Soit

(i) /(^j y) = Aa72-+- aBipy 4- C y2-t- i\ix -f- aEj^-f- F = o

l'équation dune conique. L'équation d'une courbe homothétique est

de la forme Ir

f{a-^kx, \-^ ky) ^o,

c'est-à-dire

(2) /(a, b) ^k{xf'^-^yf',,) + A-2cp (a^, j) = o,

ce qui montre déjà que la courbe homothétique d'une conique est une seconde conique. Gela posé, proposons-nous de trouver à quelles conditions deux coniques sont homothétiques. A cet effet, soit

( 3) k'x^ -4- iWxy -r- C'y- - 2 \)'x -f- i. E'y -f- F' = o

3oO CHAPITRE XIII.

l'équation d'une nouvelle conique. Pour que les équations (i) et (3) représentent deux courbes homothétiques, il faut et il suffit que l'on puisse déterminer a, 6, A' de façon que les équations (2) et (3) représentent la même courbe. On voit déjà que les coniques (1) et (2) ont les mêmes directions asymptotiques; donc, pour que la conique (3) soit homothétique à la conique (i), il est nécessaire qu'elle ait les mêmes directions asymptotiques; autrement dit, les coefficients A', B', C doivent être respectivement proportionnels aux coefficients A, B, G. Supposons ces conditions remplies; de sorte que A'=)^A, B'=XB, C' = XG. Pour simplifier, nous pouvons diviser tous les coefficients de l'équation (3) par \^ ce qui donne l'équation

(4) kx'^-\- i^xy -^,- G^2-t- 2Dia7-T-2EijK-i-Fi== o,