AG X BD = AB X CD H- AD X BG

En effet, prenons le point A pour origine des abscisses et soient x^, x^, x^ les abscisses des points B, G, D; l'identité à démontrer revient à celle-ci, qui est évidente

^2(^3 — ^1)= ^ii^3 — ^i) -^ ^ii^i — ^i)-

Angles.

23. Orientation d'un plan. — Considérons un plan et une droite A située dans ce plan. On peut faire tourner A autour d'un de ses points dans deux sens dilTérents. Nous choisirons l'un de ces deux sens que nous nommerons sens direct, le sens contraire étant appelé sens inverse. On dit qu'un plan est orienté quand on connaît le sens direct relatif à ce plan. Dans ce qui va suivre nous supposerons toujours le plan orienté.

Tout angle décrit dans le sens direct sera regardé comme positif et tout angle décrit dans le sens inverse comme négatif.

24. Angle de deux droites. — Considérons deux droites A, A' situées dans un même plan. Par un point quelconque A de L[fig. 12), menons une droite A" parallèle à A' et faisons

tourner A autour de A, dans le sens direct, jus- *'

qu'à ce que A vienne coïncider avec A"; soit a l'angle compris entre 0° et 180" décrit par A dans ce mouvement de rotation. Il est clair que si A continue à tourner dans le même sens, elle ne coïncidera de nouveau avec A" qu'après une nouvelle rotation égale à un multiple de tz, de sorte que l'angle total décrit par A, dans le sens direct, quand elle sera venue coïncider avec A" successivement i, 2, . . ., k fois, sera égal à a -+- Atc; et réciproquement si A décrit, en tournant dans le sens direct autour de A, un angle égal à a -j- A tt, k étant un entier quelconque, la position finale de A sera A". Faisons maintenant tourner A dans le sens inverse d'un angle ayant pour valeur absolue t: — a; on voit, comme dans le premier cas, que ce n'est qu'après une rotation ayant une valeur absolue de la forme A-ir — a, A' étant entier, que A coïncidera avec A"; mais la rotation s'effecluant dans le sens inverse est regar-

dée comme négative; sa valeur algébrique est donc a — kr^; donc en résumé, quelque soit le sens de la rotation, A devient parallèle à A' après une rotation dont la valeur algébrique est de la forme a + A"7r, k étant un entier positif ou négatif.

On nomme angle de A' avec A et l'on représente par la notation (A, A') l'un quelconque des angles, positifs ou négatifs, dont il faut faire tourner A autour d'un quelconque de ses points, dans le plan donné, pour l'amener à être parallèle à A'. Cet angle n'est défini qu'à un multiple près de ti, de sorte que

(A, A')= a -1- /iTC.

Il est clair que l'on peut remplacer a par tout autre angle qui en diffère d'un multiple de tc.

Enfin, au lieu de faire tourner A elle-même, on peut évidemment faire tourner une parallèle à A, soit A,, jusqu'à ce que A, devienne parallèle à A'.

25. Théorème. — Un nombre quelconque de droites A, B, . . . , L étant situées dans un plan, on a

k étant un entier positif ou négatif.

En effet, faisons tourner dans le sens direct une droite A du plan autour d'un de ses points, cette droite étant, dans sa position initiale, parallèle à A. Lorsque cette droite sera devenue parallèle à B, elle aura décrit un angle égal à (A, B), à un multiple près de tz) la rotation continuant dans le même sens, quand A sera devenue parallèle à C, elle aura décrit, dans cette seconde phase, un angle égal à(B,C)àun multiple près dcTi et l'angle total décrit depuis sa position initiale sera, toujours à un multiple près dcTi, égal à (A, B)-|-(B, C), et ainsi de suite. Quand A aura repris sa position initiale après être devenue successivement parallèle aux droites B, C, . . . , L, l'angle total décrit par A sera égal à la somme des angles qu'elle aura décrits successivement en passant d'une position à la suivante, puisque toutes les rotations sont effectuées dans le même sens; la droite A aura donc tourné, à un multiple près de ti, d'un angle égal à

Or, la droite A, ajanl repris sa position initiale, a décrit un angle égal à un multiple de tt; donc on peut poser

k étant un entier, positif ou négatif, d'ailleurs complètement arbitraire.

— Soient A, B, C trois droites situées dans un