DÎ-A,F
Or l'équation aux abscisses des points communs à la conique et au nouvel axe des Y étant
Al X2 -f- 2 Di X -1- Fi = o,
les points d'intersection seront réels ou imaginaires suivant qu'on
supposera
Df — AiFi>o ou < o,
c'est-à-dire suivant que le déterminant précédent sera positif ou négatif.
Mais le signe de F(«, v, w) ne change pas quand on fait un chan-
gemenl de coordonnées : donc la condition
exprime que la droite (u, p, w) coupe la conique donnée en des points réels, et
F (u, V, HC) > o
exprime qu'elle la coupe en deux points imaginaires conjugués. Tous les coefficients, bien entendu, sont supposés réels.
359. Autres méthodes pour exprimer qiC une droite est tangente à une courbe. — '^o\l y ■=^ a x -\- h l'équation d'une droite; pour exprimer que cette droite est tangente à la courbe y(a:, j') = o, il suffit, en général, d'exprimer que l'équation aux abscisses des points d'intersection, c'est-à-dire l'équation
(i) f{x,ax-{-h)~o
a une racine double. On exprime ainsi que deux des points communs à la droite et à la courbe sont confondus en un seul. D'ailleurs, si la tangente en un point (^r, y) de la courbe a pour coeffî-
f cient angulaire «, on a — ^ = a, c'est-à-dire /^ -f- a/' = o. Or
Jy
cette équation est précisément celle qu'on obtient en égalant à zéro
la dérivée de f{x, ax -\- h) prise par rapport à x. Par conséquent, en écrivant que l'équation (i) a une racine double, on écrit par cela même que la tangente à la courbe en l'un des points où elle est rencontrée par la droite donnée se confond avec cette droite; mais la conclusion n'est légitime que si ce point est simple.
Dans le cas du second degré, on peut employer souvent avec avantage la méthode suivante. On forme l'équation du faisceau des droites joignant l'origine (ou le point x ^= o, y ^ o) aux points d'intersection de la droite et de la conique donnée, et l'on exprime que le faisceau se compose de deux droites confondues. On peut aussi, par ce procédé, retrouver la condition de réalité des deux points d'intersection d'une droite et d'une conique.
Supposons w^o; l'équation du faisceau des droites joignant le point (^x = o, y = o) aux points communs à la conique et à la droite représentées par les équations
kx^-h A'j2 | A" z^-+- "iByz -\- iB' zx -h iB" xy — o, ux -]- vy -h wz = o,
est la suivante
w^(Xx^-{~ \y^-i- ■2B"xy) — i(By-^ B'x){ux -^ vy) w -f- X"{ux-+- vyY = o.
Le discriminant de ce polynôme du second degré en ^ et y est égal à (V-F(«, t^, iv).
On retrouve donc les résultats déjà obtenus, et l'on peut remarquer en outre que le résultat trouvé au n** 358 s'applique aux coordonnées trilinéaires. Si (V = o et p ^î^ o, on éliminera y et l'on aura encore le même résultat.
Exemple. — La conique a pour équation
Ax^-v-Cy^-hFzi=o.
Le discriminant de
tv2(Aa72-f-GjK^)-hF (ux-^vyY ou
(Aw2-+- Fu^)x^--r--iFui>xy-r-{Cw'i-+-Fv^)y^
est égal à
L'équation tangentielle de la conique est donc
La condition pour que la droite (w, (-', w) coupe la conique en deux points réels est
GF u2 -4- AF t^2 -+- AG w2 < o.
En particulier, l'équation tangentielle de l'ellipse rapportée à ses axes de symétrie ou à deux diamètres conjugués et ayant, par suite, pour équation ponctuelle
est
a2M2 i è2ç,2 çi,2— O.
La condition pour que la droite (u, i', w) coupe cette ellipse en deux points réels est
En changeant b- en — b-, nous avons des résultais analogues
NiEWENGLOWSKI. — G. ail., I. 21
pour l'hyperbole
L'équation tangenlielle est
et la condition pour que la sécante (w, ç, w) coupe l'hyperbole en deux points réels est
On voit, en outre, aisément que si, cette condition étant remplie,
on a
«2ji2 è2(;2^, o,
les deux points d'intersection appartiennent à une seule branche; si
les deux points d'intersections sont réels et il y en a un sur chaque branche.
Considérons encore la parabole ayant pour équation
y'^ — ipx = o ;
en appliquant la même méthode, on trouve l'équation tangentielle
de la parabole
luw — pv^ = o.
La condition pour que la droite (m, ç, w) coupe la parabole en deux points réels est
p {luw — pv^) < o.
360. Mener à une courbe une tangente passant par un point donné. — Soient a7<,jKn z^ les coordonnées du point donné A et y(^,y, ^)=:o l'équation de la courbe. Le problème consiste à trouver sur cette courbe un point M tel que la tangente en ce point passe par A. Les coordonnées (^, J*, ^) du point M sont assujetties à vérifier les deux équations
(2) ^xf'x-^yify-^^if'z^O.
THÉORIE DES TANGENTES. SsS
Nous supposons Téquation (i) algébrique et de degré m\ l'équation (2) est aussi algébrique et de degré m — i; elle représente une courbe algébrique que l'on nomme la polaire du point A et que nous étudierons plus loin. La forme de l'équation (2) montre que la polaire du point A. passe par les points multiples de la courbe/.
Les solutions du système (i), (2) qui correspondent à ces points doivent être laissées de côté, car, pour l'un de ces points, l'équation générale de la tangente disparaît identiquement. Il est donc indispensable d'examiner si tout point commun aux courbes représentées par les équations (i) et (2) convient; il en est ainsi pour tout point commun à ces courbes et qui n'est pas un point multiple de la première, car si (:r, y^ z) sont les coordonnées d'un pareil point, l'équation
représente une droite déterminée qui est la tangente en ce point et l'égalité (2) exprime que cette tangente passe par le point A. Les courbes (i) et (2) ont, en général, m(m — i) points communs.
Le nombre des tangentes que l'on peut mener par un point arbitraire à une courbe algébrique, se nomme la classe de cette courbe. 11 résulte de ce qui précède que la classe d'une courbe algébrique d'ordre m est, au pbis, égale k m[m — i).
Une courbe du second degré proprement dite n'ayant pas de point multiple, sa classe est égale à 2.
La classe d'une courbe est égale au degré de son équation tangentielle. En effet, soit F(m, v,w)^=o l'équation tangentielle d'une courbe. Pour savoir combien on peut mener à cette courbe de tangentes par le point A(x,, jKi j ^( )' ^^ suffit de résoudre le système
Soit |JL le degré du polynôme homogène F (m, v, w). Si l'on regarde u, ç, w comme des coordonnées ponctuelles, les équations précédentes représentent une courbe de degré {jl et une droite; le nombre de tangentes cherché est donc égal à [Ji.
Remarque. — Les points de contact des tangentes issues liii point (^i,j'i). Xi et yi désignant des coordonnées cartésiennes, sont à l'intersection de la courbe proposée et de la courbe qui a pour équation
(3) (^l-^)/'a:+(7l-JK)/; = 0.
On obtient cette équation en exprimant que l'équation
de la tangente au point (x, y) est vérifiée par les coordonnées x^, y^ du point A.
L'équation (3) est du degré m; la courbe qu'elle représente coupe la courbe donnée en tn^ points; mais on reconnaît immédiatement que les directions asymptotiques de ces deux courbes sont les mêmes; par conséquent, elles n'ont que m {m — i) points communs à distance finie.
361. Mener à une courbe une tangente parallèle à une direction donnée. — Soient a, ^ les paramètres de la direction donnée; on exprime que la tangente au point [x^y) est parallèle à celte direction en posant
Les points de contact des tangentes parallèles à la direction donnée sont donc à l'intersection de la courbe / et de la courbe de degré m. — i représentée par l'équation (4). H J a donc, au plus, m [m — i) solutions.
D'ailleurs ce problème ne diffère pas du précédent; il suffît de supposer que le point A s'éloigne à l'infini dans la direction (a, [^); il suffît donc de poser ^, = a, jKi = 1^, ^i = o; l'équation (2) se confond alors avec l'équation (4).
362. Former V équation du faisceau des tangentes à une courbe, issues d'un point donné ou parallèles à une droite donnée. Cas du second degré. — Soient x^^ yi, 5( les coordonnées d'un point A; on obtiendra l'équation du faisceau des tangentes à la courbe ayant pour équation
issues de A, en éliminant .r, y, z entre l'équation précédente et les deux équations
Mais on peut opérer autrement. Soient jc. y, z les coordonnées d'un point M; pour que la droite AM soit tangente, il faut que
l'équation en X
/{xi+lxjyi-hly, zi^lz) — o
ait une racine double. En exprimant cette condition, on obtiendra l'équation du faisceau formé par toutes les tanj;entcs issues de A et, en outre, par les droites obtenues enjoignant le point A aux points multiples de la courbe/.
Mais la méthode s'applique aux courbes du second degré et ne donne que les tangentes issues de A, puisqu'une courbe du second degré, non dégénérée, n'a pas de point multiple.
Supposons donc que le polynôme y(;r, y, z) soit du second degré; l'équation précédente développée étant
l'équation
4/(^, r, -)/(-^i, J'i, Zi) — (Xif^-^ yif'y-{- z^f'-Y^ o
exprime la condition nécessaire et suffisante pour que la droite AM coupe la conique en deux points confondus en un seul; cette équation est donc vérifiée par les coordonnées d'un point pris sur l'une quelconque des deux tangentes issues du point A, et comme elle est du second degré, elle ne représente que ces tangentes. C'est l'équation du faisceau des tangentes issues du point A. Si l'on pose x, = a, y, = [3, s, = o, l'équation
4/(^, y, z) o (a, P) - (a/:,-f- ^/'yf- = o
représente le faisceau des tangentes à la conique f, parallèles à la direction (a, [3). On voit que, dans ce cas, la corde des contacts est le diamètre conjugué à la direction donnée.
On peut obtenir directement cette équation. D'une manière générale, si l'on désigne par x^ y les coordonnées d'un point, la droite menée parce point, parallèlement à la direction (a, j3), sera tangente, ou passera par un point multiple de la courbe f(^x, y, z)^o si l'équation en p
a une racine double. Dans le cas du second degré, cette équation étant développée devient
p^cp (a, p) -- p (a/',-+- p/;.) -^/{x, y) = o;
en écrivant que cette équation a une racine double, on retrouve l'équation obtenue plus haut.
363. Condition pour que les tangentes menées d'un point K à une conique soient réelles. — Pour que les tangentes issues du point K{Xi,yi) soient réelles, il faut et il suffît que la polaire du poinl A coupe la courbe en des points réels; l'équation de la polaire
^lA + r i/j + zif'z = o
peut s'écrire, dans le cas du second degré,
la condition de réalité des points d'intersection de cette droite et de la courbe du second degré donnée est
/i-, f'y, fz, O
On peut transformer aisément ce déterminant en ajoutant à la dernière colonne les éléments des trois premières multipliés respectivement par — 2X,, — 2JJ/,, — 2^,, ce qui donne
c'est-à-dire Donc, si
f'x, f'y, /'=, — 4/(^1, JKl> ^i)
— 4/(a7i,7i, zi)A>o.
/(^i, JKi, ^i)A <o, les tangentes issues de A sont réelles et distinctes; si
/(^i,n> -^OA >o,
elles sont imaginaires.
Pareillement, la condition
cp (a, P) A <o,
exprime que les tangentes parallèles à la direction (a, P) sont réelles et si
elles sont imaginaires.
TOÉORIE DKS TANGENTES. 327
Appliquons ces résultats aux formes réduites.
I» Ellipse : ^-4-^ — 1 = 0, A— — ^^- La condition pour que les tangentes issues du point (X|, y, ) soient réelles est donc
Les tangentes parallèles à la direction (a, ^) sont toujours réelles.
2° Hyperbole : ^ — ^ — i = o, A = ^^-. — La condition de réalité des tangentes issues du point {x\^y i) est
fl-^-<°-
La corde des contacts a pour équation
pour que cette droite ne coupe qu'une seule branche, il faut que
l'on ait
Le faisceau des tangentes parallèles à la direction (a, [3) est réel si
ce qui exprime que la parallèle à la direction donnée, menée par le centre, ne doit pas couper l'hjperbole.
3° Parabole : y"^— ipx=: o^ A = — /?2. — On peut donc mener des tangentes réelles du point (^(, y,) si l'on suppose
y\ — ipxi > o.
On ne peut mener à la parabole qu'une seule tangente parallèle à la direction donnée; en effet, la tangente au point (^, y) est parallèle à la direction a, [â si ^y — poi=zo. La droite représentée par cette équation ne coupe la parabole qu'en un seul point à distance finie.
La condition A(p(a, ^)<; o se réduit d'ailleurs à — />^P^<C oj elle
est donc remplie, sauf si p = o : on ne peut mener à la parabole aucune tangente parallèle à l'axe.
Il nous reste à interpréter la condition ^/(xt^yt 2,)<<o que nous avons trouvée plus haut; pour cela, nous devons présenter quelques considérations générales.
Remarques sur l'inégalité /(a-, y ) > o.
364. Soit/(.r, y) un polynôme entier de degré m; soient A(^i,j-,), B(^2>JK2) deux points donnés. Nous savons que
a?i-t- 1x2 .Vt + ^.72
sont les coordonnées d'un point P situé sur la droite AB. Les points d'intersection de AB et de la courbe C ayant pour équation f(^x , y) = o, ou, sous forme homogène, /(a:, y, z) = o, sont les points ayant pour coordonnées les résultats obtenus, en remplaçant dans les expressions précédentes )v par les racines de l'équation
(i) /(^i-+-Xa72, jKi + Xj2, I --X) = o.
Le terme indépendant de k étant égal kf(a:i,yi) et le coefficient de X"* étant égal k /(xo^yi), le produit des racines de l'équation précédente est égal à
Mais, si A/f est l'une de ces racines et P/^ le point d'intersection correspondant, on a
P>tB
donc, en appelant P,, Pg, . . . , P,» les m points d'intersection de AB et de la courbe C, on a
(2) ïl^ P^A F„,A f(x,,y,)
^ ^ PiB "^ P^B ^•••^ P,„B /(^2, JK2)
Parmi les points d'intersection, quelques-uns peuvent être imaginaires : ce sont ceux qui correspondent aux racines imaginaires de l'équation (i); mais, ces racines étant conjuguées deux à deux, le
nombre des points d'intersection imaginaires est pair et le produit des rapports segmentaires correspondants est positif. En second lieu, pour tout point réel P de la droite AB, non situé entre A et B, le
rapport -=1^ est positif. Donc /(^i,^«) et f{x.2^y-x) ont le même
jigne ou des signes contraires, suivant que le nombre des points d'intersection de la courbe C et de la droite AB qui sont situés entre A et B est pair ou impair; ou, sous une autre forme, suivant qu'un mobile qui décrit le segment AB rencontre la courbe C un nombre pair ou un nombre impair de fois. Seulement, il faut avoir égard à une considération importante. Si, par exemple, la courbe C est du second degré, il peut arriver que la droite AB soit tangente à C en un point P situé entre A et B; ce point devra compter pour deux, car il correspond à une racine double de l'équation (i). D'une inanière générale, chaque point de rencontre doit compter autant de fois qu'il j a d'unités dans l'ordre de multiplicité de la racine \ correspondante.
