LIEU DES CENTRES DE COURBURE PRINCIPAUX

OU, en réduisant au moyen de la relation A -h B -f- C = o, jTjrlBadx^ -+- Abdj^*] — [Bax^ -+- A^j» + Ck) dxdy — o,

que l'on peut écrire sous la forme

xx[di-{- bj'") — (ax*-{- bj'+ h)y=: o.

Nous verrons plus tard [847, II] comment cette équation s'intègre.

690. Le centre de courbure de la section principale au point M est le point d'intersection des normales à la surface Ma, M'a, menées aux deux points consécutifs M, M' de la section principale, ou, ce qui revient au même, de la ligne de courbure MM'. Ces normales à la surface étant en même temps des normales à la ligne de courbure, on voit que la construction qu'il faut faire pour avoir le lieu des centres de courbure des sections principales pour tous les points d'une ligne de courbure est précisément celle qui donne une développée de la ligne de courbure [665] ; donc le lieu des centres de courbure des sections principales des divers points d'une ligne de courbure est une développée de cette ligne de courbure. Ce lieu est donc tracé sur la surface polaire de la ligne de courbure.

Le lieu des normales à la surface, menées aux divers points de la ligne de courbure, est une surface développable, dont le lieu des intersections des génératrices ou Y arête de rebroussement est le lieu des centres de courbure des sections principales.

Pour avoir l'équation de cette surface développable, on éliminera Xy y y z entre les équations de la normale

Ç — T. ïj — r Ç — z

l'équation de la surface et l'équation intégrale des lignes de courbure. En y joignant l'équation qui exprime que chacun des rapports ci-dessus est égal au rayon de courbure principal R, exprimé en Xyjy Zy on aura, par l'élimination de z entre les cinq équations, les deux équations du lieu des centres de courbure des sections principales.

Comme nous l'avons vu, le lieu des centres de courbure princi-

174 LIVBB III. — GHAP. II, § VI.

paux, élant une développée de la ligne de courbure, est en même temps une ligne géodésique [666] de la surface polaire de la ligne de courbure MM'. , . .

Si Ton considère, outre le lieu aa' , . . des centres de courbure principaux, une autre développée hV , . . de la ligne de courbure, on pourra tendre, d*un point M de cette ligne, deux fils sur la surface polaire, s'appliquant librement sur les courbes oa'... e\.hV

Si Ton déroule ces deux fils, en les tenant toujours tendus, le point d'intersection des deux fils parcourant la courbe MM'..., leur angle restera constant, et réciproquement, un fil M&i'. .., enroulé sur la surface polaire, et faisant un angle constant avec le fil Maa'. . ., tandis qu'on les déroule tous les deux simultanément, leur point d'intersection décrivant la ligne de courbure MM'. . , affectera nécessairement sur la surface polaire la forme d'une seconde développée de la courbe MM'. . . [666].

691. Cela posé, supposons que deux surfaces se coupent suivant une ligne qui soit pour chacune d'elles une ligne de courbure. Les lieux des centres de courbure principaux des deux surfaces, correspondants à cette ligne de courbure, seront deux développées de celle-ci. Donc les normales aux deux surfaces, en chaque point de l'intersection, feront entre elles un angle constant, et par suite ces deux surfaces se couperont sous un angle constant.

Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, et que l'intersection soit une ligne de courbure de l'une d'elles, la normale à l'autre surface, faisant un angle constant avec la normale à la première, tracera sur la surface polaire de l'intersection une seconde développée de cette intersection. Donc les positions successives de cette normale se rencontreront, et par suite l'intersection sera aussi une ligne de courbure de la seconde surface.

692. Si une ligne de courbure est plane, sa surface polaire est un cylindre; ses développées sont des hélices de ce cylindre, c'està-dire des courbes coupant les génératrices du cylindre sous des angles constants. Donc le plan de la ligne de courbure, perpendiculaire à ces mêmes génératrices, fait un angle constant avec la tangente à une hélice, laquelle est une normale à la surface proposée, lorsque la développée considérée est le lieu des centres de

PROPRIÉTÉS DBS LIGNES DE COURBURE. lyS

courbure principaux. Donc, lorsqu'une ligne de courbure est plane , son plan coupe la surface sous un angle constant. Cela résulte encore de ce que nous avons vu dans le numéro précédent, toute ligne tracée sur un plan pouvant être considérée comme une ligne de courbure de ce plan.

