SM
k désignant un nombre constant, positif si
les segments SM, SM' sont dirigés dans le
même sens; négatif, s'ils sont dirigés en sens contraire^. Le point S
se nomme le centre d^homothétie des deux figures, et k le rapport
d'homothétie.
Enfin, on dit que l'homothétie est directe quand le rapport k est positif, inverse quand il est négatif.
Si l'on nomme x^^ y^ les coordonnées de S, x^ y celles de M et enfin x' ^ y' celles de son homologue M', les projections de deux segments d'une même droite étant proportionnelles à ces segments, on a
X — Xf,
d'où
Xq
k)-hkx', et pareillement y = yo(i — ^)-t-^''
Si le point M décrit une courbe C ayant pour équation fioc^y) ■■= o, la courbe G' décrite par M', c'est-à-dire la courbe homothétique de C, aura pour équation
fia^kx', b-i-ky') = 0,
en posant, pour abréger,
a = iPo(i — /f), b=yQ{-i — k).
On voit que le point (a, b) est le point de la première figure qui est l'homologue de l'origine regardée comme appartenant à la seconde figure.
Supposons que le centre d'homothétie se déplace, le rapport k restant constant; si l'on nomme Xi, y^ les coordonnées du nouveau centre S, et x" , y" les coordonnées du nouveau point M" homologue de M, on aura
x = Xx{i — k) -+■ kx'\
y = y\ii — k)-^ky"
En comparant les formules (i) et (2), on obtient
x"~x'={xq—xi) — >— ' y— y=(7o— jKi)— 7— .
ce qui prouve que les segments M' M" et SS, sont parallèles et dans un rapport constant, de sorte que la figure F", homothétique de F' par rapport à Si, se déduit de la figure F' par une translation. Ces deux figures sont donc égales.
336. Si P et P' sont deux points homologues des figures F, F', les rayons PM, P'M' sont parallèles et dans le rapport k. Et, réciproquement, s'il existe dans le plan des figures F, F' deux points fixes P, P', tels que les rayons PM, P'M' soient parallèles et dans un rapport constant, M et M' étant deux points variables de ces figures, F et F' sont homothétiques.
En effet, en désignant par [x, y) et {x' ^ y') les coordonnées de M et de M', et par (a, j3) et (a', [3') celles de P et de P', on a, si les figures sont homothétiques, le centre ayant pour coordonnées
(^0, Jo),
X = Xq{i — k) -\- kx\ a = XQ{i — k) -\- k(t' ,