365. Cela étant, la courbe C partage le plan en un certain nombre de régions dans chacune desquelles le polynôme /{x^y) a un signe déterminé. Pour plus de clarté, supposons que C soit une ellipse; cette ellipse partage le plan en deux régions, l'une contenant son centre et que nous pouvons appeler la région intérieure, l'autre étant la région extérieure. Si les points A et B sont dans la région intérieure, le segment AB ne rencontre pas l'ellipse; àonc f {x i ^ y i) etf{x2jy2) ont le même signe et, par suite, si (x, y) sont les coordonnées d'un point intérieur, f{x^y) a un signe déterminé. Si le point A est à l'intérieur et B à l'extérieur, /(^i, JK») et /{■^ii y-i) ont des signes contraires; donc f{x.,y) a des signes différents suivant que le point {x,y) est à l'intérieur ou à l'extérieur de l'ellipse. Mais on ne peut pas dire a priori quel signe correspond à l'une ou à l'autre de ces régions, car, si l'équation de la courbe est f{x, y) = o, elle est aussi bien A-(.r, j>^) = o, k étant un facteur arbitraire; or, pour remédiera cette difficulté, il suffit évidemment de multiplier y(;r, y) par un invariant impair et de considérer par exemple le produit ^f(x, y); on reconnaît en effet immédiatement que ce produit conserve un signe absolument déterminé pour un point donné, quels que soient les axes auxquels on rapporte la courbe. S'il s'agit de l'ellipse
33o CHAPITRE XIV.
et si Xo^yo sont les coordonnées du centre, on a
donc l'inégalité
^/(^ijJKi) <o
exprime que le point Xf,yt est extérieur. Ainsi, pour qu'on puisse mener à une ellipse des tangentes par un point A, il faut et il suffît que ce point soit extérieur à l'ellipse, ou sur l'ellipse; dans le dernier cas, les tangentes se confondent en une seule.
C'est d'ailleurs ce que l'on peut vérifier en rapportant l'ellipse à ses deux axes de symétrie par exemple, car la condition
exprime que le point (x^^yi) est à l'extérieur, puisque, en remplaçant X et y par zéro, on a un résultat négatif.
Considérons maintenant une hyperbole; elle partage le plan en trois régions. On appellera région extérieure celle oii se trouve le centre; les deux autres régions sont regardées comme constituant
l'intérieur. Si nous substituons h, x eX y les coordonnées du centre
A^ dans l'expression ^f[x^y)^ nous trouvons encore -k^ • Mais ce résultat est négatif, donc la condition
^/(^i,ri)<o
exprime que le point (^,,jV)) doit être à l'extérieur. Donc, pour qu'on puisse mener d'un point A à une hyperbole deux tangentes réelles, il faut et il suffit que le point A soit extérieur. Il convient de remarquer que, si le point A coïncide avec le centre, les tangentes issues de ce point sont les asymptotes. Enfin, si le point A est sur l'hyperbole, les deux tangentes se confondent.
Reste à examiner la parabole. Nous appellerons région intérieure celle oii se trouve le foyer. Soient (iP, y) les coordonnées d'un point situé sur la tangente au sommet; pour déterminer le signe de ^f{x,y)^ nous pouvons supposer la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet; on a alors
TBÉORIË DES TANGENTES. 33 1
Âr étant une constante; mais on n'a pas à tenir compte de ce facteur A", car, en le supprimant, ^f[x^y) est divisé par /:'. Donc il suffît de considérer le produit — p'^Ç^'^ — 2/?X); or, si X = o, le résultat est négatif; donc l'inégalité Lf{x,y)<io exprime que le point [x^^y^) est extérieur à la parabole. Donc enfin, pour qu'on puisse mener d'un point A deux tangentes à une parabole, il faut et il suffit que A soit extérieur à celte parabole.
