Problème. — Exprimer que la droite
( I ) • ux -^ vy -f- wz = o
est tangente à la courbe ayant pour équation
On exprime qu'il y a un point M(^i, j>^, , 5() situé sur la courbe donnée et tel que la tangente en ce point coïncide avec la droite donnée. En d'autres termes, l'équation
^/ <V àf
doit êlre équivalente à l'équation (i); par conséquent, on doit pouvoir trouver un nombre )., différent de zéro, et tel que
(4) f- = X«, f=X., f^X.., dxi dji dzi
el, en outre, le point M devant être sur la courbe donnée, il faut que
(5) /(a?i, yi,^i) = o.
Mais, au moyen des équations (4), on peut simplifier l'équation (5); en effet,
"l^(^i>ri>^i) = ^i^ -^y^'^ "'"'^'^ ^ X(Ma7i-(-«^7a-t- vi>zx),
THÉORIE DES T/VNGENTES.
m étant le degré de la courbe donnée; donc, comme on suppose X^o, on peut remplacer l'équation (5) par la suivante
uxi -H vy\ -+■ wzi = o.
On aura la condition demandée en éliminant X, Xi^yi, ^, entre les équations (4) et (6); on doit remarquer d'ailleurs qu'en réalité
on devra éliminer — > — et -i^r-c • Ou obtiendra ainsi une équation
en II, f, HP que l'on nomme V équation tangentielle de la courbe (2).
Trouver l'équation tangentielle d'une conique.
3o6. Ecrivons l'équation du second degré sous la forme symétrique
(i) /(^> y, •3) = Aa72, A>2-t- A" -2 -4- xïiyz -\- x^' zx -\- xE" xy = o.
En appliquant la méthode précédente et en supprimant les indices pour abréger l'écriture, c'est-à-dire en représentant les coordonnées du point de contact par jp, y, z et remplaçant \ par al, nous devons éliminer x^y^ z, \ entre les équations
A.r -h Wy -4- B' z — \u =0, B"a7 -H- A'^ -!- B 3 — \v — o,
B'x ^-By -h A"i — Iw — o, ux + vy -H wz — o,
ce qui donne la condition
Si nous représentons par a, a', a", b^ 6', b" les mineurs du discriminant A, de sorte que
A'A"— B2 = a, B'B"— AB = 6,
l'équation précédente s'écrit
(4) aiû-\- av--^ a" w^^ o.bvw ■+■ ib'n'u -h ib* uv = o ,
3l8 CHAPITRE XIV.
Nous représenterons désormais parF(«, p, np) le premier membre de cette équation ; mais il faut remarquer que le déterminant précédent est égal à — F(zf, v, w).
Si l'on suppose remplie la condition
F {u,v, w) = o, l'équation
UX -\- Vy -r- WZ =: o
représente une tangente à la conique ajant pour équation
Les coordonnées du point de contact sont déterminées par les équations (2). Nous supposons A^o; en résolvant les équations (2) parles formules de Cramer, on obtient
X I aF l i d¥ X I ()F
\ 1 du S. -1 âv \ -2 ow
par suite, les coordonnées du point de contact sont, à un facteur
près,
()F dF (}F
du di> dn'
Lorsque A = o, on sait que F(u, v, w) est un carré parfait; si l'on suppose l'un des mineurs symétriques différent de zéro, par exemple a" ^ o, l'équation (4) devient
( bu -k- b' V -î- a" w )■- = o ;
elle exprime que la droite
UX -h vy -\- wz = o
passe par le point (6, b', a"). Or l'équation f{x,y, z) = o représente alors deux droites qui se coupent précisément en ce point; l'équation tangentielle F(u, V, w) = o exprime alors que la droite («, v, w) passe par le point de concours des deux droites.
Si l'on suppose A = o et a = a' = a" = o, F(u, v, (v) est identiquement nul; dans ce cas, l'équation f{x,y,z) = o représente une droite double, et toute droite du plan rencontre la conique en deux points confondus.
3o7. La fonction F (m, v, w) est un invariant. — En effet, on peut considérer — F(m, t^, w) comme le discriminant de la forme
quadratique
f{x,y, z) -^ 'it^ux ^ vy -^ wz).
Srg
t étant une variable indépendante.
En particulier, si x^y^z sont des coordonnées homogènes, un changement de coordonnées correspond à la substitution
sinO'
le module de la substitution est égal à ± -t-tt» 9 et 0' désignant les angles des axes anciens et nouveaux.
3o8. Déterminer la nature des points communs à la droite et à la conique représentées par les équations
ux -\- vy -\- w — o, f{x, y) = o.
Prenons la droite donnée pour axe àes y, en désignant par X, Y les nouvelles coordonnées, on aura
ux -^ vy -Jr w ^ Vi\ , A 372 + 2 Bo-j -t- . . . îs A, X2 +- 2 B, XY -f- . . . ; d'ailleurs,
A, Bi D, o
Bi Cl E] v-i
D, El F, o
o Pi o o
