Corollaire plan ; on a
donc
Si l'on nomme a et ^ les angles que deux droites A et B font respectivement avec une droite x' x et V l'angle (A, B), on a
V= 3 — a-^A-et, par suite, tangV est déterminée sans ambiguïté par la formule
tanjiV = tan<rC3 — a).
Fis. i3.
27. Angle de deux demi-droites. — Soient {Jig. i3) AB et A'B' deux demi-droites situées dans un même plan ; menons par le point A une demi-droite AB" parallèle à AB' et de même sens (c'est-à-dire telle que les droites A'B'et AB" soient parallèles et que les points B' et B" soient situés d'un même côté par rapport à la droite AA'). Si, en faisant tourner AB autour de A dans un sens quelconque, celte demi-droite vient coïncider avec AB", ce n'est qu'en décrivant, à partir de celte seconde position , un angle égal à un multiple de i-rz dans un sens quelconque, que AB reprendra la position AB". On en conclut, en raisonnant comme plus haut (24) que, si a est l'un quelconque des angles positifs ou négatifs dont il faut faire tourner AB pour lui faire prendre la position AB", on obtiendra le même résultat en faisant tourner AB d'un angle égal à 'x-{-ikTz. On nomme angle de A'B' avec AB l'un quelconque de ces angles, et l'on pose
(ÂÏÏ, A'B') = a-F2X:i:.
On peut remplacer l'une de ces demi-droites par une demi-droile parallèle et de même sens.
28. Si A, B, ..., L désignent des demi-droites situées dans un même plan,
(k, b)-(-(b, g) + ... + (l, X) = ikTz.
Même démonstration que pour des droites.
29. En particulier, soient OA, OB deux demi-droites et a, ^ les angles qu'elles font avec la demi-droite OX; on a
(ÔA, Ôb) = (ÔX, OÏÏ) — (ÔX, ÔÂ) -t- a/cu, donc
cos(()Â, OB)=cos([i — a) = cos(a— p).
Théorie des projections sur un axe.
30. Définitions. — Etant donnés une droite X'X et un plan P {fig. i4)? on appelle projection d'un point A sur l'axe X'X le
point de rencontre a de cet axe et d.u plan mené par A parallèlement au plan P. La droite Aa est celle des parallèles au plan P qui rencontre l'axe; on la nomme la projetante du point A. Lorsque le plan P est perpendiculaire à l'axe, la projetante Aa est la perpendiculaire abaissée de A sur X'X. On dit alors que la projection est orthogonale.
On nomme projection d'un segment AB le segmentai qui joint les pi'ojections a, b des extrémités de AB. On choisit sur X'X le sens des segments positifs, soit X'X pour fixer les idées. Nous représenterons la projection d'un segment AB sur un axe X'X par la notation (AB)^ ou AB^.
Les segments AB et BA ont des projections ab, ba égales et de signes contraires.
On appelle projection d'une ligne brisée A, Ao . . . A^ la somme
algébrique des projections des segments consécutifs A, Ao, Ao A3, ..., A/,i A,,.
31 . Théorème. — La projection d'un contour polygonal fermé, sur un axe quelconque, est égale à zéro.
Soit en effet un polygone quelconque, plan ou gauche, A, A.. . . . A,, ; désignons par a,, «o, . . . ^ a,i les projections des sommets consécutifs A,, Ao, . . ., A,i sur un axe X'X; par définition, la projection du contour A, A^ • . • A,, A, sur l'axe X'X est égale à la somme
ctiUî-T- Uza^-h. . .-{- a,j ia,j-t- a^cii,
c'est-à-dire égale à zéro.
32. Corollaire. — Quand deux contours polygonaux ont mêmes extrémités, leurs projections sur un même axe sont égales.
En effet, considérons deux contours AA, Ao... A^Bet ABjBo.-.B^B dont les projections sur X'X sont respectivement
aa^-\- aiai-\- . . .— a^b et abi-{- bib.y-\-. . .-+- bpb.
Le contour polygonal AA, . . . ArtBB^B^, . , . B, A étant fermé, sa j)rojection sur X'X est nulle : donc
««1 -I- «i «2 -t- . . . -i- a„ 6 -i- bbj, -+- b/, bj,-i-+- ... m- ^1 a = o. ^Jais celte égalité peut être remplacée par celle-ci
aai-r- «1 «2 + •••-(- «rt^ = abi-h bibi-\-. . .-h bp-ibp-\- b,,b,
ce qui démontre la proposition.
En particulier, la projection d'une brisée polygonale A, A2 • . . A« est égale à la projection du segment A, A^ qui joint ses extrémités.
A, A„ se nomme la résultante du contour polygonal A, A2 • • • A«. On peut donc énoncer encore cette proposition : La projection d'un contour polygonal sur un axe est égale à celle de sa résultante, sur le même axe.
