LONGUEUR DES AXES D'UNE CONIQUE. THÉORÈMES D'APOLLONIUS
Équation aux carrés des longueurs des demi-axes d'une conique à centre.
329. L'équation d'une conique à centre unique, rapportée à ses axes de symétrie, est, comme nous savons,
Cette équation représente une ellipse si les racines S), So de l'équation en S ont le même signe, c'est-à-dire si 5 >> o. Pour que l'ellipse soit réelle, il faut et il suffît que S, A soit négatif. On en conclut que S, a le même signe que A, ce qu'il est d'ailleurs aisé de reconnaître, car si l'on suppose, par exemple, A > o, en substituant dans le premier membre de l'équation en S successivement o. A, -{-00, on trouve les signes -{-, — , + pour les résultats de ces substitutions.
Supposons donc remplies les conditions S^o, S,A<;o. L'axe des a; coupe l'ellipse en deux points réels qui sont deux sommets et
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dont les abscisses, égales et de signes contraires, sont les racines de
l'équation StX--^ -k = o.
En désignant par a la distance au centre de chacun de ces som-
mets, on a c)i = — k— s •
Pareillement, l'axe des y coupe l'ellipse en deux points qui sont deux autres sommets réels et dont les ordonnées sont les racines de
l'équation S-i^'-i- ^ = o.
En appelant b la dislance au centre de chacun de ces sommets,
on a 82 = — syj et, par conséquent, l'équation de l'ellipse prend la
forme — + -7- = i .
Les longueurs 2«, 26 se nomment les axes de l'ellipse. La plus grande de ces longueurs se nomme le grand axe, l'autre, le petit axe.
Si l'on suppose a^ b^ on volt que si l'on prend sur l'axe des x, à partir du centre, deux points F, F' situés à une distance du centre égale à \la^ — 6^, la courbe dont nous venons d'obtenir l'équation coïncide avec l'ellipse définie comme lieu des points dont la somme des distances aux deux points F, F' est constante et égale à 2«. La longueur 2C= 2 y/a- — b- se nomme la distance focale et le rapport - 1 excentricité.
Supposons, en second lieu, o << o et, par suite, S|S2<!o; la courbe est une hyperbole; supposons, en outre, S|A>o; alors, il faut supposer S2 A <; o. 11 en résulte que l'axe des x coupe l'hyperbole en deux points réels et l'axe des y la coupe en deux points imaginaires conjugués. Nous poserons S)rt-4--s: =0, — 8?,^-+ is =0.
L'équation prendra ainsi la forme — — -^ =: i , et nous appellerons : 2 a la longueur de Vaxe transverse; 26 la longueur de Vaxe non transverse ou, comme on dit aussi, la longueur de Vaxe imaginaire^ bien que b soit réel.
Si l'on détermine sur l'axe des x^ de chaque côté du centre, deux points F, F' dont la distance au centre soit égale à \la^-\- 6^, on voit que la courbe définie par l'équation précédente est le lieu des points dont la difi'érence des distances aux deux points F, F' est con-
slanle et égale à 2«. On justifie donc ainsi le nom à^ hyperbole. Si l'on pose 2C= y/a^ -\- b^, 2C se nomme la distance focale et - V excentricité.
L'excentricité d'une ellipse est moindre que l'unité, celle d'une
hyperbole est plus grande que l'unité.
T , ' b b Les asymptotes ayant pour eqviations y=.-x eX, y z= Xj
chacun des angles opposés par le sommet et formés par les deux asymptotes, dans lesquels se trouvent les deux branches de l'hyperbole, est aigu, droit ou obtus suivant que l'on suppose a >> è, a = 6, a<^b. Lorsque a^b., on dit que l'hyperbole est équilatère; les asymptotes d'une hyperbole équilatère sont rectangulaires et réciproquement. On peut donc appeler hyperbole équilatère celle dont les asymptotes sont rectangulaires. La condition pour que l'équation y(:r, jk) = o représente une hyperbole équilatère est, d'après cela,
A-vG — 2Bco«0 = o
ou Y| = O.
L'équation
xi y^
représente une seconde hyperbole dont l'axe imaginaire est égal kia et l'axe réel à 2^. On dit que les hyperboles représentées par les deux équations précédentes sont conjuguées : l'axe réel de l'une est égal à l'axe imaginaire de l'autre.
Il est facile de trouver les carrés des longueurs des demi-axes d'une conique à centre dont on donne l'équation f{x^ y) = o, rapportée à deux axes quelconques. En effet, S désignant l'une quelconque des racines de l'équation en S, si l'on pose S = — ^> s'il
s'agit d'une ellipse, en remplaçant S successivement par S, et So, on trouvera p = a^ g^ ^ __ ^2. g'^j s'agit d'une hyperbole et si l'on suppose S, A>>o, on trouvera, pour S = S|, ^ = a^ et, pour 8 = 82, p =:: — b-; c'est l'inverse, si S, A est négatif. Il en résulte que l'équation
A cos6\*
a pour racines a^^ b^ s'il s'agit d'une ellipse; a^, — 6^ (è^^ — a-)
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s'il s'agit d'une hyperbole; c'est donc V équation aux carrés des longueurs des demi-axes.
En développant, on obtient
83p2~ T]8Ap -i- A2 sin^O r^ o.
330. Problème. — L'équation f{x, y) =^ o représentant une hyperbole, trouver V équation de l'hyperbole conjuguée.
Si nous rapportons l'hyperbole à ses axes de symétrie, son équation sera de la forme
SiX2-t-S2Y2 4- V =0, et nous savons que
L'hyperbole conjuguée a pour équation
son équation, rapportée aux axes primitifs, est donc
On voit par la même méthode que le faisceau des asymptotes a pour équation
331. Remarque relative aux invariants. — .Nous avons trouvé trois expressions
sm2"6' sin^e' sin^ 6 *
qui restent constantes quand on fait une transformation de coordonnées, pourvu, il importe de ne pas l'oublier, qu'on ne supprime ou qu'on n'introduise aucun facteur commun dans les coefficients de l'équation transformée: il est facile de prouver qu'il n'existe pas d'autres expressions invariables, distinctes des précédentes. En eflet, nous avons obtenu l'identité
/(ar,j)^S,X2-f-S2Y2-^F„
et nous avons les relations
^6 = ^*^^' ^ = ^'"^^^' si;^^^'^^^'-
NiEWENGLOWSKI. — G. an., I. l()
agO CHAPITRE XII.
S'il existait une quatrième constante, elle fournirait une quatrième relation, distincte des précédentes, entre A, B, G, D, E, F, Si, Sj, Fi, 6. En éliminant entre les quatre équations obtenues Si, S2 etFi, on aurait une relation entre les coefficients A, B, G, D, E, F et l'angle 6, ce qui est absurde puisque ces coefficients et 6 sont arbitraires.
Dans le cas de la parabole, on a trouvé l'identité
( aa? -!- 6jk)2 + 2 Da7 -+- 2 Ej ^- F = Cl Y2 -i- 2 Di X
et les relations
Si l'on pouvait trouver une autre relation distincte de ces deux précédentes, en éliminant entre ces trois relations Gi et Di, on aurait une relation entre a, b, D, E, F et 6, ce qui est absurde.
Nous avons déjà montré le parti que l'on peut tirer de la connaissance des invariants; nous allons en montrer d'autres applications.
Théorèmes d'Apollonius.
