COUPLANATION DES SURFACES QUELCONQUES

Intégrons d'abord par rapport à y y ce qui donne

= a)*e sm

^tf* — or* — jr*"

Il faudra prendre pour limites, d'une part, l'axe des x corrcspon-

dant à j^ = o, d'autre part la droite OB pour une portion de l'intégrale, et l'arc de cercle BA pour l'autre portion. L'équation de OB étant j^ = j: tango, la valeur de l'intégrale sera, dans l'étendue projetée sur OBD,

. . .rtiingO ( I ) a. arc sm •

Pour la seconde partie, l'équation du cercle BAétantj)^= sfa' — x-, la valeur de l'intégrale sera

A.arcsmi = a. -•

Il faut maintenant intégrer par rapport à x l'expression (i) entre

a:== o et a:=: a cos0, l'expression (2) entre x = acos0 et x= a.

Si l'on pose

.r tango

smy,

l'expression (1), multipliée par dxj prend la forme aodx, d'où

aJ*ffLr =. ax,(f — ajxd^

/* sin3)//a> , . , ,\ ^

= ax.f — a* I =fl.r.y-|-rt' arcsm[cosy cos^)4-C

J y^séc' — cos* f

. X tang B - . /a^ cos* 9 — .r* ^ j=rtj:.arcsm -+- «' arc smi/ h C.

!i5o LIVRE III. — CIIAP. Iir, $ III.

Pour j: = o, cette expression se réduit à

tf' arc sin (cosô) r=r a' ( - — j ; pour x^=^a cos 0, elle devient

a* cos B . arc sini = - a^ cos 6.

Donc Taire de la portion BCE est

a* 6 '' a^iï — cosô * .

En intégrant maintenant Texpression (a) de x = a cosd kx = a, on trouve

— «' I — cos9 .•

Donc la somme des deux parties^ ou le demi-fuseau ABC = a'ô. II. Calculer Taire de la partie de la surface

qui est comprise dans Tangle trièdre des coordonnées positives.

Cette surface est un cylindre de révolution , dont Taxe, situé dans le plan des xj-y a pour équation xcosa 4-^r sina = o. L'équation de la surface donne

cosa . . sin a . . .

p = [.rcosa H- r sm«;, q =z (j:cosa -T-^sm«),

d'où

adxdr

.rcosa -t-^sinaj*

En intégrant d'abord par rapport àj^, on a Tintégrale indéfinie

dy ad.c , xcoset H- ^sina

= -: — arc sin : h C.

adx \—=z —

[x COS a -h ^ sin «) * **" * ^'

Pour avoir la portion située au-dessus du plan des xy et en avant du plan des zx, on intégrera depuisj' = o jusqu'à la valeur

I Y = -: — ia — .r cosa),

! sin« ' '

COHPLANATION DES SCRPACBS QUELCONQUES. 95l

qui répond à z = o et au contour apparent du cylindre. L'expression précédente devient alors

idx /tt . xcos«\

: — I arc sin- J

in« \2 a j

adx sin

Il faut maintenant intégrer cette différentielle entre les limites x=-o et x = y cette dernière correspondant à -s = r = o. En