En résumé, suivant qu'on a ùkf{x^y) >» o ou <; o, le point {x,y) est intérieur ou extérieur à la conique /.
Il convient de remarquer que, sif(x,y) est de degré m, on a,
en posant Xi = Tr-, yt = ~> l'identité
/(X|, Y,, Z,) a donc le même signe que/(;r,,jK,) quand m est pair. De même, si a, 3, y sont des fonctions linéaires, /(a,, ^1,71) et f(\o!.f, 'k'^i, )vy,) ont le même signe quand le degré est pair.
366. Trouver le lieu des points d'où l'on peut mener à une conique deux tangentes rectangulaires. — Supposons la conique rapportée à deux axes rectangulaires, son équation étant
Aar^-h sB.rjK -+- C^^^-i- aDa? -4- i^y -4- F = o.
Nous savons former l'équation du faisceau des tangentes issues du point {xx, yi)'t en ne conservant dans cette équation que les termes du plus haut degré, nous aurons l'équatiou du faisceau des parallèles à ces tangentes, menées par l'origine des coordonnées, savoir
4 {kx^-^ 2Bxy + Cy^)f{xu y,) -{xf^^-^ yf'y.y ^ o.
La condition pour que ces droites soient rectangulaires est
Cette équation est celle du lieu demandé, si l'on remplace Xi, y\ par des coordonnées courantes. Or l'ensemble des termes du second degré est
^{A — C) ( Ax^-h iBxy -i- Cy^) — 4{Xx ~ Byy- — i{Bx -\- Gyy
ou, en réduisant,
48(372 -r-JK^).
Le lieu est donc un cercle, s'il s'agit de l'ellipse ou de l'hyperbole; une droite, dans le cas de la parabole.
Examinons successivement les trois courbes.
1° Ellipse. — Si l'on prend pour axes les deux axes de symétrie, l'équation du lieu sera
a^'^ by V ^2 ^ "P ~ ' / ~ «* ~ "ô* ~ *^ ou
cc^i-y^—a^— b^ — o.
Le lieu est donc le cercle circonscrit au rectangle ayant pour côtés les tangentes aux sommets; dès que l'on a su que le lieu est un cercle, ce résultat était évident,
2° Hyperbole. — Le même calcul donne, pour l'hyperbole,
Le lieu est donc encore un cercle, qui n'est réel que si a > 6, et qui se réduit au centre de l'hyperbole si a = b.
3'^ Parabole. — En mettant l'équation de la parabole sous la forme
y'^ — ipx = o,
l'équation du lieu devient
le lieu est donc la directrice.
Il résulte de là que, si l'équation de la parabole est donnée sous la forme générale, avec des axes rectangulaires quelconques, l'équation de la directrice est
(Â -H G) (aDiP -h 2EjK + F) — 2D(Aa^ + Bjk) — D2— 2E(Ba7H- Cy) - E2 =o
ou, en simplifiant encore,
2iP(GD — BE)^2jk(AE — BD)^F(A + G) — D^— E2 = o.
Le cercle que nous avons obtenu, dans le cas de l'ellipse ou de l'hyperbole, se nomme le cercle de Monge ou le cercle orthoptique.
367. Exprimer que deux courbes se coupent sous un angle donné. — Soient
les équations de deux courbes, rapportées à deux axes rectangu-
THËORIK DES TANGENTES. 333
laites. Soient (z*, y) les coordonnées d'un point commun à ces deux courbes; si la tangente à la première courbe fait, avec la tangente à la seconde, en ce point, un angle égal à V, on a
(3) /x^r-Zvjg; ^ t3„gy^
J X Sx ~^ J y Sy
On obtiendra donc la condition demandée en éliminant x ei y entre les équations (i), (2) et (3).