Réciproquement, si un plan coupe une surface sous un angle constant, le lieu des centres de courbure principaux correspondant à rintersection sera une hélice de la surface polaire de cette intersection, et par suite une développée; donc les normales menées à la surface par les points de Tintersection se rencontreront, et rintersection sera une ligne de courbure de la surface.

693. Si une ligne de courbure n'est pas plane, les génératrices de la surface polaire développée, n'étant pas parallèles entre elles, ne feront pas un angle constant avec la droite suivant laquelle se déroule la développée de la ligne de courbure, lieu des centres de courbure principaux. La variation de cet angle sera l'angle de deux axes de courbure consécutifs ou l'angle de torsion de la ligne de courbure. Donc l'angle du plan osculateur d'une ligne de courbure avec le plan tangent à la surface varie continuellement d'une quantité égale à l'angle de torsion de la ligne de courbure.

On tire de là cette autre réciproque du théorème du numéro précédent : que, si le plan osculateur d'une ligne de courbure coupe la surface sous un angle constant, la ligne de courbure est plane, puisque son angle de torsion doit être nul.

694. Toute ligne tracée sur une sphère étant une ligne de courbure de cette sphère, on voit que, si une surface est coupée par une sphère sous un angle constant, l'intersection est une ligne de courbure de cette surface.

Réciproquement, si une ligne de courbure est sphérique, la sphère qui la contient coupe la surface sous un angle constant.

695. Si une ligne de courbure est circulaire, c'est-à-dire à la fois plane et sphérique, on pourra faire passer par cette ligne une infinité de sphères, coupant toutes la surface sous des angles constants. On pourra choisir le centre de l'une de ces sphères de manière que cet angle constant soit nul, de sorte que la sphère touchera la surface tout le long de la ligne de courbure. Les normales

à la surface le long de la ligne de courbure passeront donc toutes par le centre de cette sphère, et formeront, par suite, un cône de révolution.

696. Lignes a^mptotiques, — Considérons une surface dont rindicatrice soit hyperbolique. En s'avançant sur la surface dans la direction de Tune ou Tautre des asymptotes de Tindicatrice, direction qui correspond [673] à une valeur nulle de la courbure, on tracera de proche en proche deux systèmes de courbes, appelées lignes asjmptotiques ou lignes de courbure nulle, analogues aux lignes de courbure. Pour la direction d^une section asymptotique, on a

-==0, 0^=0, d'où sin9=:o,

ce qui donne [678, 679]

f/a dx -h dp djr -\- dy dz ^= o, OU ^X dx -+- ilY djr H- dZ dz = o,

ou encore

dr //>' dpdx -f- dqtlr =0, r H- 25 -^ -h r-^ = o.

dx d.ir

On voit que, pour qu'il existe de telles lignes de courbure nulle,

il faut que Ton ait

rt— s^< o.

Exemple, — Étant donnée la surface

Téquation aux lignes asymptotiques sera

adx'^ -r bdjr^ -f- crfs* = o,

ce qui montre d'abord que a, &, c ne doivent pas être de mémo signe. Remplaçant cdz'^ par sa valeur tirée de l'équation de la courbe, il vient

(i) a[k — bjr^)dx*'\- labxjrdxdjr -{- b[A — ax*)djr*=:o,

ou

LIGNES ASTMPTOTIQUES* I77

On peut toujours supposer h positif, et, puisque l'un au moins des coefficients a, bj c est négatif, soit c positif et a négatif. On voit que b devra être positif, et par suite la surface sera un hyperboloïde à une nappe.

En différent! ant Téquation (i) ou

b[k — ax^)y^ '■¥■ o.ahxy,y -\- a[k — hjr^) = o, il vient

[[k — ax^ ) y -+- axy\y' — o,

d'où Ton tire d'abord j'"= o et par suite j^'= C, ce qui est V intégrale générale de Téquation. Celle-ci devient, par la substitution de celte valeur dans (2),

équation d'un système de deux droites, qui sont les projections des génératrices rectilignes de la surface.

En égalant l'autre facteur à zéro, ce qui donne

[k — ax^)y' -{- axjr = o,

et éliminant j^' entre cette équation et l'équation (3), on obtient

• rt.r* 4- by z=zi A',

la solution singulière

qui, jointe à l'équation de la surface, donne ;: = o. C'est donc Ja section principale faite par le plan des xj,^l à laquelle les projections des génératrices rectilignes sont tangentes. •

697. Lignes géodésiques, — On nomme ligne géodésique d'une surface, comme nous l'avons déjà dit [666], celle des lignes tracées sur la surface entre deux points donnés qui est la plus courte. Nous allons démontrer que cette ligne jouit de la propriété que son plan osculateur en chacun de ses points est normal en ce point à la surface.

