CUBATURES EX COORDONNÉES CURVILIGNES

Cette expression n'est autre que celle que Ton aurait obtenue directement par l'application de la formule du n^ 476 à l'expression dxdjdz de l'élément de volume en coordonnées rectangulaires.

§IV

DÉTERMINATIOIV DES CENTRES DE GRAVITÉ ET DES MOMENTS d'iNERTIE.

761. Masse d'un corps. — Pour les corps homogènes, le calcul de leur masse se ramène immédiatement au calcul de leur étendue, linéaire, superficielle ou solide.

Si un corps est hétérogène, on le décomposera en éléments infiniment petits, tels que, dans l'étendue de chacun d'eux, la densité varie infiniment peu. En multipliant l'étendue dY de chaque élément par la densité p en un quelconque de ses points, on obtiendra la masse dm de cet élément, à une fraction près d'ellemême infiniment petite. On cherchera alors, par l'intégration, la limite de la somme de ces éléments dm.

Ainsi, pour une ligne hétérogène, la densité p est fonction de la variable indépendante dont dépendent les coordonnées de chaque point de la courbe. La masse de l'élément d'arc ds étant pds^ à un infiniment petit près du second ordre, on aura, pour expression de la masse de la ligne, l'intégrale Jpdsj prise entre des limites correspondantes jaux extrémités de la ligne.

De même, si une surface plane est composée de tranches homogènes, parallèles à l'axe des j^, la masse d'une tranche sera pydxj et la masse totale fpj dx, p étant donné en fonction de x.

Si une sphère est composée de couches concentriques homogènes, le volume d'une couche infiniment mince de rayon /* étant

d \%T:r^\ ^z^Tir^dr, sa masse sera ^itçn'^dr, et la masse totale

^Tzjpr^dvj p étant donné en fonction de r.

Dans une surface hétérogène, la densité est fonction des coordonnées de chaque point. On décomposera alors la surface en éléments infiniment petits du second ordre ^S, et l'on obtiendra la masse de la surface en intégrant p^/S par rapport à chacune des deux variables. Ainsi la masse d'une aire plane sera

ffodxdy zziff^rdrdp.

De même, celle d'un volume composé de filets homogènes parallèles à Taxe des z sev^ffpzdxdjr.

Enfin y s'il s'agit d'un solide dont la densité varie avec les trois coordonnées, on le décomposera en éléments de volume infiniment petits du troisième ordre, que Ton multipliera par la valeur correspondante de p ; puis on obtiendra la masse totale par une triple intégration. Ainsi, si les coordonnées sont rectangulaires, la masse

aura pour expression

fff^djcdydz.

Si Ton emploie les coordonnées polaires [757], cette expression <le viendra

fff^r^cosqdrdpdq.

Si Ton emploie des coordonnées curvilignes quelconques, on aura la masse en multipliant par p, sous le signe de triple intégration, l'élément de volume donné au n® 760.

762. Moments et centres de gravite. — On appelle moment d'un point matériel par rapport à un axe ou à un plan le produit de la masse de ce point par sa distance à cet axe ou à ce plan, cette distance étant comptée positivement dans un sens, négativement dans l'autre.

Le moment d'un système plan par rapport à un axe tracé dans le plan est la somme algébrique des moments des points du système par rapport à cet axe. De même, le moment d'un système jiolide par rapport à un plan est la somme des moments des points du système par rapport à ce plan.

Le centre de gravité d'un système plan (ou solide) est un point tel, que le moment du système pa^ rapport à tout axe (ou à tout plan) passant par ce point est nul. Le moment du système par rapport à un axe (ou à un plan) quelconque est égal à celui d'un point de masse égale à la masse du système^ et situé au centre de gravité.

Si X est la distance d'un point de masse m à un axe (ou à un plan), mx sera le moment du point par rapport à l'axe (ou au plan), et Smx sera le moment du système total par rapport au même axe (ou au même plan).

Si l'on désigne par ( la distance du centre de gravité du système