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FIGURES HOMOTIIÉTIQUES, FIGURES SBMBLARLES. 3oi

On peut, en cfTet, le remplacer d'abord par

enfin, en décomposant chacun de ces déterminants en deux autres et simplifiant, on obtient

où A et A, sont les discriminants des polynômes (i) et (4).

D'ailleurs, on voit que, si k = o, le déterminant (8) se réduit à A :

en le divisant par A- et posant ensuite t = o, on trouve A, ; donc le

coefficient de A"- est A, ; enfin ce déterminant ne change pas quand on change k en — A", donc il ne contient pas de terme en A". Il a donc bien la forme (9).

On trouve ainsi pour k deux valeurs égales et de signes contraires. Ce résultat s'explique, puisque les deux courbes, ayant chacune un centre, doivent être à la fois homothétiques directes et inverses.

A chacune des valeurs de A' correspond un centre d'homothétie

dont les coordonnées sont x^^ = —^si.'' ^"0= . •

Si — = I > le centre direct est à l'infini et le centre inverse a pour

coordonnées -? -• Il peut arriver cependant que a = o, b=^o, k = i:

alors Xo et y^ sont indéterminés. Et, en effet, s'il en est ainsi, les équations (5), (6), (7) donnent D = D,, E= E,, F = F, ; les deux coniques sont confondues et le centre d'homothétie directe est évidemment indéterminé; le centre d'homothétie inverse est le centre. 11 reste à savoir si A' est réel; pour qu'il en soit ainsi, il faut que A et A, aient le même signe. Si les coniques sont du genre ellipse, la

condition v- > o exprime qu'elles sont toutes les deux réelles ou

toutes les deux imaginaires.

Pour deux hyperboles, la condition précédente exprime que les deux courbes doivent être situées dans les angles correspondants de leurs asymptotes respectives, c'est-à-dire dans les angles que l'on

peut faire coïncider par une translation. Lorsque— <^o, l'une des

hyperboles est homothétique à la conjuguée de l'autre.

3o2 CHAPITRE XIII.

Il reste à examiner le cas où A ou bien A, serait nul. Si l'on suppose que A tende vers zéro, on voit que k tend aussi vers zéro, et x^, Yf^ deviennent les coordonnées du centre de laconique rectiligne (i). Si A, tend vers zéro, k augmente indéfiniment; enfin, si A et A, deviennent nuls, la valeur de k cesse d'être déterminée. Il est facile de se rendre compte de ces résultats. En effet, si l'on considère une hyperbole et ses asymptotes, en portant sur chaque rayon OM issu du centre une longueur égale à OM X A-, si A" = o et si OM a une valeur finie OM x /: = o, ce qui donne le centre pour point correspondant à M; mais, si le point M s'éloigne à l'infini sur l'une des branches, le produit OM x k est indéterminé et le point M' est l'un quelconque des points de l'asymptote correspondante. Enfin, quand il s'agit de deux droites concourantes, on vérifie bien facilement que ces deux systèmes sont homothétiques, le centre d'homothétie étant l'un quelconque des points situés sur la ligne joignant les centres de ces deux coniques rectilignes, le rapport de similitude pouvant avoir une valeur quelconque.

2" AG — B^ = o. Les coniques sont du genre parabole. Supposons qu'elles soient des paraboles proprement dites. Soit, pour fixer les idées, A=z^o. Les équations (5) et (6) sont incompatibles, à moins qu'elles ne se réduisent à une seule, ce qui exige que