Théorème. — L'équation

a, b, c, ... désignant des longueurs, représente des courbes homothétiques quand on fait varier proportionnellement ces paramètres.

En effet, si a = ka', b = kb\ c = kc', l'équation

f{kx, ky, ka\ kb\ kc' ) — o

peut se mettre sous la forme

De là résulte que deux courbes planes G, G' étant données, si l'on peut déplacer l'une d'elles dans son plan de façon que les deux courbes soient, après ce déplacement, représentées par deux équations de la forme

fi^,7, a,b,c, ...) = o, f{x,y, «', b', c', . . .) = o.

FIGURES nOMOTIIÉTIQUCS, FIGURES SEMBLABLES. 3o5

a. b,c, . . ., a', b', c', ... désignant des longueurs, et que l'on ait

les deux courbes données sont semblables et le rapport de similitude est égal à k. En particulier, pour que deu\ coniques à centre soient semblables, il faut et il suffit que leurs axes soient proportionnels; dans le cas de deux hyperboles, le rapport des axes réels devra être égal au rapport des axes imaginaires.

343. Problème. — Étant donnée V éq nation f{x, y) = o d'une conique à centre, trouver l'équation de la conique concentrique et homothétique dans le rapport k.

Si l'on pose x = x^^-^- x , y = y^-^ y' -^ ^o> J'o étant les coordonnées du centre, l'équation donnée devient

la conique homothétique a pour équation, par rapport aux nouveaux axes,

Mais, comme

son équation est, par rapport aux anciens axes,

En particulier, si A == i, on retrouve l'équation de l'hyperbole conjuguée; pour k infini, on obtient l'équation da faisceau des asymptotes.

346. Problème. — Étant données les équations de deux coniques, exprimer que ces coniques sont semblables dans le rapport k.

Soient a, b les demi-axes de la première conique et a' , b' les demi-axes respectivement de même nature de la seconde; il s'agit d'exprimer que

a = ka' , b = kb'.

En appelant Si et Sj les racines de l'équation en S relative à la première

conique, on a

obi «iS.,

NiEWENQLOWSKI. — G. an., I. 20

3o6 CHAPITRE XIII.

Pareillement

a^ — — ;^7ër » ft 2 — — __^ ,

d'où

S'. = Si X ^ A:2, s; := S, X ^ kK

Il s'agit donc d'exprimer que les racines de l'équation S2sin20 — Tj'S + o'=o sont égales à celles de l'équation

S2 sin2 0 — ï) S -+- 0 = o,

A'o multipliées par — ~, k-, c'est-à-dire égales aux racines de l'équation

S2sin20-^,A-2riS+^,-/c^a:=o.

Les conditions demandées sont

En particulier, pour que deux coniques soient égales, il faut et il suffit que

On aurait pu aussi se servir de l'équation aux carrés des longueurs des demi-axes.

Autre méthode. — Remarquons d'abord que si une équation du second degré a pour racines a et - ^ elle peut évidemment se mettre sous la forme

et réciproquement.

Cela posé, pour exprimer que deux coniques sont semblables, il suffit d'exprimer que les racines de l'équation en S de l'une sont proportionnelles aux racines de l'équation en S de l'autre. Mais, en désignant ces racines par Sj,

Sj et par S'j, S',, on doit exprimer que k^ est égal à ^ ou à ^ ; on doit

donc poser

Ol O2 0| 0->

s; "^ s; "" s7 "^ st

OU, en ajoutant '2 à chaque membre,

Si Sj Sj Sj

c'est-à-dire

Cette méthode élégante est due à M, G. Darboux. Si l'on suit cette méthode, pour écrire que le rapport de similitude est égal

à k, il suffit de poser S'i -4- S'^ = .-k? A'^(Si + S2) ou 7}'= .-ktA-^tq, ce qui

donne la condition trouvée plus haut.