
di.
' dt J , ,
'-^''dt
OU, en faisant e*'" = m.
(i4) [m^l^-Hz,]- -+-(m-i)z'i'zzro.
Si 6 = -? alors m = — i , et l'on a, pour l'équation des trajectoires orthogonales,
(i5) [z!'z,-\-z Zj) -— + 2z'i'~o.
617. L'équation (i4) sert aussi à la détermination des courbes
CALCUL DBS EQUIPOLLBNCES. I07
enveloppes. En y faisant 9 = 0, d^où m =: i, le second terme de
Téquation disparaît, et, en supprimant le facteur -j- y qui, égalé à
zéro, donnerait une quelconque des enveloppées, on a, pour déterminer l'enveloppe, Téquation
Tirant de là la valeur de X, et la reportant dans Téquation (i3), on aura Téquation de Tenveloppe.
Exemple, — Soit proposé de trouver l'enveloppe des cercles qui ont pour diamètres les cordes d'une ellipse [615]
z =2 acos^ -4- ib sin >
parallèles à l'axe 2b. L'équation générale de ces cercles est
zz=:a cos^ -f- b sin> . c".
On trouve, en différentiant,
z'=zibûn'k.e^', ^/ = ~ asin> -h ^cosX.tf*';
Téquation (16) donne alors
— asinX.e^'-f- ôcos>=-f asin^.^""'' — bcos'k,
d*où
6cot> = flcos^,
et, par suite, on a, pour l'équation de l'enveloppe, celle d'une ellipse
\/a*-\- b^.cost bsint
z =2 ^a* H- b*. ^ -f- ib.
\ja^ CCS* r -4- ^* sja^ ces* H- ^*
618. Cherchons encore les trajectoires obliquangles d'une cycloïde mobile le long de sa base, et représentée par l'équation
On a ici
I08 LIYRB III. -- GHAP. I, $ IX.
L'équation (i4) devient alors
o = [$in0-4-sm(f— ^)]'J~ "^ asiû5(t — cosf),
que Ton peut écrire sous la forme
dX sinO — 8in(© -f- r)
tU'"'^ sinô — sin ( 6 — t)
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