THÉORIE DES TANGENTES ET DES NORMALES
Définition des points multiples dans les courbes algébriques.
347. Soient A (rt, b, c) un point d'une courbe algébrique ayant pour équation f(x,y, z) =0 et (^,^, z) les coordonnées d'un point quelconque P du plan ; les expressions a -{- Xa;, b -+- Xy, c -f- )^^ sont les coordonnées d'un point M pris sur AP; ce point sera l'un des points d'intersection de la courbe donnée et de la sécante AP, si X est racine de l'équation /(a -{-"kx, b -{-Xy^ c -{-"kz) = o ou, en développant,
(0 /(«, f>, c) -+- ^(■^/a + JK/;>+ -/c-)-+- — (^/«-+-7/Â-+--/r')2-4-. . .= O.
Le terme constant est nul, puisque A est pris sur la courbe/*; si l'une au moins des dérivées/^, /^, /^ est différente de zéro, et si l'on donne à x, y, z des valeurs arbitraires, ou, d'une manière plus précise, si l'on suppose
l'équation (i) en X a une racine nulle et m — i racines différentes de
3o8 CHAPITRE XIV.
zéro; si, au contraire, on suppose /^= o, f\ = o, /^= o, quelle que soil la direction de la sécante AP, l'équation (i) a au moins deux racines nulles. Nous sommes ainsi conduits à considérer deux cas :
1° Au point A, l'une au moins des dérivées f^^ j',j, f'^ est différente de zéro.
Alors, toute sécante, autre que celle qui est représentée par l'équation
coupe la courbe en un seul point confondu avec A et en /w — i autres points, tous différents de A. On dit alors que le point Aest un/jom/ si ni pie.
2° Chacune des dérivées f'^, /^, f[. est nulle.
Si l'on suppose y^=o, f^=:o, f^^o, on en déduit d'abord f{a,, b, c) = o et, par suite, le point A est sur la courbe. En second lieu, toute sécante menée par le point A a au moins, avec la courbe/!, deux points communs confondus avec le point A et, par suite, au plus m — 2 points distincts de A. On dit alors que le point A est un point multiple de la courbe f; et l'on ajoute que c'est un point multiple d'ordre p, si toute sécante qui j passe, rencontre la courbe au moins en p points confondus avec A.
On peut remarquer que si le point A est un point simple à distance finie, l'une au moins des dérivées f'^ ou f^ est différente de
zéro, quand on suppose que — ? =^ sont les coordonnées cartésiennes.
En effet, l'identité d'Euler af^-h bfl^ -\- cf^^ mf(a, b, c) nous montre que, si nous supposons /"^ = o, /^= o, f{a, b, c) = o, il en résulte que cf^ = o', or le point A est à distance finie par hypothèse, donc c^o; par suite, si l'on supposait y^=r o ety^ = o, on aurait aussi fc= o et le point A serait un point multiple.
Application aux courbes du second degré.
348. Un point multiple d'une courbe du second degré est un point double. Cherchons si une courbe du second degré peut avoir un point double.
THÉORIE DES TANGENTES. SoQ
Remarquons d'abord que si A est un point double d'une conique et si M est un point quelconque de cette même conique, la droite AM appartient tout entière à cette conique qui, par suite, dégénère en un système de droites. En effet, AM a, dans ce cas, au moins trois points communs avec la courbe du second degré donnée : donc AM fait partie de cette courbe. D'ailleurs on suppose /^=:/^=/^ = o, /(vC, y, ^) = o; il en résulte que /(a-i-Xx, b-\-\y, c -{-\z)^o^ quelle que soit la valeur attribuée à X; car, en développant, on voit que les coefficients de toutes les puissances de A sont nuls.
En second lieu, si A et B sont deux points doubles, tout point de AB est un point double; si l'on suppose
fa = o, /'/, = O, /;, = O et /;- = o, fl' = o, /[.■ = o,
on en déduit /;^).„,= o, /,;^>/,,= o, fr+ir = o. Par hypothèse,
Aa-hB6-r-Dc = o, Aa'-t-B6'-i-Dc'=o;
donc
X(a-h'ka') -^B{b + Ib') -h D{c -hic') = o,
Cela étant, les coordonnées d'un point double doivent vérifier les trois équations
Xx -^By -JtDz = o, B:r -I- C^-l- E^ =: o, Dx -h Ey -\-¥ z = o.
Pour que ce système admette des solutions autres que X = y = z = o, il faut supposer A = o.
Donc, i" A^o; la conique est une ellipse, une hyperbole, ou une parabole. Aucune de ces courbes n'a de point double.
2° A 1= o. Ce cas se subdivise en deux autres.
(a). L'un des mineurs de A est différent de zéro; les équations précédentes se réduisent à deux; il n'y a qu'un seul point double A. Soit M un point de la conique différent de A; ce point est simple. La droite AM fait partie de la conique et tous ses points, sauf A, sont simples. Une sécante, menée par M, coupe donc laconique en un autre point simple M'; la droite AM' fait aussi partie de la conique; donc celle-ci se compose de deux droites AM, AM'. On obtient ainsi deux droites distinctes concourantes ou parallèles; leur point de concours à distance finie ou infinie est le point double.
