AE.-BD
d'ailleurs les équations (5) et (7) donnent, pour a et 6, des valeurs acceptables, car le déterminant du système de ces deux équations ne peut être nul.
L'équation (g) subsiste encore.
Si l'une des paraboles dégénère en deux droites parallèles, h devient nul ou infini, et enfin k est indéterminé si les deux paraboles sont dégénérées.
340. Théorème. — Pour que deux coniques à centre soient homothétiques, il faut et il suffit que leurs axes soient parallèles et proportionnels.
Considérons en eff'et, par exemple, deux ellipses réelles homothétiques ; les termes du second degré de leurs équations étant les mêmes,
FIGURES HOMOTHÉTIQUES, FIGURES SEMBLABLES. 3o3
à un facteur près, les équations en S relatives à ces ellipses sont identiques, d'où l'on conclut que leurs axes sont parallèles et proportionnels. Réciproquement, s'il en est ainsi, les termes des équations réduites ont des coefficients proportionnels, et, comme les axes de coordonnées correspondants sont parallèles, les équations des deux ellipses rapportées à deux axes quelconques auront les mêmes termes du second degré, à un facteur près.
Raisonnement identique pour deux hyperboles; dans ce cas, les axes transverses sont parallèles, ainsi que les axes imaginaires et les axes de même nature sont proportionnels. Si les axes de natures différentes sont parallèles et proportionnels, l'une des hyperboles est homothétique à la conjuguée de l'autre.
On établit encore ces propositions en remarquant que, si deux coniques à centre sont homothétiques , les rayons vecteurs issus des centres et parallèles sont dans un rapport constant, et réciproquement.
341. Théobème. — Pour que deux paraboles soient homothétiques, il. faut et il sujffit que leurs axes soient parallèles.
En effet, pour que les axes de deux paraboles soient parallèles, il faut et il suffit que les termes du second degré de leurs équations soient identiques à un facteur près.
342. Corollaire. — Deux paraboles quelconques sont semblables; en effet, en faisant tourner une parabole P autour d'un point pris dans son plan, de manière que son axe devienne parallèle à celui d'une parabole P', elle devient homothétique à celle-ci. Le rapport de similitude est égal au rapport des deux paramètres. En effet, considérons une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet ; son équation étant
y^ — ipx — o, l'équation d'une courbe homothétique par rapport à l'origine sera
Ic^y- — npkx = o
ou
•xpx
3o4 CHAPITRE XIII.
en appelant/»' le paramètre de la parabole obtenue, on a bien k
c'est d'ailleurs ce que donne la formule (lo). La grandeur d'une parabole ne dépendant que de la valeur de son paramètre, on en conclut encore que toutes les paraboles sont semblables.
Les théorèmes précédents sont des cas particuliers de propositions plus générales.
