Soit

l'équation d'une conique à centre rapportée à ses axes de symétrie; si £ = -i-i, cette conique est une ellipse; c'est une hyperbole quand £= — i. Prenons pour nouveaux axes de coordonnées deux diamètres conjugués; en nommant x', y' les nouvelles coordonnées, les formules de transformation donnent

A, B, G étant des constantes. L'équation de la conique rappor ée aux nouveaux axes est donc

Aa7'2-i- i^x'y' -^ Gjk'^ — i = o.

Mais ces axes sont, par hypothèse, deux diamètres conjugués, donc B = o. Si £ = -H I, A et G sont positifs, et l'on peut poser

Si £ = — I, A et G ont des signes contraires. On peut supposer A > o et G < 0, et poser

sin^O.

LONGUEUR DES AXES d'uNE CONIQUE. THÉORÈMES d'aPOLLONIUS. 29 1

l.a nouvelle équation sera donc

et, d'après ce qui précède,

Soit 0 l'angle des deux diamètres conjugués; la théorie des invariants donne les deux relations

De l'équation (5) on tire

ab = a! h' sinO,

et, par suite, on déduit de l'équation (4),

Donc, dans l'ellipse : 1° la somme des carrés des longueurs de deux diamètres conjugués est égale à la somme des carrés des longueurs des deux axes;"!" le parallélogram,me construit sur deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle construit sur les deux axes.

Quand s = — i, l'équatîon (2) montre que l'axe Ox' coupe l'hyperbole en deux points réels, et ia' est la longueur du diamètre dirigé suivant l'axe des x' \ le diamètre dirigé suivant l'axe des y est imaginaire, mais nous convenons d'appeler 26' la longueur de ce diamètre imaginaire. L'hyperbole conjuguée de la première a pour équation, par rapport aux axes primitifs,

lionc, en vertu de l'identité (3), son équation, rapportée aux nouveaux axes, est

il en résulte que ib' est la longueur d'un diamètre de l'hyperbole conjuguée à la première. Les choses étant ainsi entendues, nous énoncerons ces théorèmes :

Dans l'hyperbole : i" la dijférence des carrés des longueurs de deux diamètres conjugués est égale à la dijférence des carrés des longueurs des deux axes;

2" Le parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est équivalent au rectangle construit sur les deux axes.

Ces théorèmes ont été trouvés par Apollonius.

On démontre ces théorèmes de bien des manières. Ainsi, par exemple, en partant de l'identité

S "^ S - s(^2-^j^2) ^Ç^ Ç^ - S(^'2+ 2^^y coso +y2),

on voit que les équations en S,

(r — «2 5) ([ — £02 S) = o, (i — a'2S) (i — eè'2 S) — £a'2 6'2cos26S2 = o,

sont identiques; en écrivant que les coefficients de S2 et de S sont les mêmes dans les deux équations, on obtient les relations qui constituent les théorèmes d'Apollonius.

On peut présenter cette même démonstration sous forme géométrique. Supposons qu'il s'agisse d'une ellipse.

En retranchant membre à membre les équations

^1 y2 ^2 yi

on obtient

équation qui représente deux droites passant par les points communs à l'ellipse donnée et au cercle concentrique de rayon R; ces deux droites se confondent et le cercle est bitangent à l'ellipse quand R2 = «2 ou quand R2 = b^. Reprenons le même calcul quand les axes sont deux diamètres conjugués de l'ellipse; les équations des deux courbes sont alors

x'^ r'2 a?'2-i- îip'y'cosO H- y'2

^. + i^-'-«' ^Ri ^-^=o;

en retranchant membre à membre, il vient

,„ / I I \ 2x'y'cos^ ,, / I I \

^' (^2 - R. j T^^ +r' [v^ - Rij = «•

Les deux droites représentées par cette équation seront confondues si

I I \ / I 1 \ cos2 0

â^~ Ri) [b^ ~ Ri) i^" ~ ^'

ou, en développant,

R4— R2(a'2-(-è'2)-Ha'2 6'2sin2 0 = 0.

Mais on connaît déjà les racines de cette équation, qui sont «2 et b^ ; donc, etc. Cette démonstration est attribuée à E. Galois.

LONGUEUR DES AXES d'uNE CONIQUE. THÉORÈMES d'aPOLLONIUS. îqS

333. Autres applications des invariants. — i" Soit A.x^-+- iBxy -+- Cy- — i = o

l'équation d'une conique rapportée à deux axes rectangulaires passant par son centre. La somme A -t- G reste constante quand on remplace ces axes par deux nouveaux axes rectangulaires. Or les inverses des carrés des deux demidiamètres dirigés suivant Oa: et Oy ont pour expressions x ^' F» donc : dans

A. Cl

une conique à centre la somme des inverses des carrés de deux diamètres rectangulaires est constante.

On peut interpréter autrement ce résultat. En effet, soit

X cosa -{-y sina — A = o

l'équation d'une droite, en appelant l et l' les distances à l'origine des traces de cette droite sur les axes, on a

/ cosa — h, r sina = h',

Il en résulte immédiatement que la distance au centre d'une corde vue du centre d'une conique sous un angle droit est constante, et, par suite, toutes les cordes d'une conique vues du centre sous un angle droit sont tangentes à un cercle concentrique.

•i" Les asymptotes d'une hyperbole forment quatre angles; une branche de la courbe est dans l'un de ces angles, l'autre branche étant située dans l'angle opposé par le sommet. Nous appellerons angle des asymptotes d'une hyperbole la valeur commune de ces deux angles dont les côtés comprennent la courbe. Nous nous proposons de reconnaître dans quel cas l'angle des asymptotes d'une hyperbole est aigu, obtus ou droit.

Si l'on appelle ia l'axe transverse, 26 l'axe imaginaire et aw l'angle des asymptotes,

b tangtu = — • ° a

Or, si l'équation de l'hyperbole, rapportée à deux axes quelconques, est fi^t y) = o, on a identiquement

d'où

mte. Mais

sin^O ~ a* 62

sin26 "

Tl 62 —

Donc, l'angle des asymptotes est aigu, di-oit ou obtus, suivant que le rapport ■^ est négatif, nul ou positif.

334. Diamètres conjugués égaux. — Quand la conique est une hyperbole, si l'on suppose «'= b', on en déduit a = b el réciproquement.

Dans le cas de l'ellipse, pour que deux diamètres aient même longueur, il faut et il suffit qu'ils soient symétriques par rapport aux axes, comme on le voit en coupant une ellipse par un cercle concentrique; or, la relation entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués d'une ellipse dont les axes sont 2a et 26 se ré-

duit à mm' = — — quand on prend pour axes de coordonnées les axes

de symétrie de cette ellipse. Si /w'=r — m, on a m^ = i" C)n en

conclut que les diagonales du rectangle formé par les tangentes aux sommets constituent un système de deux diamètres conjugués dont les longueurs sont égales, la longueur commune ayant pour valeur

et le sinus de l'angle de ces diamètres étant égal à -^

comme le montrent les théorèmes d'Apollonius.

L'équation d'une ellipse rapportée à ses deux diamètres conjugués égaux est

372 + j2 = Oj'2 EXERCICES.

i. Étant donnée la conique représentée par l'équation

Ax'^-+- aB^j-f- Cjk2= I,

trouver les longueurs des diamètres conjugués qui font entre eux un angle donné a. Cas particulier : a = 45°.