A\ AK A\ T

Le premier membre est donc un invariant. Quand on suppose 0 = 0, A = o, l'expression

^^ dA d\ âA-^dG-^dB^"^Q sin^O

reste invariable si l'on fait un changement de coordonnées.

RÉDUCTION DE l'ÉQUATION DU ShCOND DEGRÉ. 283

327. Parabole. — Nous savons former l'équation de l'axe; si l'équation de la parabole est mise sous la forme

{ax ■+- by)--\- iDx -\- lEy -+-F = o,

réqualion de l'axe sera

ax-h- by -h h = o,

h étant un coefficient que l'on peut calculer. On obtiendra le sommet en prenant l'intersection de l'axe avec la parabole ou, plus simplement, avec la droite représentée par l'équalion

h- -h J-Dx -h-iEf H- F — o.

En prenant pour axe des X l'axe de la parabole et pour axe des Y la perpendiculaire à l'axe menée par le sommet, e'cst-à-dire la tangente au sommet, l'équation de la parabole sera de la forme

Il s'agit de calculer G' et D'. On a identiquement

Or, on sait que . '.^ et -t-tt; restent invariables; donc

siiiM) ^' sin^ô

et, par conséquent, D'2 = -; — r-r-r« On ne détermine que le carré de D'; par ' -1 ' S2Sin20

suite, la valeur absolue de D' est seule connue; cela tient à ce que l'on peut

choisir arbitrairement la direction positive de l'axe des X et un changement

de sens des X positifs amène un changement de signe du coefficient de X^

On a ensuite

D'î — Asin«6

On peut donc enfin mettre l'équation de la parabole sous la forme réduite

Y2=2/jX, en posant

(A)2sin20

La valeur absolue de la constante p se nomme \e paramètre de la parabole.

328^ Autre méthode relative à la parabole. — Nous ferons connaître

une dernière méthode de réduction relative à la parabole. Soit

(«37-4- by)^-^ i\) X -^ lEy -\-¥ = o

l'équation d'une parabole. Les équations

ax -\- by = o. iDx + -x ^y -t- F = o

représentent : la première, un diamètre; la seconde, la tangente à l'extrémité de ce diamètre. Si ces deux droites étaient rectangulaires, on connaîtrait ainsi l'axe et la tangente au sommet. L'équation de l'axe de la parabole est de la forme

(i) ax -\- by -\-\ = o,

ce qui conduit à écrire l'équation de la parabole de cette manière

{ax ^ by -\-\y ■+■ % {l> — al)x + i{E — b\)y ^ ¥ — V' = o.

L'équation a gardé sa forme primitive, de sorte que l'on a conservé en évidence les premiers membres des équations d'un diamètre et de la tangente à son extrémité.

i" Supposons les coordonnées rectangulaires et écrivons que l'équation

(2) 2(D — aX)a7-+-2(E — 6X)7+F — X2=o

représente une perpendiculaire au diamètre représenté par l'équation (i). La condition

a(D — aX)-f-6(E — 6X)=o

détermine X; l'axe de la parabole a donc pour équation

bj b^~

ax-\-by ^ ---r-—r^- = o,

et la tangente au sommet

Db-aE,, , ^ (^D + 6E)2

Quand l'équation de la parabole est sous la forme Ax^-h 2Bxy -+-... =0, ces équations deviennent, en supposant A ^ o,