Tangente à une courbe du second degré. — Soit
xS.x--\- -iBxy + Cy^-^ •xDx -^ ilîLy -^¥ = o '
1 équation d'une courbe du second degré. L'équation de la tangente au point (x,, jKi ) est
«•(A/r, -f- B7i-i-D)-4-7(B^i-{-C7, -^ E)-t- D:rl^-EJ'l^-F = 0,
THÉORIE DES TANGENTES. 3l3
OU
kxxi -H B (^j'i -f- 7J?i ) H- Gxr, + D (a; -^ x, ) 4- E (7 + 7i ) + F = o, avec la oondilion
S.x\ + 2 Br, j'i -I- Ç.y\ + 2 D j?i -t- 2 E^i -i- F" = o.
De même, si l'équation de la courbe en coordonnées trilinéaircs
est
Xx^ -f- S.'y'^ -+- y z^ -\- -2 hyz -+- a B'^^ -h 2 W xy = o,
la tangente au point x,, jKo ^i aura pour équation
S.XXX -H A>7i -H A";52i + B {yzi -f- ^j,) + B'(2a7i -h j?^i) + B" {xy^ -+- jxi) = o,
Xi,yi,Zi vérifiant la condition
Xx\-\- A'y'l -+- A"z\-\- 2B/j^i-i- 2B'^i^i + 2B"a:i^i = o.
'.nrl. Remarque. — L'équation
Xx{xi-^Xi)-+- iV yiy^-^ y.2) + k" z{zi-k- z^,) -\- B [jk(-Si-H z^,) -^ ziyi^y^)]
-\-B' [z {xi-\-x^ -^-x{zi-¥- Zi)] ^W[x{yi+y2)-^y{xi + Xi)] = Aa7i^2+ A'jij,-!- A"5,^2-H B(7,52+^ijK2)
+ B' (^1 j-2 •+- ^2 52 ) -H B"( j-172 +ri -^2 )
représente la corde passant par les points Mi{xi, yi, zi), Mi{Xi. y-j, z^) quand on suppose ces points sur la courbe donnée. Si ^2» ^2) ^2 deviennent proportionnera j^i, y^, Zi, c'est-à-dire si M2 se confond avec Mi, on retrouve l'équation de la tangente en Mi.
3o3. Problème. — En désignant par a, p, . . ., X des fonctions linéaires des coordonnées cartésiennes x, y, trouver l'équation de la tangente en un point de la courbe représentée par l'équation f{<x, ^, . . ., X) = o.
Soient
a = ax ■+■ by -\- c, ^ = o'x ■+- b' y -\- c' , ....
Appelons xi,y\ les coordonnées du point donné et «1,^1, ...,).i ce que deviennent les fonctions a, p, ...,X quand on y substitue xi el yi à. x ely. Si l'on désigne par F {x, y) la fonction qu'on obtient en remplaçant dans /(a, p, , . ., X) les fonctions composantes par leurs expressions en x et y, de
sorte que
3l4 CHAPITRE XIV.
il s'agit d'exprimer
au moyen des données. Or
dF df , df dF , df ,, df
ox^ aai (?pi oyy oxi dp,
, dF ^ .dF
Mais L'équation de la tangente au point ai, ^i, . . . , Xj est donc
(,.,)|^(ji p,)|:+...^o.-x,)|=o.
Si la fonction /{a, p, . . . , X) est homogène et que
a = ax -h by -]- cz, ^ = a'x -\- b'jy -\- c' z, ...,
de façon que
l'équation de la tangente est, au point Xi, yi, zi,
dF dF dF
Or
^d^,^^df,^^dr,=--
dF df , df
dz\ doLj d'^i
On en conclut que l'équation de la tangente peut se mettre sous la forme
4/ « àf . df
354. Tangente à l'origine. — Considérons un arc de courbe passant par l'origine des coordonnées et soit M un point pris sur cet
arc; le coefficient angulaire de OM est égal à —, a: ely étant les coordonnées du point M. Si le point M s'approche indéfiniment de l'origine, en restant sur l'arc considéré, le rapport - aura pour limite le
THÉORIE DES TANGENTES. 3l5
coefficient angulaire de la tangente en O et, réciproquement, si -
tend vers une limite déterminée, le coefficient angulaire de la tangente en O sera égal à cette limite.
Par exemple, soity = sin^c. Cette équation définit une courbe qui
passe par l'origine; le rapport • ayant pour limite i quand x tend
vers zéro, on en conclut que cette courbe est tangente à l'origine à la bissectrice de l'angle xOy.
Considérons une courbe algébrique passant par l'origine ; son équation ne contiendra pas de terme constant; en l'ordonnant par groupes homogènes de degrés croissants, elle sera de la forme
ax -\- by -\- cx^ -h dxy -\- ey^ H- . . . = o .
Si nous posons x = ap, y= pp, nous obtenons l'équation aux p des points d'intersection de la courbe avec la sécante menée par l'origine et dont la direction a pour paramètres a, p, savoir
p(aa -H 6j3)-hp2(ca2-i- doi^^-h e'^^) ■+-... — o.
Cette équation a une racine nulle, et une seule, tant qu'on suppose aa 4- ^ ^ ^ o 5 mais, si la sécante coïncide avec la droite ayant pour
équation
ax -i- ùy =^ o,
deux au moins des points d'intersection seront confondus avec l'origine et, par suite, cette droite est la tangente à l'origine. D'ailleurs, en posant y = tx^ l'équation de la courbe donne
x{a^ bt)-{- x^{c-\- dt-^ et^) -^. . . — o,
équation qui admet une racine nulle; en supprimant cette racine, on
obtient
a -r- bt -^V X ^= o,
V désignant un polynôme entier en x et en t. Or, si x tend vers zéro, une détermination de ^, c'est-à-dire de -> tend vers — j-j puisque, pour x=.o, l'équation précédente se réduit à a + bt= o. Donc — V est bien le coefficient angulaire de la tangente au point O. Si l'on suppose a = b= o, toute sécante menée par l'origine
3l6 CHAPITRE XIV.
coupe la courbe au moins en deuxpoints confondus avec l'origine et, par suite, l'origine est alors un point multiple.
En résumé, quand une courbe algébrique passe par l'origine, si ce point est un point simple, on obtient la tangente en ce point en égalant à zéro l'ensemble des termes du premier degré de l'équation de la courbe supposée mise sous forme entière.
Il est bon de remarquer que l'équation
se réduit dans ce cas à ax -h by = o, si l'on suppose jc, = jKi = o,
La vérification n'offre aucune difficulté.
