FIGURES HOMOTHÉTIQUES, FIGURES SEMBLABLES

d'où

X —a y Et réciproquement, en posant

yo

on déduit des équations (3)

a; — kx' = a — k<x' = aro(i — k) X = Xo(f — k) -\- kx', ....

ou

D'ailleurs ces propositions se démontrent avec la plus grande facilité parla Géométrie.

337. Quand deux courbes sont honiothétiques, si l'une d'elles a un centre, l'autre en a aussi un, et ces deux courbes sont honiothétiques directes et honiothétiques inverses.

En effet, soient C et C deux courbes homothétiques {fig. 87)61 supposons que la courbe G ait un centre O; soit S le centre d'homothétie que nous supposerons, par exemple, directe.

Considérons un point M de la courbe G,

et son symétrique N par rapport au

centre O. Soient M', N', O' les points

homologues de M, 0, N. On a, k étant

SO le rapport d'homothétie, ^^ — k\ donc

le point O' est fixe et, comme il est évidemment le milieu de M'N', 0' est un centre de la courbe G'. En second lieu, la droite M'N coupe SOO' en un point S' tel que

S^Ô ÔM ^.

ce qui prouve que S' est fixe et, comme on a aussi

S7< ÔM

les deux courbes G et G' sont homothétiques inverses; mais on doit remarquer que les deux rapports d'homothétie sont égaux et de signes contraires.

Réciproquement, si deux courbes C et C sont homothétiques directes et inverses, dans les rapports k et — k, elles ont chacune un centre.

Soient S et S' les deux centres de similitude; M un point de la courbe C,

M' son homologue direct et N' son homologue inverse; menons la droite M'N'

et par M la parallèle MO à M'N'; la droite SS' coupe ces deux parallèles aux

points 0 et O'. Je dis d'abord que O et O' sont fixes. En effet, les points O

et O' sont conjugués harmoniques par rapport à S et S', et comme le rap-

Â-f-i ^ , , OM , ÔM

-j • Cela étant, -^,,^, ::= k, ■ — — k: