Mener par un point une norma'e à une courbe donnée
Supposons les coordonnées rectangulaires. Soient
l'équation de la courbe et x^ , y^ les coordonnées d'un point donné A. Il s'agit de trouver un point M sur la courbe donnée, tel que la droite AM soit normale en M à cette courbe; les coordonnées [x, y) du point M doivent donc vérifier l'équation (i) et l'équation
(2) — 7v = —fT—-
Tout point commun aux courbes représentées par les équations (i) et (2) satisfait à la question, pourvu que ce point ne soit pas un point multiple de la courbe proposée. Si la courbe donnée / est du degré m, il en est de même de la courbe représentée par l'équation (2); donc on peut mener par un point donné au plus m'^ normales à une courbe algébrique de degré m.
En particulier, on peut mener à une courbe du second degré quatre normales par un point donné. L'équation (2) représente alors une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles aux axes de la conique et qui passe par son centre et par le point donné. Nous reprendrons plus loin ce problème.
Si X\, yi sont les coordonnées du centre, l'équation (2) représente le faisceau des axes de la conique (1).
371. Mener à une courbe une normale parallèle à une direction donnée. — Exprimons que la normale au point {x,y) est parallèle à une direction (a, ^), ce qui donne l'équation
(3) ccf'y-i^f'^=o.
Les pieds des normales parallèles à la direction donnée sont donc les points simples de la courbe proposée qui sont sur la courbe d'ordre m — i représentée par l'équation (3); il y a, au plus, m (m — i) solutions, ce que Ton pouvait prévoir, car il y a autant de normales parallèles à une direction donnée que de tangentes perpendiculaires à cette direction.
Remarque. — Supposons que le point \ (xi, yi) s'éloigne indéfiniment dans la direction (a, P)et cherchons ce que devient alors l'équation (2). Pour
cela, remplaçons Xi et jKi par ^> -^ et les coordonnées courantes x, y par
TIIÉORIK DES TAXiKNTES. SSj
. ; |tiir celte substitution, I équation (leMCiit
(XiZ-.\Z,)/'v-(Y,Z-YZ,)/k=ocl si \| — a. Yi = 3, Zi = 0, on obtient, à la limite.
La courbe représentée par l'équation (2) se décompose donc en deux parlies : la droite de l'inllni et la courbe (3). Donc, m des points d'intersection des courbes (i) et (2) sont rejetés à l'infini et il ne reste que m"- — m on ni {m — i) solutions finies, au plus.
'M"!. Exprimer qu'une droite est normale à une courbe donnée. — On identifie l'équation de la droite donnée avec celle de la normale en un point • •^lï^Ki) appartenant à la courbe et l'on élimine .^i, j'i entre les deux relations fournies par l'identification et la condition f {t^, yi) = o.
t/)/>fica(ion au second degré. — 1" Soit
— -t- ^, — I = o a- tb-
l'éqiiation d'une conique à centre rapportée à ses axes de symétrie. La normale au point (a^i, jKi) ayant pour équation
a^{T — T;) tb^iy — .ri)
idciilifion-i cette équation avec
UT -i- vy -•- n- — o, ce qui donne
uxx vyx "'
doîi, en posant, pour abréger, a'^ — zb- = c-,
I>a condition demandée est donc
%" Considérons en second lieu la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet :
y- — ipx =0.
NiEWENOLOwsKi. — G. an., \. 2>
Il s'agit d'identifier les équations
X — Xx y — ri
' — ■■^— , ux -H vy -t- (V = o,
— F Ji
ce qui fournit les deux équations
a V iv
On en lire
Il [ w
et, par suite, la condition demandée est
pU^-h ipUV^-h 'HX'V^= O.
373. Théorème. — Le cercle est la seule courbe dont toutes les normales passent par un point fixe.
Prenons deux axes rectangulaires passant par le point fixe. Pour que la normale au point {x., y) passe par l'origine, il faut que
\\ s'agit de déterminer la fonction j' qui vérifie l'équation précédente. Le premier membre est la dérivée de -^{oc'^ + y"^), par rapport à x; donc
G désignant une constante arbitraire, ce qui démontre la proposition.
Détermination de la tangente et de la normale à une courbe dont les coordonnées sont des fonctions d'un paramètre.