Si les courbes doivent être tangentes au point (.r, y)^ on a
tangV = o,
et, par suite, on remplace l'équation (3) par celle-ci
( 4 ) Jx s y Jy Sx ^^ O ;
et, pour exprimer qu'elles sont orthogonales, on éliminera x et y entre les équations (i) (2) et l'équation
(5) f'xS'x^f'yS'y^-O.
Pour exprimer que deux courbes sont tangentes, on se sert avantageusement des coordonnées homogènes. En écrivant que les tangentes aux deux courbes au point [x,y) coïncident, on obtient les équations
(a\ fx fy fz
et l'on élimine x, y, z entre ces équations et les équations des deux courbes mises sous forme homogène.
Il convient de remarquer que, si l'on suppose qu'un système de valeurs x, y^ z vérifient l'équation (6) et l'équation f{x^y^ z) = o, l'équation g{x,y, z) = o sera aussi vérifiée, car, si l'on suppose que
les dérivées du polynôme g (x, y, z) étant, en vertu des équations (6), proportionnelles à celles de /(or, y, 5), on aura encore
^s'x-^ys'y-^^s'z = o,
c'est-à-dire ^(x, jK, ^ ) = o.
368, Exemples. — i° Exprimer que les cercles ayant pour équations x'^ -^ y- -\- iT) X + "i. EjK -f-F = o, x"^ -^ y^ -^ ih' x -^ i E'y h- F — o se coupent à angle droit.
Nous devons éliminer x et y entre ces deux équations et la suivante
(x-^D){x-i-D')-i-(y-hE)(y-hE') = o.
Il suffit d'ajouter membre à membre, après avoir multiplié le premier membre de la dernière équation par — 2; on trouve immédiatement
2DD'+'iEE'=F-+-F',
condition déjà obtenue par une autre voie.
1" Exprimer que les cercles ayant pour équations
sont tangents.
En écrivant que les tangentes au point (a?, y^ ont même direction, on obtient l'équation
xy — (a; — a) y =^ o ou
c'est-à-dire ^ = o, en supposant a ^ a.
Il reste donc à éliminer x entre les deux équations
ic2 R2=:o, (37 — a)2— R2= 0 :
la condition demandée est
a = ±Rii: R';
en supposant a > o, R >> R', cette condition devient
a = R -1- R' ou a = R — R',
résultats connus en Géométrie élémentaire.
Remarque. — Si l'on écrit que les coefficients des équations des tangentes au point (a;, y') sont proportionnels, on obtient les équations
On ne peut remplacer — par i, car on devrait avoir aussi = i, ce qui
ne peut avoir lieu pour aucune valeur finie de x; donc;j^ = 0, ....
3° Condition pour que deux coniques coaxiales se coupent à angle droit. — Soient
deux, coniques dont les axes de symétrie coïncident; on obtient la condition demandée en éliminant 07 et j)^ entre les deux équations précédentes et celle-ci
^î yZ
On trouve a — p = a'— P'; en outre, pour que les points d'intersection soient réels, il faut supposer ap.a'P'<o; donc, l'une des coniques doit être une ellipse et l'autre une hyperbole; si l'on suppose, par exemple, que les deux équations soient
la condition a^ — 6^ = a'^-h b'^ exprime que les deux courbes doivent avoir les mêmes foyers; et alors elles se coupent à angle droit en chacun de leurs quatre points d'intersection.
Normales.
369. On appelle normale à une courbe la perpendiculaire à une tangente à cette courbe menée par le point de contact. Ce point s'appelle \& pied ow \e point dHncidence de la normale.
Si les axes sont rectangulaires, la normale au point [x, y) de la courbe f{x, j-) = o a pour équation
Xj-^ Y— jK
et, si les axes sont obliques,
0 étant l'angle des axes.
On peut encore, quand les axes sont rectangulaires, mettre l'équation de la normale sous la forme
ou
{X — x) dx -h {Y — y) dy =z o.
