CONTACT DES DIVEKS OBDRES DES LIGNES ET DES SURFACES

73o. Contact de deux lignes. — Si l'on projette une droite sur trois plans non parallèles deux à deux, deux au moins des projections de la droite seront avec celle-ci dans un rapport fini

220 LIVBB III. — GHÀP. II, § IX.

Si Ton coupe deux courbes MM', MM'', issues d'un même point, par un plan quelconque, infiniment voisin du point commun M, et qui ne soit parallèle à aucune des deux tangentes à ces courbes en M, Tordre infinitésimal de chacune de ces trois quantités : Tangle

M' M'^ M' M" M 'MM", ----r» ,. ... > serdidilV ordre de contact des deux courbes MM MM

au point M. Si M'M" est infiniment petit de l'ordre /i 4- i, l'ordre

de contact des deux courbes sera n.

Deux au moins des projections de M'M" sur les trois plans coordonnés seront, dans ce cas, des infiniment petits d'ordre /i-f-i. Donc, sur deux au moins des trois plans coordonnés, les projections des deux courbes auront des contacts d'ordre n. Si les contacts sont d'ordres différents pour les projections sur deux de ces plans, l'ordre le moins élevé sera celui du contact des deux lignes dans l'espace.

Les conditions du contact d'ordre n pour les projections des deux courbes sur les plans des xz et des jz sont [567] l'égalité, pour ces deux courbes, des valeurs respectives des quantités

""' dV *••' 'm^' ^'' Tz' •••' 11^'

pour une même valeur de ^, ce qui fait en tout 2n 4- a conditions. Si les équations de l'une des courbes renferment des paramètres arbitraires et que l'on détermine ceux-ci de manière que les deux courbes aient un contact de l'ordre le plus élevé possible, la première courbe sera dite osculatrice à la seconde. L'ordre du contact, selon que le nombre m des paramètres sera pair ou im-

pair, aura pour valeur 1 ou i . Dans ce dernier cas,

il restera un paramètre arbitraire, que l'on pourra déterminer par une condition choisie à volonté.

736. Exemples. — L Droite osculatrice. — Les équations générales d'une droite, étant de la forme

X zz- AZ -H a. Y— BZ 4- b,

renferment 4 paramètres arbitraires ; on pourra donc établir, entre la droite et une courbe donnée, un contact d'ordre i = i. On

•CONTACT DE DEUX COURBES DANS l'eSPACE. 221

aura, pour cela^ à satisfaire aux quatre conditions

dx dy

ilz ' dz

En mettant pour les 4 coefficients A, a, B, h les valeurs ainsi obtenues, on retrouve les équations de la tangente à la courbe [625],

II. Cercle osculateur, — Les équations d'un cercle peuvent se mettre sous la forme

A(X~«)4-B(Y-6)-hC(Z-7)rrr0, (X-a)«-+-(Y-ê)'-i-(Z-7)*i=p%

et contiennent 6 paramètres, t ' t' «? S, 7> p- On pourra donc éta-

blir, entre le cercle et la courbe, un contact du second ordre. Pour déterminer les paramètres, on remplacera, dans chaque équation et dans ses deux premières différentielles, X, Y, Z par les coordonnées de la courbe donnée ; on en tirera, pour la première équation,

Kdx -t- Bc?r + Cû?« =1 o, kd^x -I- Bd^y + Cd^z — o,

d'où

A:B:Cr=

dx dz d^x à}z

dz dx d^z d}x

dx dx d^x d^x

ce qui donne, pour les coefficients de direction A, B, G, les valeurs que nous avons trouvées [633] pour ceux du plan osculateur, dans lequel doit être contenu le cercle cherché.

