DES MOMENTS D'INERTIE , ETC

741. Nous avons défini [233] ce qu'il faut entendre par deux lires équivalentes. Le problème de la quadrature d'une aire plane, ermînée par un contour curviligne, consiste à trouver une figure tectilîgne équivalente à l'aire donnée, cette figure rectiligne pouvant aisément être transformée en un carré équivalent.

Ce problème général peut toujours se ramener à celui de la quadrature d'une aire limitée d'une part par une courbe donnée, d'autre part par des droites convenablement choisies, qui sont, dans le cas des coordonnées rectilignes, l'axe des x et les deux ordonnées extrêmes ; dans le cas des coordonnées polaires, deux rayons vecteurs donnés.

Si l'on demande, par exemple, l'aire d'une courbe fermée, rap-

Fig. 72.

portée à des coordonp*^<îs rectilignes, on mènera à cette courbe

LIVRB III. — GHAP. III, § I.

deux tangentes AE, CF {fig- 72), parallèles à Taxe àesy, el Ton cherchera la différence entre les deux aires EABCF, EADCF, comprises entre ces tangentes, Taxe des x, et chacune des deux portions dans lesquelles les points de contact divisent la courbe.

Si Ton considère Taire comprise à Tintérieur d^un quadrilatère curviligne, tel que AJBCD [fig* 73), formé par les quatre courbes

AB, BC, CD, DA, on mènera les ordonnées des sommets, qui décomposeront cette aire en ABB' A -|- BCC'B'— ADiyA'— DCC'D', et l'on évaluera séparément chacune des parties.

On verra de même aisément comment il faudra opérer dans loul autre cas particulier.

742. Nous avons vu [235 et suiv.] que, si l'on suppose les coordonnées rectangulaires, l'aire comprise entre la courbe, l'axe des X et les deux ordonnées extrêmes- est la limite commune des sommes des parallélogrammes, intérieurs ou extérieurs, ayant pour bases les divisions infiniment petites de l'abscisse, et pour hauteurs les ordonnées correspondantes. On a donc, pour l'élément d'aire,

itf. =jrdxj d*où ).

jrdx.

Si, au lieu d'être rectangulaires, les axes coordonnés faisaient entre eux un angle quelconque 9, l'élément d'aire serait un parallélogramme ayant pour base dx et pour hauteur j^sin S, et l'on aurait

Si l'on considère l'aire comprise entre deux courbe s j^=y*(x), Y= F(j:), et les deux ordonnées correspondantes aux abscisses Toy X, on aura, dans le cas des coordonnées rectangulaires,

Si les coordonnées étaient obliques, on multiplierait le résultat par le sinus de l'angle qu'elles font entre elles.

743. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on emploiera un autre mode de décomposition de l'aire. On la partagera en secteurs infinitésimaux, compris entre la courbe et deux rayons vecteurs infiniment voisins. Or si, de l'origine comme centre {fig' 74 )> s^vec chacun des deux rayons vecteurs comme

Fiç. 7,5.

rayon, on décrit des arcs de cercles MN', M'N, le secteur de la courbe OMM' se trouvera compris entre les deux secteurs circulaires OMN', ONM', qui ont même angle et des rayons infiniment peu différents, et qui par suite diffèrent entre eux infiniment peu. Donc on peut [195] remplacer le secteur OMM' par le secteur circulaire OMN',

qui a pour mesure - OM X arcMN'= - r^dp. Telle est donc la

valeur de l'élément d'aire, et par suite l'aire totale, comprise entre les rayons vecteurs qui font avec l'axe des x les angles p^ et P, aura pour valeur

L*aire comprise entre les deux mêmes rayons vecteurs et les deux courbes qui ont pour équations r=/(p), R=F(y:?), est égale à

!l3o LIVRE III. — GHAP. III, § I.

Pour avoir Taire totale d'une courbe fermée, si l'origine des coordonnées est intérieure à la courbe, on prendra, pour limite de rintégration par rapport à p, les valeurs o et 2ir, ou plus généralement /?o et ^oH- 211. Si l'origine est extérieure à la courbe, on mènera par cette origine les deux tangentes extrêmes à la courbe, correspondantes aux valeurs minimum et maximum de l'angle p, et

déterminées généralement par la condition -^ =o, ou tangd =o.