374. Supposons que les coordonnées cartésiennes d'un point M soient des fonctions, pourvues de dérivées, d'un paramètre variable t
Quand on fait varier ce paramètre, le point M décrit une courbe dont on obtiendrait l'équation en éliminant t. Supposons, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires et, en outre, les fonctions y(^) et <p(i) uniformes, c'est-à-dire n'ayant qu'une seule détermination pour chaque valeur de t. Le coefficient angulaire de la tangente au point pour lequel le paramètre a une valeur particulière t a pour
\aleiir-,— j 011-7- : -7-» c esl-u-dirc^-Tr-:; ; la tanffenlc en ce rjoinl a dx di di ? (O
donc pour équalion
cl l'équation de la normale au même point est
37o. Exemples. — 1" Les formules x =^ a cos^, y = 0 s,'\nt déiinissent une ellipse. La tangente et la normale au point / ont respectivement pour équations
XCOfit
ax
cost
rsin t
sin t
•>," De même x = «ClU, j/- == 6 Sh ^ représentent une hyperbole ; la tangenle et la normale au point t ont pour équations
rCMt kSIi<
ax by ,
Glu ' Shz "'^ '
3° Soient 0.r, Ojk deux axes rectangulaires {Jig-^o)] un cercle variable de rayon constant a se déplace en restant constamment langent à l'axe des .r. On prend un point M tel que arc AM = OA; on demande la tangente en M à la courbe décrite par le point M.
Si l'on nomme t l'angle AwM, les coordonnées X , y an point M sont données, comme on le voit aisément en calculant les projections du chemin OAtoM sur les deux axes, par les formules
X = at — a sin t, ^ = a — a cos t.
La normale en M a pour équation
X — at){\ — cos/)-f-y sin t = 0.
Fig. 90
V ce-
SqO CHAPITRE XIV.
Sous celte forme, on reconnaît que celte normale coïncide avec la droite MA. La tangente en M est donc la droite MB.
Si Ton imagine que le cercle w roule sans glisser sur O.r, le lieu du point M est la courbe décrite par celui des points liés invariablement au cercle, qui était confondu avec le point G, quand ce cercle était tangent en O à l'axe Ox. Cette courbe se nomme cycloïde.
Longueur d'un arc de courbe.
■370. Soit AB un arc de courbe plane {Jig- 91) ; nous allons démontrer que
le périmètre d'une ligne brisée inscrite à 9'- cet arc et dont chaque côté tend vers zéro,
•^ les extrémités de cette brisée étant confon-
dues avec celles de l'arc, tend vers une limite déterminée^ indépendante du mode d'inscription de la brisée et de la loi suivant laquelle ses côtés tendent vers zéro.
Pour le prouver, rapportons la figure à •^ deux axes rectangulaires Ox, Oy tracés dans son plan. Soient M, M' deux sommets consécutifs de la brisée. En appelant x et ^ les coordonnées de M etar-t-Aa™, y + AjK celles de M', on a, en supposant Aa7>o pour toutes les valeurs de X comprises entre a et b, abscisses de A et de B,
corde MM' = \/\x^-+- A72 = \x l/-t- i ( v^ ) '•
Nous supposons que l'ordonnée y soit une fonction de x pourvue d'une dérivée^'; chaque côté de la brisée tendant vers zéro, noug pouvons poser
/ [\yY I -,
a tendant vers zéro en même temps que Aa?. Le périmètre de la brisée est égal à la somme
Cette somme se compose de deux parties; la première, S y/i -h k -• Aa?, a pour
limite l'intégrale
\J \ -^ y'''- dx,
La seconde partie, SaA.r, a pour limite zéro; nous supposons en effet, comme nous l'avons dit, que si un point M parcourt l'arc AB de A vers B.
l'abscisse de ce point va en croissant de A vers B. S'il n'en était pas ainsi, on partagerait l'arc AB en portions remplissant cette condition. Dès lors, les infiniment petits \x étant tous positifs et leur somme SAa? étant égale à h — a, on sait que laAa? a pour limite zéro. Donc la limite du périmètre de la brisée inscrite à l'arc AB est égale à l'intégrale précédente; elle est, par suite, indépendante de la loi suivant laquelle les côtés tendent vers zéro. Cette limite est, par définition, la longueur de l'arc AB. Gela étant, si l'on supj)ose le point M mobile et que l'on désigne par s la longueur de l'arc AINI, on a
.ï = / y/i -^y'-^ dx
et, par suite,
ds = v^i -^ y'^ dx = ^dx^-h dj^, d'où ds'^ = dx-+ dy-.
On voit encore que, si M et IM'sont deux points infiniment voisins de l'arc de courbe que nous avons considéré, on a
arc MM' = A.ç, corde MM' = A:r t / i -h (|^ l';
on en conclut que le rapport de l'arc MM' à sa corde a pour limite t, quand l'arc tend vers zéro.
377. Exemple. — Si l'on désigne par G la longueur de la circonférence «l'un cercle de rayon R rapporté à deux diamètres rectangulaires, on a
ou, en posant x = Ru,
' du
Le rapport —5 est donc constant; en le désignant par t: on a
378. Soil a l'angle que la tangente en M fait avec l'axe des .r. F.n supposant les axes rectangulaires, tanga = -^, donc
dx'
dx dy ^
cosa sina " ' v" "~ /'
d'où, en [n-cnant î = -f- 1 ,
dx dy
cosa = -, ) -iina = -y- .
rt.s ils
Fig. 92.
L'angle a ainsi défini est déterminé à un multiple près de 27:.