En différentiant la seconde équation une première fois, il vient

[x — a)d^ "^ [X — ^)dx -¥ [z — y)dzz=iQ^

et cette équation, combinée avec celle du plan

A (x — a) + B(j — 6) -I- C(2— y) donne [635]

an — a X — ^ ^ — 7

dv ds

d± ds

ce qui montre que le point(a, 6, y) doit être situé sur la nor-

222 LIVRE III. — GHAP. Il, § IX.

maie principale. Une seconde difTérentiation donne En ayant égard à cette équation, il vient

-, dx dz dz

d^xd —- -h d^rd-- -hfi^zd-r

as ds ds

ds^ __ ds

d'où enfin p = -

III. Hélice osculatrice. — La position de l'axe du cylindre sur lequel est tracée Thélice dépend de quatre conditions. Une fois l'axe placé, les équations de l'hélice, rapportées à cet axe, pris pour axe des z, sont de la forme

X=:acos — i — j y = a8m — = — 9

et par suite renferment encore trois paramètres. Donc la détermination complète de l'hélice dans l'espace dépend de 7 paramètres. On peut donc établir, entre l'hélice et la courbe donnée, un contact d'ordre i = 2, et il reste encore une condition arbi-

traire, que l'on peut remplir, par exemple, en faisant en sorte que l'hélice ait la même seconde courbure que la courbure proposée. Or, en appelant p et r les rayons de première et de seconde courbure de la courbe proposée, et les égalant à ceux de l'hélice [723 et 724], il vient

ap =: ^f == a' -4- £»*,

équations d'où l'on tire

f r or

CONTACT DE DEUX COURBES DANS l'eSPACE. 223

Ces valeurs déterminent entièrement la forme de rhélice. Il ne reste plus alors qu'à fixer, au moyen des cinq conditions restantes, la position de Thélice dans Tespace.

On pouvait prévoir a priori que Thélice ne peut avoir, en général, avec une courbe donnée, qu'un contact complet du second ordre; car, pour l'hélice, dont le rayon de première courbure est constant, le centre de la sphère osculatrice coïncide [663 et 724] avec le centre de courbure, ce qui n'a pas lieu pour une courbe quelconque. Donc les différentielles du troisième ordre, d'où dépend [661] la position du centre de la sphère osculatrice, ainsi que l'angle de torsion, ne peuvent être toutes les mêmes pour l'hélice et pour la courbe donnée, comme il le faudrait pour un contact complet du troisième ordre.

737. Contact d'une ligne et d'une surface, — On considère le contact de la ligne avec sa projection sur la surface, faite par des parallèles à l'axe des z, menées des divers points de la ligne jusqu'à la rencontre avec la surface, l'axe des z étant supposé non parallèle au plan tangent.

La distance des points de la courbe et de sa projection, qui répondent aux mêmes valeurs de x et de j^, est

Z, — 2, ~ Z — 3 + ^ (rfZ — J3) 4- — [d^Z — d^z] -4- . . ,

les dljj d^Tj, ... relatifs à la courbe étant donnés en fonction de la variable indépendante t et de sa différentielle par les équations de la courbe, ainsi que les valeurs de Xy y, dx, djy d'^x, d^y, ..., communes à la courbe et à sa projection sur la surface. On a ensuite, pour les dzj d^z, ... relatifs à la projection,

dz =2 pdx -\-qdjry d^izizpd^x -h qd^y + rdx^ -f- 7.sdxdjr -H tdy^^ etc.

On aura maintenant :

1** Pour qu'il y ait un point commun, la condition Z = z; 1*^ Pour qu'il y ait contact du premier ordre, dZ = dz; 3^ Pour qu'il y ait contact du second ordre, d^Z =: d^ z ;

et ainsi de suite. On en tirera les conditions d'osculation d'une courbe et d'une surface.

2'ài LIVRE III. — CIIAP. II, § IX.

