AD + BE

Ax + By-^ A + G = "'

2(A4-G)[(GD — BE)ar + (AE — BD)^]

-4-F(A-4-G)2(AD2-hGE2-t-2BDE) = 0.

Il résulte de là que les coordonnées du sommet sont des fonctions rationnelles des coefficients de l'équation.

Prenons pour axe des X l'axe de la parabole et pour axe des Y la tangente

RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ. 285

au sommet, on aura, pour un point quelconque du plan, ax-\-by -hl = Y /a* -+- b^,

■2( D — aX)a7 -1- ^(E — Z>X)7 -)- F - X2 = .iX/( D — aX)*-i- ( E — 6X )2. Pour tout point (ce, y) de la parabole, l'équation suivante est vérifiée :

(a«H-62)Y2±2Xv/(D — aX)2^(K — 6X)-^r=:o.

Or,

D — aX E—bX Dé — Ea \/(D — al^-^ (E — bA)^

donc l'équation réduite est

en posant

^ D6 — Ea

•2° Supposons les axes obliques. On détermine d'abord X par la condition

rt(D — aX)-+-6(E — 6X) — [a(E— èX)-i-6(D — aX)]cosO = o. On écrit ensuite les formules de transformation :

ax -{- by -r-\=^Y /a^ -f- è^ — .lab cos 0,

2(D — aX)a;-+-2(E — 6X)7 + F — X2

= 2Xv/(D — aX)2-H(E — 6X)2— 2(D — aX)(E — 6X)cos8. Puis

D — aX E — 6X Db—Ea

b — a cos 6 6 cos 6 — a a^-hb- — aaècosO

v/(D — aX)2+(E — 6X)-i — 2(0 — aX)E — 6X)"côs6 sin 0 \/a2-4- 62 — ^ab cosO

On obtient donc l'équation

Y2.^^X, avec la condition

^ (D6 — Ea)sin26

(a2-i- b^—?.ab cosQy

EXERCICES

1. Rapporter à ses a\es de symétrie la conique ayant pour équation x^-hj* = i, l'angle des axes coordonnés 6 étant quelconque. Appliquer à cet

exemple les différentes méthodes et supposer ensuite 0 = •^•