COS « T
posant
.rcosa „ , , asinv ,
= cos», d ou dx-=i iltA^
a cosa
l'intégrale devient
I «►.sm«>f/»= -; [— ©ces» -f-sinylft = -: •
smacosaj'^ , sin «cosa ■*" sin oc cosa
On voit que cette aire est carrable.
760. Formules générales pour les quadratuj'es et les cubatures des surfaces au moyen des coordonnées curvilignes, — Tout point de l'espace^ déterminé par les coordonnées rectangulaires Xy y, Zj peut être considéré comme l'intersection de trois surfaces, données par les équations
En faisant varier les paramètres u, Vy Wy le point d'intersection M variera suivant une loi quelconque, et ces trois paramètres pourront être considérés comme les coordonnées de ce point. On les désigne sous le nom de coordonnées curs^ilignes. Nous allons voir comment on peut, à l'aide de semblables coordonnées, déterminer l'aire d'une surface donnée ou le volume d'un corps donné.
Supposons d'abord que
représente une surface donnée, et considérons, par analogie avec ce que nous avons fait au n^ 477, l'aire du parallélogramme infinitésimal compris sur la surface (2) entre les surfacesy*i = Uy/^ = r, et les surfaces obtenues en changeant u en u H- du, {* en s^-^-dv^. Les coordonnées des deux sommets de ce parallélogramme con-
252 LIVBIS III. — CUAP. III, § III.
tîgus au sommet [pc^y-t z) seront
Donc les aires des projections de ce parallélog[ramme sur les trois plans des j--?, des zx et des xy seront [126J
duZ
dur
^hy
il^^x
Par conséquent, Taire du parallélogramme lui-même sera la racine carrée de la somme des carrés de ses projections, c'est-à-dire
dvy
Of£ ^ ^U "^
duX df,x
'luX l'
V là[u,v)\ lô[u,v)} L^t"'*')J
En remplaçant, dans cette expression, x, y^ z par leurs valeurs en u, \f tirées des trois équations (i), on aura une fonction de ces deux variables, que l'on intégrera entre des limites dépendantes de la forme du contour de l'aire à évaluer ( * ).
Considérons maintenant un volume. On le décomposera en parallélépipèdes infinitésimaux compris entre deux surfacesyi correspondantes à II elu-hduy entre deux sufacesy2 correspondantes k u et i^ -h di^y et entre deux surfaces fz correspondantes à w et vv -f- dw. Les coordonné^ des trois sommets d'un tel parallélépipède contigus au sommet [x, y, z) seront x,y, z augmentées de leurs différentielles partielles respectives par rapport soit à u, soit à i^y soit à çv. Donc le volume du parallélépipède sera [127]
On obtiendra le volume total en intégrant cette expression par rapport aux trois variables indépendantes u, r, w, entre des limites qui seront déterminées par la forme de la surface qui borne le volume cherché.
duy
duZ
— dudvdtv
dwZ
(•) Voir la formule (4) du n" 720.
