MESURE DE LA COURBURE DES SURPAGES. IQS
714. Supposons actuellement que les trois coordonnées Xjyy z soient exprimées au moyen de deux variables indépendantes quelconques Uy Vy qui pourraient, si Ton voulait, devenir égales kx et à y. Indiquons, pour abréger Técriture, par des accents supé^ rieurs les dérivées partielles prises par rapport à «, et par des accents inférieurs les dérivées partielles prises par rapport à r, de sorte que l'on ait
dx =z x' du -f- x^dv^ djr i=:zy' du -i- y^dv^ dz =i z' du -^ z^dv.
L'élément d'une courbe tracée sur la surface sera donné par l'équation
= [x'^-hy^'hz*^)du*-h2(x'x,-^yX,'{-zfz,)dudv-h[x^-hy^-hzy) dvK En posant
:jc't^yi^z'\
la valeur de ds^ prendra la forme
ds^ — Erftt* -h 2 Ydudp -h G dp*.
715. Considérons la surface S comme la limite d'un polyèdre articulé, dont les faces seraient formées par des triangles infiniment petits tracés sur la surface, et ayant pour côtés les divers éléments ds. Si l'on déforme le polyèdre, en faisant tourner les divers triangles autour de leurs côtés comme charnières, on obtiendra pour limite une nouvelle surface, dans laquelle Xy^y z seront d'autres fonctions des variables indépendantes a, v, fonctions que l'on choisira de manière que les points correspondants des deux surfaces se rapportent aux mêmes valeurs de a et de j^. Par exemple, si l'on prend, sur un cylindre, pour li et >/ les longueurs comptées sur une génératrice et sur un arc d'hélice, coupant cette génératrice sous un angle donné, ces deux longueurs ne varieront pas, lorsqu'on déformera le cylindre en l'étendant sur un plan.
Les triangles élémentaires ayant leurs côtés invariables, il faut
196 LIVBB III. — GHÀP. II, § VII.
que la nouvelle expression de ds^,
soit identique à l'ancienne^ quels que soient du, d\f. Il faut pour cela que Ton ait, pour toutes valeurs de u et de i^,
Donc, si Ton vient à déformer une surface, et que les coordonnées rectangulaires x, y, z soient exprimées au moyen des variables u, V, dont les valeurs sont attachées aux divers points de la surface et restent les mêmes pour chaque point pendant la déformation, les trois fonctions E, F, G, qui entrent dans l'expression de l'élément linéaire de ^5, ne changeront pas de valeurs par l'effet de la déformation.
Réciproquement, si, pour deux surfaces S, S', dont les coordonnées sont exprimées au moyen des deux variables indépendantes w, Vj les fonctions E, F, G de u et de v, qui servent à exprimer l'élément linéaire, sont les mêmes pour tout système de valeurs de u et de p», les côtés des triangles infinitésimaux qui joignent les points correspondants des deux surfaces seront égaux; donc ces surfaces sont les limites de deux états d'un même réseau polyédrique; elles sont donc déformables l'une dans l'autre, ou, comme on dit ordinairement, elles sont applicables l'une sur l'autre.
716. Nous allons maintenant démontrer que la mesure de la courbure ne change pas non plus par la déformation de la surface, et pour cela il suffira de faire voir que cette quantité peut s'exprimer au moyen des seules fonctions E, F, G et de leurs dérivées par rapport aux variables u, v^.
D'après ce que nous avons vu [643], les cosinus a, |3, y des angles de la normale avec les axes sont proportionnels aux quantités
» Yrr^
de sorte qu'en posant
V»=:X»-hY«-hZ%