Soit A l'origine des arcs {^fig. 92); l'arc AM croît avec x^ donc cos a est positif. L'angle a est celui que la demi-tangente MT fait avec Ox. Si l'origine des arcs est en B, de sorte que l'arc s décroisse quand x croît, cosa est négatif, et, par suite, a est l'angle que la demi-tangente MT' fait avec l'arc Ox, On peut encore remarquer que, si PP'= dx^ on a MH = ds^ le segment MH étant sur la tangente T'T. (On peut remarquer que l'angle a est celui que la vitesse d'un mobile décrivant l'arc de courbe donné fait avec O^-.)
Tangente, normale, sous-tangente, sous-normale.
379. Considérons une courbe rapportée à deux axes rectangulaires Pj^ „ {fig- 93), et soient T et JN les points où la
tangente et la normale en un point N rencontrent l'axe des x. On nomme lons[ueur de la tangente, ou simplement tangente, le segment MT, et normale le segment MN. Soit A le pied de l'ordonnée du point M; on nomme sous-normale le segment AJN et sous-tangente le segment AT; nous poserons
Sn = ÂN, ST = Â?r, T = |MT|, N = |MN|. L'équation de la tangente en M étant
si l'on désigne par x' l'abscisse du point T, on trouve, en faisant Y = o,
ce qui donne
l^areillcmcnt, l'équation de la normale en M étant
si l'on nomme x" Tabscisse de la trace N de la normale sur l'axe
des X, on a
x''—x=yy',
c'est-à-dire
Comme vérification, on peut remarquer que S^-St- = — y-. On a ensuite
On peut écrire les formules précédentes de cette manière e dx dy ds ds
^^=--^^' ^^=^Tx' ^=^'^' ^-^d^-'
380. Applications. — i" La sous-normale d'une parabole, relative à son axe, est constante et réciproquement.
En efi'et, soit y- = ipx l'équation d'une parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet : S.> = yy' — p-
Réciproquement, si S.\ = />, on 3iyy'x = p, donc, y^ = ipx -\- C •?.° Toutes les courbes représentées par l'équation
Aa;2-f-G72== A,
dans laquelle h est un paramètre variable, ont la même sous-normale, aux points qui correspondent à une même abscisse, car on tire de l'équation précédente
kx-^Cyy'^ = o.
On déduit de cette remarque une construction très simple de la normale en un point d'une hyperbole. En effet, l'hyperbole ayant pour équation
le faisceau de ses asymptotes est représenté par l'équation
Soit M un point de l'hyperbole {Jig. 94); l'ordonnée de M coupe en M' l'une des asymptotes; menons M'N perpendiculaire à cette asymptote; la nor-
maie en M à l'hyperbole est la droite obtenue en joignant le point M au
point de rencontre N de M'N avec l'axe *''§• 0<' Iransverse.
Pareillement, les courbes définies par les deux équations
A x'-+Cy'- = h, kx^ — C72 ^ A-,
ont des sous-normales égales et de signes contraires, aux points qui correspondent à une même abscisse; d'après cela {Jig- 95), en remarquant que l'équation d'une ellipse rapportée à ses axes est
Fig. 95.
iS
et que le faisceau des diagonales du rectangle ayant pour côtés les tangentes aux sommets a pour équation
soit M un point de cette ellipse {fig- gj); l'ordonnée MP rencontre en M' la diagonale OG de ce rectangle; si la perpendiculaire M'N' à OG rencontre le grand axe au point N' et si l'on prend PN = — PN', MN est la normale en M à l'ellipse.
EXERCICES
1. On mène d'un point P des tangentes à la courbe y ^=i x^ : \° trouver dans quelles régions du plan doit se trouver le point P pour que ces tangentes soient toutes réelles; 2° les axes étant rectangulaires, former l'équation du cercle qui passe par les points de contact ; 3" lieu du point P tel que ce cercle passe par l'origine.
2. Etant donnée la courbe x^ — ^PY^ = 0 (axes rectangulaires) : i" former l'équation du cercle qui passe par les points de contact des tangentes issues d'un point P; -i"^ lieu du point P pour lequel le rayon de ce cercle est constant; V lieu du point P pour lequel le centre du cercle est sur la courbe donnée; 4° lieu du point P pour lequel le cercle est tangent à cette courbe.
3. Etant donnée la courbe x^-\-y^= a^, trouver les points de contact des tangentes issues du point P(a, j3). — Équation aux y de ces points de contact. — En déduire les x par une équation du premier degré en x. — Quelle particularité présente l'équation aux y, quand le point P est sur la courbe? — Former, dans ce cas, l'équation des coniques passant par les points de contact.
A. Étanl donné un cercle de rayon variable, langent en A à la droite AB, on mène à ce cercle des tangentes par deux points fixes pris sur AB. Lieu du point de rencontre de ces tangentes.
T). Remplacer dans l'énoncé précédent le cercle par une conique avant un sommet en A, la droite AB étanl la tangente en ce point.