Considérons, en effet, deux points infiniment voisins, pris sur une surface. Si, par la normale à la surface en un de ces points et par l'autre point, on fait passer une section normale à la surface, l'élément de cette section sera plus court que l'élément d'une section oblique tracée sur la surface entre les deux mêmes points.

H. — Cours de Cale, infn., II. 12

Nous avons vu [5i4] que Texpression de la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est, en appelant h la différence infiniment petite des abscisses des extrémités de cet arc,

p étant le rajon de courbure au point initial. Or, pour les deux sections y la section normale et la section oblique, passant par les

deux mêmes points infiniment voisins, le facteur (i-hj"'^)" est infiniment peu différent. De plus, p diffère infiniment peu du rayon de courbure de la section normale, laquelle fait un angle infiniment petit avec la proposée. Si donc on désigne par e Tangle de la section oblique avec la section normale, le rayon de courbure de la section oblique sera, à un infiniment petit près, jscose. Donc, en désignant par J, cî'les différences entre les longueurs des arcs des deux sections et leur corde commune, on aura

à'= — T-« Par conséquent, l'élément de la section normale est

cos* s ^

le plus court. Il résulte de là qu'une ligne tracée sur une surface ne peut être la plus courte entre deux de ses points, qu'autant que son plan osculateur est, en chaque point de contact, normal à la surface.

On en conclut [693] que, si une ligne géodésique est en même temps une ligne de courbure, elle est nécessairement plane.

maie à la surface avec les axes, et par a, b, c les cosinus —r^ -r-'

698. En désignant par a, (3, y les cosinus des angles de la nor-

dx dr ds ds

-^ des angles de la tangente à la courbe avec les mêmes axes [

la condition exprimant que la normale à la surface est contenue dans le plan osculateur à la courbe sera

^ — A=:Z — J- = JL da db de d-: ds

d'où

Kds = pda, • pds^= pdb, yds = pdc.

Supposons maintenant que, par un point A de la surface, on

LIGNES GÉ0DÉSIQUE9. I79

mène une infiûilé de lignes géodésiques; soit AB une quelconque d'entre elles considérée comme fixe, et soit (f l'angle que fait avec AB la ligne géodésique qui joint le point A à un point quelconque M de la surface.. Si Ton fixe au point A Textrémité d'un fil flexible et inextensible, et qu'en tendant ce fil sur la surface on le fasse tourner autour du point A, il coïncidera successivement avec toutes les lignes géodésiques qui partent du point A. Si Ton tend donc le fil entre A et M, la position du point M sur la surface sera déterminée par l'angle cp qui fixe la direction de la ligne géodésique AM , et par la longueur s de l'arc AM, en sorte que les coordonnées x, y^ z du point M seront des fonctions déterminées des deux variables 5 et 9.

699. Si, à partir du point A, on porte sur toutes les lignes géodésiques une même longueur ^, les extrémités M de cette longueur formeront une courbe, que nous appellerons un cercle géodésique. Soit (j la longueur d'un arc de cercle géodésique BM, compté à partir d'un point fixe B5 cet arc sera une certaine fonction de y et de s.

Désignons par X, p, v les cosinus des angles que fait la tangente au cercle géodésique en M avec les axes. Pour un point M', pris sur ce cercle à une distance infiniment petite de M, on aura

Donc, en remarquant que ces valeurs de dx^ dy, dz sont les différentielles partielles de x, y, z par rapport à 9, ^ restant constant sur le cercle géodésique, on aura

d.T d^ df dfT dz d<T

âf ôf ôf âf df df

Si l'on fait maintenant varier x, r, z sur la même ligne géodésique AM des différentielles partielles dgX, dsj, dgz, les dérivées

partielles -j-? -\-i -r- représenteront les cosinus a, i, c des angles

que fait la tangente à la ligne AM en M avec les axes. Par conséquent,

dx àx dy dr dz dz . . , .dd .„.., dtr

os Of os ôf ds df Of df

l8o LIVRE III. — CIIAP. Il, § VI.

