IH
cos
= — I + COS29 — sinsdtanglO U
ce qui donne, en intégrant,
>=:C— (l — COS2Ô)^-f- 2sin29logC08 (ô ]•
Pour 6=-» X = C — Ht y et l'on a, pour l'équation des trajec-
toires orthogonales de la cycloïde mobile, C étant une constante
réelle,
ces trajectoires sont des cycloïdes égales aux proposées.
619. Trouver la trajectoire obliquangle de toutes les ellipses de mêmes foyers fjf\'
D'après ce que nous avons vu [610 et 613], un segment MT, pris sur la tangente au point M, est égal, à un facteur réel près, à la moyenne proportionnelle bissectrice entre les deux rayons vecteurs fs M, My, de sorte que le coefficient angulaire de la tangente est de la forme
Celui de la tangente à la trajectoire sera donc
ce qui donne enfin
dz
— z=i oLe"-^ Jj ^ — zK
CALCUL DBS ÉQUIP0LLENCB8. lOQ
En intégrant cette équation, il vient, pour Téquation des trajectoires obliquangles de Fellipse,
z=/cos(tf^' -♦-€),
en écrivant, pour plus de simplicité, t au lieu de at. Pour y = - » Féquation devient
z=r/cosC.Chr— f/sinC.Sh/, équation d'une hyperbole.
620. Appliquons les calculs précédents aux trajectoires et aux enveloppes des normales et des obliques d'une courbe donnée. Considérons l'équation d'une oblique
Pour appliquer à cette ligne la formule (i4)) îl f^ut changer dans
celle-ci z, t, 1 en Ç, t, t respectivement. On remplacera alors z'
dt . dz d^ dz i^ d^z ,,, . , ..
par ^ = e^ 57' ^^ ^'^^di^di'^ ^ ^ ^' ^^ ^ équation (i4)
devient, par ces substitutions, en écrivant z', z" au lieu de — ? -j^t
(17) 0= ['(e'Tin- e-T)z'i'-4- [mz^V-^Tz'') ~ -f- (m- i)z'z'l, ou
(18) o = sinôrfr + sin(Ô-+-7)^+— f^"* "^ ""^'^7")'
fis En posant, comme au n° 611, rfz = e'* ds^ et de plus /= -j-^ on a
— ^ = €f logi' = d[i(a -f- log*') z=z idta H ^«
L'équation (18) devient alors, sous forme réelle,
(19) o = sinOrfT-f 8in(ô-4- 7)^f-f- t (cosô^w -f-sinô -^J
110 LIVRB III. — GBAP. I, § IX.
En faisant dans ces formules 7 = -? on a. sous ses diverses
formes, Téquation des trajectoires obliquangles des normales.
Si Ton suppose fl=o, on a l'équation de l'enveloppe des obliques, d'où l'on tire
ni siny . z'z' . dt
de sorte que l'équation de la développée imparfaite sera
OU, sous une forme plus simple,
(2i) Ç^ï-ismy— .
En supposant y= -y on a les formules analogues pour la développée ordinaire,
On en tire facilement les formules du n^ 555.