738. Exemples. — I. Plan oscillateur à une courbe. — Représentons par A j: + Bj -f- G« -f- D = o Téquation de ce plan. Sa détermination dépend de trois conditions arbitraires, qui permettront d'établir entre ce plan et la courbe un contact du second ordre. On aura, en différentiant Téquation du plan deux fois, et remplaçant partout les coordonnées x, j, z du plan par les coordonnées X, Y, Z de la courbe, les équations

AXh-BYh-CZ-4-D~.o,

Xdyi 4- B^Y -¥■ Cf/Z - - o.

Arf'X -h B^» Y -+- C^Z — 0,

qui sont celles qui nous ont déjà servi à déterminer le plan osculateur [633].

II. Sphère osculatrice à une courbe. — En remplaçant, dans Téquation de la sphère {x — «)^ -^ (j — A)*-f-(^ — c)*=R2el dans ses trois premières différentielles, Xyj^ z parles coordonnées de la courbe, il vient

(X - aY + (Y - i»)* --h (Z - cY — RS

[lli — a)dyi'¥[Y — b)dY .\.[Z — c](TL — o,

(X — a)rf«X4-(Y— Z»)^«Y-î-(Z— r).f*Z--- — ^*,

(X — «)^/»X -H ( Y - ^'j^'Y H- ;z — c)^»Z — - 3rfS^/«S,

et l'on retrouve ainsi les équations déjà obtenus au n® 743, pour déterminer les 4 paramètres «, i, c, R, que renferme Téquation de la sphère.

III. Cercle osculateur à une surface. — Les équations d'un cercle dans l'espace renferment 6 paramètres [736, IIJ. En diflerentiant les deux équations du cercle chacune n fois, et remplaçant partout les coordonnées du cercle par celles de la surface, on obtiendra 2/2+ 2 conditions. Les indéterminées de la question seront, outre les 6 paramètres, les n dérivées

dr d\r d^r

cLjc dx^ dx^

ce qui fait un total de 6h- n indéterminées. Pour que le nombre des conditions soit égal à celui des inconnues, il faut que l'on ait

CONTACT D*nNE LIGNE ET d'uNE SURFACE. 2^5

2n+a=6 + /i, d'où w = 4- Oi^ pourra donc trouver, en chaque point de la surface, une section ayant avec un cercle un contact du quatrième ordre.

739. Contact de deux surfaces. — En désignant par Z et z les ordonnées de deux surfaces, on aura, comme précédemment, pour la distance des points de ces surfaces qui répondent à x-^-dxj j-hdjTy

Zi — Zi--=Z — z-f- - [dZ — ciz)-\ [d^Z — dH) H •

Ces deux surfaces auront un point commun, si Ton pose la condition 7j = z. Elles auront un contact du premier ordre si l'on a rfZ = dz, c'est-à-dire

(V - p)dx: -h [Q — q) djr = o.

Pour que ce contact du premier ordre soit complet, il faut qu'il ait lieu dans toutes les directions à partir du point commun, c'est-

dy . . , '

à-dire, quel que soit le rapport -j-> ce qui exige que l'on ait les

deux conditions

Pour que le contact soit du deuxième ordre dans toutes les di-

dy rec tiens, il faut que l'on ait rf^Z == d^z, quel que soit -j-j ce qui

donne les trois conditions

Et ainsi de suite. En général, pour qu'il y ait un contact complet de l'ordre «, il faut poser

conditions.

740. Exemples. — I. Plan osculateur à une surface. — L'équation du plan étant Z = aX -H i Y -j- c, on a

Les conditions d'un contact du premier ordre avec une surface

H. — Cours de Cale, infini t., H. J 5

aaG LIVEE III. — GUAP. II, § IX.

donnée sont (Tonc

et Ton retrouve ainsi Téquation du plan tangent [637],

II. Sphère osculatrice à une surface. — L'équation de la sphère ne contenant que 4 paramètres, on ne peut établir qu'un contact complet du premier ordre, au moyen de trois conditions, et il reste encore une condition arbitraire. En cherchant les points pour lesquels on peut établir entre la sphère et la surface un contact complet du second ordre, on trouverait les ombilics [683].