Ed appelant T le premier membre de celle équation, on a ^T d^.T dx à^Y dr d*z âz d.r d*.r dr d^r dz d^z

ds ds* df ds* df ds* df ds ds df ds ds ôf ds ds do

~ ds* df "*" ds* df "^ ds* df "^ i^Wds) "^ [ds ) "^ \ds) J* On a d'ailleurs, par le numéro précédent,

d*jc dn u ds* ds p

ds*

dh

'" ds

d*z de y ds* ds p

d'où Ton lire

d*.v d.r d*r dy d*z dz i , , , d(T cosNMM' dfr

ds* df Hs* df ds* df p^ ^' ^ ^df p df '

f)T MN étant la normale à la surface en M. L'autre terme de -.— > qui

ds ^

esl égal à - Dç(a'--i- b'-h c-), est aussi nul; donc

dT

et par suite la fonction T conserve la même valeur pour tous les cercles géodésiques de rayons différents décrits du centre A, lorsqu'on se déplace sur un même rayon géodcsique; cette fonction ne peut donc dépendre que de o.

Or, si l'on fait tendre s vers zéro, o" tend aussi vers zéro, quel que

soit (p. On a donc, pour .v = o, -r- = o, cl par suite aussi T = o.

Donc, pour 5 = o, on a, quel que soit 9,

cosAMM'- —- =:o.

df

Cette quanlilé, étant indépendante de s, sera donc toujours nulle, quel que soit 9, pour toute autre valeur de s. Donc, -r- ne pouvant

être généralement nul pour s différent de zéro, il faut que l'on ail, quels que soient s et <p,

cosAMM' = o. d'où AMM'i:^ -•

LIGNES 6É0DÉSIQUES. l8l

DoDC un cercle géodésique est, en chacun de ses points, perpendiculaire à son^ rayon géodésîque.

700. On peut démontrer géométriquement ce théorème. Soient deux lignes géodésiques infiniment voisines AM, AM' [Jig» 68),

sur lesquelles on a pris des longueurs égales AM = AM'. Je dis que les angles AMM'et AM'M sont droits. Supposons, en effet;

qu'ils diffèrent de - de quantités finies. Les angles que fait MM'

avec les lignes géodésiques infiniment voisines AM, AM' ne pouvant différer entre eux qu'infiniment peu, la somme des angles AMM', AM'M diffère infiniment peu de ît, et par suite, si Tun de ces angles est aigu, Tautre est nécessairement obtus. Soit

M'= w, w étant un angle fini. Menons un arc MP, perpén-

diculaire à MM', d'où M'MP = -, M'MA étant > -• Le trianffle

infinitésimal M'MP ayant l'angle MPM'=:^ t. — ^ — ( - — w j = o),

on a

MP=:M'Pcosw< M'P,

la différence étant infiniment petite du premier ordre. Donc, puisque AM =r AM',

AP-hMP<AP-i-M'P, ou AP-hPM<AM,

et par suite AM ne serait plus la ligne la plus courte entre A et M. Donc , si AM = AM' sont des lignes géodésiques égales, l'angle M'MA ne peut différer d'un angle droit.

l82 LIVRB III. — CHAP. II, § VI.

701. Ce théorème est un cas particulier d'un autre plus général, qui se démontre de la même manière, en changeant la signification d'une seule quantité. Soit une ligne quelconque AA' {fig' 6y), tracée sur la surface. Menons en tous ses points des

Fij. 69.

Xi M M '

lignes géodésiques PM, perpendiculaires à AA', et prenons sur ces lignes, à partir de AA', des longueurs constantes PM = P'M'= — Le lieu des extrémités M de ces longueurs coupera à angles droits toutes les lignes géodésiques PM. En effet, si Ton désigne par s la longueur PM, par <p la distance AP, et par a Tare BM, on pourra répéter les mêmes calculs qu'au n° 699. Or, pour 5=0, l'angle BMP se confond avec le supplément de APM, et par suite il est droit; donc cet angle est droit aussi, quel que soit j.

Si l'on suppose que AA' soit un cercle géodésique infiniment petit, on retrouvera la proposition précédente.

702. Nous avons vu [682] que les normales menées à une surface S le long d'une ligne de courbure C ont pour lieu une surface développable D, dont l'arête de rebroussement est le lieu V des centres de courbure principaux.

En chaque point M de S se coupent deux pareilles surfaces développables D, D'. Leur intersection est la normale à S au point M, et elles se coupent orthogonalement, comme les deux lignes de courbure correspondantes C, C, qu'elles contiennent respectivement.

Le lieu des arêtes de rebroussement F est une surface composée de deux nappes S, 2', correspondantes aux deux systèmes F, F' de développées des deux systèmes de lignes de courbure C, C.

