Supposons maintenant chaque point du plan déterminé

Fig. 37.

par ses distances r, R à deux points fixes a, A. i^fig* Sj). Une re-

TANGENTES, ETC., POUR DIVERS STSTÉMBS OE COORDONNEES. l3

lation y(r, R) = o entre r et R sera Féquation d'une certaine courbe. La tangente à cette courbe sera déterminée; lorsqu'on connaîtra une relation entre les angles et 6 qu'elle fait avec les deux rayons vecteurs 7* et R. En abaissant du point M des perpendiculaires sur les deux rayons vecteurs du point M' infiniment voisin de My et raisonnant comme dans le cas des coordonnées polaires ordinaires, les triangles infinitésimaux MlVr 71, MM'N donneront

dr dR „ ^ COS0 </R

as = = 5 d où =: — - 9

ces 6 cosO cosO ar

équation qui détermine la direction de la tangente.

Exemples. — I. L'ellipse est représentée par l'équation

d'où

-— = — I , COSe = — COS0.

iir

La tangente est donc bissectrice de l'angle supplémentaire de l'angle des rayons vecteurs.

IL L'équation de l'hyperbole R — r= :ta donne

dK

-— -i=:l, COS0 = COS9.

ar

La tangente est bissectrice de l'angle des rayons vecteurs.

IIL Le cercle peut être représenté par l'équation - =a, d'où

l'on tire

cosO

cosO

Les angles 9, sont les compléments des angles i\ I, que les deux rayons vecteurs forment avec la normale au cercle. On a donc entre ces derniers angles la relation

sini

On tire de là une construction simple pour représenter la loi de la réfraction de la lumière. Si a est l'indice de réfraction d'un

LIVBE III. — GHAP. I, § I.

milieu, construisons, par le procédé connu, le cercle qui a pour

équation — = a. Si Ton mène par le point A {fig* 38) une droite

âM faisant avec la normale un angle I égal à Tangle d'inci-

Fig. 38.

dence, la droite Ma fera avec cette normale un angle i égal à l'angle de réfraction, et AMa sera la déviation du rayon,

S21. Si Ton prend pour coordonnées Tabscisse x et le rayon vecteur FM = r {fig* Sg) (ce qui revient à transporter à Tinfini

Fig. 39.

sur l'axe des x un des points fixes A, a du système du numéro précédent), en désignant toujours par et les angles que fait la tangente avec le rayon vecteur et avec l'axe des x, on aura, comme précédemment,

ces© dx

dr dx

cosô ces©

d'où

ces 9

Soit, par exemple, r=^ax l'équation d'une section conique

rapportée à son foyer et à sa directrice. On aura alors = a,

ou, si l'on appelle i et I les angles de la normale avec r et avec x.

TANGENTES, ETC., POUR DIVERS SYSTÈMES DE COORDONNÉES. l5

-^-^=:a= -• Pour construire la normale, on prendra donc, sur

MD, MG = MF = /'; on mènera GN parallèle à FM et égale à MD = a:; MN sera la normale cherchée. En menant MH perpendiculaire à j: et = /', puis HT perpendiculaire à r et = a:, MT sera la tangente.

522. Pour donner un exemple de l'emploi des coordonnées curvilignes, considérons deux coniques homofocales

où Ton suppose \'^b^^yL^, Ces deux courbes se coupent orthogonalement. En effet, les cosinus des angles que fait avec les axes la tangente à l'ellipse au point {oc y y) sont proportionnels aux différentielles dx, dj, tirées de Téquation de cette courbe. De même, les cosinus des angles de la tangente à l'hyperbole avec les axes sont proportionnels aux différentielles rf'x, d'jy tirées de l'équation de l'hyperbole. Or, des équations

on tire, par multiplication,

Les équations (i) donnent, par soustraction,

et, y? — \k^ n'étant pas nul, la parenthèse s'évanouit, et, par suite, l'équation précédente devient

dxdx -\- djdy r^ o,

c'est-à-dire que les deux courbes se coupent à angles droits.

Si l'on résout les équations (i) par rapport à a: et à j", on trouve

Réciproquement; pour avoir les demi-axes X, jx des deux coni-

l6 LIVRE III. — GHAP. 1, S I.

ques qui se coupent en un point (<3:,j^), on verra, en résolvant les équations (i) par rapport à X^ et à fx', que ces deux quantités sont les racines de Téquation

lesquelles sont réelles et positives.

On conclut de là qu'un système de valeurs de X et de /ut détermine un point du plan, et que, réciproquement, à chaque point du plan correspond un système de valeurs de X, jui. On peut donc prendre ces quantités X, [i comme des coordonnées propres à déterminer tous les points du plan, et une relation entre X et jm représentera une courbe.

On voit, en particulier, que X = const. représente une des ellipses homofocales, fx = const. une des hyperboles.

Si nous considérons Tellipse X= const., on obtiendra les divers points de cette ellipse en faisant varier |u, ce qui donne, en vertu des équations (2),

En désignant par d^s la corde infiniment petite de Fellipse, on a donc [508]

d^s = ^d^x*-^d^^z= du y ^ri^t '

On trouvera de même, pour la corde infiniment petite de l'hyperbole.

Cela posé, soient M, M' {Jig. 4o) deux points infiniment voi-

sins, pris sur une courbe quelconque/(X,fjt) = o. Menons par