Si l'on sappose à la fois 9 = -) 7=-» l'équation (i

devient

dr 1 fdi' dz\

qui donne, en intégrant,

C ^dt

yjz' ~z' as

et, par suite, l'équation générale des trajectoires orthogonales des normales sera

ds OU encore

On voit par là que le module de ^ — z est constant, et que, par

CALCUL DBS ÉQUIPOLLBNGBS. III

suite, tous les points d'une même trajectoire sont équidistants de la courbe donnée. En partant de cette propriété, on aurait pu poser immédiatement l'équation précédente.

Si, au lieu de compter les distances constantes sur les normales, on les compte sur les obliques d'inclinaison y par rapport à la tangente, il sufBra de remplacer, dans l'équation précédente, le coefficient de perpendicularité i par e^, et l'on aura, pour l'équation de la trajectoire qui coupe les obliques à une distance constante de leur origine sur la courbe,

622. Cherchons enfin la trajectoire des obliques à la courbe, dont la tangente en chaque point est parallèle à la tangente au point de la courbe situé sur la même oblique. La trajectoire cherchée, étant représentée par

OÙ r est une fonction inconnue de t, il faut que, pour la même valeur de f, les tangentes à la trajectoire et à la courbe soient parallèles, ce qui conduit à la condition

- = -, ou, en mettant pour Ç' sa valeur

et réduisant,

. dr î / , dz' , dz'\

En posant dz = e'*^ds, cette équation devient

. fdr ds' \

siny ( 1 p ) "h cosydtû = o ,

d'où, en intégrant,

dt

as

lia XIVBB III. — GHAP. I, ^ IX.

et, par suite, Téquation de la trajectoire demandée sera

dz as

On voit que les portions d'obliques comprises entre les deux courbes sont égales et parallèles aux rayons vecteurs d'une spirale logarithmique.

TANGENTES AUX COURBES NON PLANES. Il3