Pour avoir l'équation de ce lieu S, soit R un des rayons de courbure principaux, exprimé en fonction de Xj y y z. On portera la longueur R sur la normale, et les coordonnées Ç, m, Ç du centre de courbure principal seront données par les équations

LIEU DES CENTRES DE COURBURE PRINCIPAUX. l83

Entre ces trois équations et Téquation de la surface, on éliminera j:, j', z, ce qui donuera Téquation de celle des deux nappes 2, 2' qui correspond au rayon R. En remplaçant R par l'autre rayon R', on aura Tautre nappe.

Si S esl une surface développable, Tune des deux nappes S, 2 s'en va à l'infini.

703. Deux normales à la surface en deux points consécutifs de C sont tangentes aux développées V^ , I^, des deux courbes C^ , G^ de l'autre système qui passent par ces points, et de plus ces normales, se rencontrant, sont dans un même plan. Ce plan est donc tangent à la nappe 2)^ sur laquelle sont situées T^ et V^^. De même le plan normal, tangent à C, est tangent à la nappe S. Donc, suivant chaque normale à S, se coupent deux plans tangents, l'un à I], l'autre à £', et rectangulaires entre eux.

Si l'on place l'œil en un point de cette normale, on verra donc les contours apparents des deux nappes S, 2 'se couper à angles droits sur le prolongement de cette normale. Donc, de quelque point de l'espace que l'on regarde ces deux nappes, on verra leurs contours apparents se couper à angles droits.

La section principale tangente à C, étant tangente à X', est normale à 2. Or elle contient deux tangentes consécutives à F, et par suite elle détermine le plan osculateur de cette courbe. De là résulte que r, ayant son plan osculateur normal à £, est une ligne géodésique de cette surface. Donc les développées, lieux des centres de courbure principaux pour les diverses lignes de courbure, sont des lignes géodésiques de la surface (S, 2').

Supposons un fil tendu librement sur une des nappes 2, 2' ; il prendra la forme d'une ligne géodésique, qui sera une ligne F, si son plan osculateur en un de ses points est tangent à une certainie ligne C. En déroulant ce fil, tenu toujours tendu, on tracera la ligne C. Si l'on tend ce fil successivement suivant toutes les lignes F, on décrira toutes les lignes C , et par suite la surface entière.

Si les nappes 2, 2' se touchent en un point, ce point correspondra à un ombilic de S. Si 2 et 2' se touchent suivant une ligne, il y aura sur S une ligne d'ombilics ou ligne de courbure sphérique. Ce dernier cas aura lieu lorsque les équations «2 = 0» (3|= o

[685], qui déterminent les ombilics, se réduisent à une seule en vertu de Féquation de la surface.

704. Pour chaque ombilic ou pour chaque point d'une ligne de courbure sphériquc, nous avons vu que l'équation

se change en une identité. Pour voir ce que deviennent alors les directions des sections principales, cherchons ce que devient, à la limite, cette équation pour le point [x -+- dx, y -f- dy^ z -h dz). On a, à cause de «a = ûTi — /Bo = jSi = o,

[a\ i/a, . »i' -h ( </ai — d^^ ) m — d^^ = o»

et comme, en divisant par rfo:, chacune des quantités — S — ^— — — >

-—- prend la forme A/n-f-B, il s'ensuit de là que l'on aura, pour

déterminer m, une équation du troisième degré, qui aura trois racines réelles ou une seule. Donc par un ombilic il passera généralement trois sections principales ou une seule.

Lorsqu'il y a une ligne ombilicale, on a, pour chaque point de cette ligne, «2 = 0? «< — |32 = o, (3< = o. Donc, pour la valeur

de 3- qui correspond à la tangente à cette ligne, on a aussi doL^ = o, dx

da{ — d^2 = o, d^i = o, et par suite l'équation (a) est vérifiée en

prenant pour m cette valeur de —• Donc une ligne ombilicale est,

en chacun de ses points, tangente à une section principale.

Soit, par exemple, la surface du second degré, considérée au no686,

L'équation aux sections principales

[Badx^ — Abdr*).rx + [Abx* — Ba^^— [a— b)cA]€lxdj'=io

donne par différentiation, en remarquant que les termes en d^Xf d^j disparaissent en vertu des conditions qui rendent Téquation identique,

[Badf^ — Xbdx^)d[xx) — i[Kbxdx — Baydf)dxdxz=z o,