(b). Tous les mineurs de A sont nuls; les équations se réduisent à
3lO CHAPITRE XIV.
une seule qui représente une ligne de points doubles et la conique se réduit à cette ligne double. Si l'on suppose, par exemple, A =2^ o, cette ligne a pour équation
Kx -\- BjK + Dz = o et, dans ce cas,
Théorie générale des tangentes.
349. Equation de la tangente en un point simple. — Nous savons déjà que le coefficient angulaire de la tangente en un point d'une courbe rapportée à deux axes quelconques est égal à la
dérivée y'^ ou -~ de l'ordonnée y par rapport à l'abscisse du point de contact.
Nous pouvons ajouter que l'existence de la tangente est assurée en tout point simple d'une courbe algébrique. En effet, les coordonnées x, y vérifient l'équation f{x, j-) = o; en outre, nous savons que les dérivées y^ et f'y ne sont pas nulles toutes les deux en un point simple; soit, par exemple, /^^o. Alors, on sait que
y'a;= — tt; donc l'équation de la tangente au point {x, y) est
ou
Il est bien évident que, si l'on suppose /y= o, /l^ o, l'équation
que nous venons de trouver est encore légitime, car, dans ce cas,
tïX ,. . , . , , .
— a pour limite zéro et, par suite, la tangente a pour équation
X — 07 = 0; elle est parallèle à l'axe des j^.
L'équation (i) convient en général à une courbe quelconque, algébrique ou non, pourvu que l'une des dérivées /^ ou/^ soit différente de zéro. Mais, si l'on suppose /^.= o, /y= o, elle ne représente plus rien ; c'est ce qui arrive en un point multiple. Nous nous occuperons de ce cas plus loin.
En employant des coordonnées homogènes, on donne une autre
THÉORIE DES TANGENTES. 3ll
forme à l'équation (i). Supposons qu'il s'agisse d'une courbe algébrique de degré m et posons
d ou Posons
K{^,y, z)^^{x,y,z), d'où
f'x= ^'xi^: r. 0 = ? {^r, y, i), f'y= ^'y{x, y,i)^^ (x, y, l).
Avec ces notations, l'équation (i) devient
(2) Xf{x,y, i)-\-Y'^{x,y, i) — [xt^(x,y, i) -hy '^{x, y, 1)] = 0. Mais l'identité d'Euler, que l'on peut écrire
x^{x,y, z)-hy<\>{x,y, z)-+-z^{x,y, z) = niF(x,y, z), donne, pour ^ ^ 1 ,
(3) xif{x,y, i)+y'i^{x,y, i) + {){x,y, i) = mf{x,y) =^ o.
11 en résulte que l'équation (2), en tenant compte de l'égalité (3), prend la forme suivante :
(4) \o(x,y,i)-+-^'!^iT,y,i)-h(iix,y,i) = o. On l'écrit sous cette forme
en convenant de faire Z = ^ = i ; de sorte quey^ désigne alors la dérivée F'.(^x,y, z) pour 5 = 1 , c'est-à-dire 0(x,jk7 i)-
Mais il est inutile de conserver la restriction précédente. En effet, en se servant de coordonnées homogènes, l'équation (4) devient
Krf ■)-^(rr')-»(i'v-)=-
et, par conséquent, en multipliant tous les termes par Zs"' ' et, en se rappelant que les dérivées du premier ordre des fonctions homo-
gènes de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — i, on
obtient
c'est-à-dire
XF;^4-YF;.-i-ZFl
Telle est l'équation de la tangente en un point (x, y, z) d'une courbe représentée en coordonnées homogènes par l'équation
3oO. Autre méthode. — On peut obtenir l'équation précédente par une nouvelle méthode qui s'applique aux coordonnées trilinéaires.
Soient /(j:, j^, :;) = o l'équation d'une courbe et (a, ^, c) les coordonnées d'un point A pris sur cette courbe; soient P un point, a.', y^ z ses coordonnées. Nous avons vu qu'on détermine les points communs à la sécante AP et à la courbe donnée, au moyen des racines de l'équation fi^a + Ax, b + ly, c-\- "kz) = o, c'est-à-dire, puisque /{a, b, c) = o,
La sécante AP coupe la courbe au point A; pour qu'un second point d'intersection M vienne se confondre avec A, il faut et il suffît, comme nous l'avons déjà remarqué, que xf'^-\-yfl^-\- zf'^= o.
Cette équation, dans laquelle on regarde x,jk, z comme étant les coordonnées courantes, représente donc une droite qui rencontre la courbe au moins en deux points confondus avec le point A; c'est la tangente en A, pourvu que l'une au moins des quantités f[^ , f\ , /|. soit différente de zéro, c'est-à-dire que le point A soit simple.