Si l'on désigne par p^ et P ces valeurs, et que /• et R représentent les rajons vecteurs des deux branches de courbe dans lesquelles les points de contact partagent le contour, on aura, comme cidessus,

744. Exemples, — I. Soit la courbe représentée par l'équation

On arf}v=: ax"^dx, d'où, en intégrant entre les limites Xo, X, et désignant par j ©y Y les ordonnées correspondantes à ces abscisses,

1= -^ (x--»-<^'; -^-L- (xy -.roro).

Pour m positif,^ s'évanouit avec x, et, en faisant Xq ~— o, la formule se réduit à XY. Donc l'aire de la courbe est dans un rapport

constant avec le rectangle construit sur les deux coordonnées X, Y du point extrême. Dans la parabole ordinaire, m est égal à a ou

à -î suivant que la courbe tourne sa convexité ou sa concavité

vers Taxe des x. Alors l'aire comprise entre la courbe et l'axe des x

est - ou - du rectangle des coordonnées de l'extrémité.

Si m est négatif et = — /i, alors

Pour /2 < !> et jTo == o, on a, en supposant Xq =• o,

QUADRATURE DES COURBES PLANES. 23l

valeur de l'aire asymplotique comprise entre la courbe et l'axe des j^. Pour 71 > i , on a, pour X = 00 ,

valeur de l'aire asymplotique comprise entre la courbe et l'axe des j:. On voit que l'une des deux aires asyraptotiques est finie, l'autre infinie, quel que soit n différent de l'unité. On passerait d'ailleurs du cas de n<^i au cas de n^ i, en échangeant entre eux les axes des X et des y.

Pour 71 = I , on est dans le cas de l'hyperbole ordinaire, et, en supposant l'angle Q des asymptotes quelconque, on a

\ = a sinO , log — 9

valeur infinie aussi bien pour 0:0 = que pour X = 00 . Donc les deux aires asymptotiques de l'hyperbole ordinaire sont infinies. Si l'on suppose « = i , 0:0 = i , on voit que l'aire hyperbolique représente le logarithme de l'abscisse X dans le système dont le module est égal à sind.

II. Soit la cycloïde allongée ou raccourcie, représentée par les

équations

x = a[nt — sin/), j;=a(i — cos^).

On a

dxz=zadt[n-' cos/),

d*OÙ

fjrdx^= a*f[i — cosr) [n — cost)dt

=:«• f /H- - U— (I-h/l)sin/-^-^sin2r -hC

La constante est nulle, si l'on compte Taire à partir de t = o, qui répond à x = j^* = o.

Dans le cas de la cycloïde ordinaire, tz == i , et cette expression se réduit à

-a(3x— jsin/) zzz-axzp-jr^iax — 7-*,

a3a LIVRE m. — CHAP. III, § I.

le radical devant être pris avec le signe — ou le signe -f-, suivant que sint est positif ou négatif. Pour f = 2Tr, on a X = 3ira*=.- le triple de l'aire du cercle générateur.

Dans le cas de la cycloïde raccourcie, /i<^ i . Depuis t = o jusqu'à la valeur qui donne cost = n, dx est négatif, et la formule donne Taire comprise entre Taxe des x et la branche de courbe inférieure, cette aire étant prise négativement. Depuis cette valeur de t jusqu'à celle qui répond à or = o, on a dx positif, et l'intégrale exprime l'aire comprise entre l'axe des x et la branche supérieure de la courbe, cette aire étant prise positivement. Donc l'intégrale, prise de t = o jusqu'à la plus petite racine positive de l'équation nt — sini = o, représente l'aire comprise enlre les deux branches de la courbe. En faisant / = 2ff, on verra de même que l'expression [in-^- i)Tzà^ représente l'aire comprise entre l'axe des X et le premier arceau de la courbe, dans la concavité de cet arceau.

III. Le folium de Descartes x^ — 'iaxy ■+-j^ = o peut être représenté, en faisant y= ix, par les deux équations

^at 3at

On tire de là, en intégrant par parties.

En raisonnant comme nous venons de le faire pour le cas de la cy-

cloïde raccourcie, on voit aisément que l'on obtiendra l'aire de la