Trouver l'expression de ds^ avec des axes obliques
7. Même question avec des coordonnées polaires. — Si l'on pose x = p cosw, y = p sinto, on a
d.r -+- idy = ( cos w -i- i sin w ) ( dp + idoi), dx — idy = (cosa> — i sinaj)(û?p — idtu), etc.
Détermination géométrique des tangentes à quelques courbes.
381. Nous allons d'abord établir, par le calcul, une proposition fondamentale.
Si une figure plane de forme invariable se déplace dans son plan, pour chaque position de cette figure^ les normales aux courbes décrites par ses différents points se coupent en un même point, qu'on nomme le centre instantané de rotation.
Fi g. 96.
Soient {fig. 96) 0 x, Oy deux axes rectangulaires fixes et wX, wY deux axes également rectangulaires et liés invariablement à la figure mobile. Nous supposerons que l'on puisse amener, à l'aide d'un déplacement effectué dans le plan donné, les axes mobiles à coïncider respectivement avec les axes fixes, de sorte que, (oX coïncidant avec Ox, toY coïncide avec Oy. Les coordonnées X, Y d'un point déterminé M de la figure mobile restent constantes, tandis que ses coordonnées x, y sont variables. Pour définir le déplacement de la ligure mobile, nous prendrons, pour variable indépendante, l'angle a que la demi-droite wX
fait avec Ox et nous supposerons que les coordonnées Xi, yx de w soient des fonctions déterminées de a. On sait que
(1) X = Xi-h\coy,7. — Ysina, j' = j'j 4- X sin a -H Y cosa.
On en déduit
dx Tx
dxi
iy — y\)^
dx
dVi ,
Xy).
Considérons le point P ayant pour coordonnée?
Ces formules combinées avec les formules {-i) montrent que dx dy
(4) d^=y^-y^ sâ^^-"^"'
par conséquent
dy X — iFo
dx r—jo
ce qui prouve que MP est normale à la courbe décrite par le point M(X, Y).
La position du point P, indépendante de M, dépend de la valeur de a; je dis que tout se passe, pour chaque valeur de ot, comme si la figure tout entière tournait autour de P.
Supposons, en effet, que le point M tourne effectivement autour d'un point fixe coïncidant avec le point P, d'un angle égal à Aa. En désignant par r le rayon PM et par cp l'angle que PM fait avec Ox,
X — :ro=/*coscc, y — jKo = '' sintp; par conséquent,
dx .do , . d(D dy do , x do
^=-rsrno.^==(y-y,)^, - = rcos^ .^^ = (x - Xo) ^^ ,
mais nous supposons Aœ = Aa, ce qui donne -~ = i; ces formules coïncident
donc avec les formules (4)-
Cela étant, le point P n'est pas fixe non plus par rapport à loX et wY; soient Xq, Yq ses coordonnées qui dépendent de a. Posons
Xo=F(a), Yo = *(a).
Ces équations définissent une courbe C liée invariablement aux axes mobiles; soient encore
^o=/(a), jKo=?(a),
ces équations définissent une courbe fixe C. La courbe C, lieu des positions successives que le point P occupe par rapport aux axes mobiles, est entraînée dans le mouvement de ces axes. En appliquant les formules (i) au point P, on obtient
Xo= Xi-h Xocosa — Yosin a, j^q =JKi-l- Xosina -l- Yocosa
et, par conséquent, en se rappelant que Xo et Yq sont variables,
dxo dxi <fXo dYo .
( dxn ax\ a An aÏQ . , s
I ^ = -^ + -^ ^"^" - -^ ^'" " - ( Jo-ri),
)^ = §:i Ç£sina-|-^^«cosx-K(^o-^0 \ do. aa aa aa
et, en tenant compte des équations (4),
(7) dxo— dXoCOSot. — f/Yosina, f/yQ= dXosinz -\- dYoCosoL.
Gela étant, prenons un point fixe A sur la courbe G et, sur la courbe G', un point B lié invariablement à cette courbe et posons
arc AP = s, arc BP = a.
Si nous posons
(8) dxo=dscos^, dfo= ds sin^; dXo= d<JCOS-'(, dYo = di sin"^ ,
P sera l'un des angles que la tangente en P à la courbe G fait avec Ox et Y l'un des angles que la tangente au même point à la courbe G' fait avec a>X; or, les formules (7) donnent ds^— d<7^.
En plaçant convenablement l'origine B de l'arc a, on peut supposer ds = dz et, par suite, si arcAP = arcBP, cette égalité subsistera. En comparant les formules (7) et (8) et en tenant compte de l'égalité ds = di, on obtient
ce qui prouve que les courbes G et G' sont tangentes en P. Il résulte de là que la courbe G' roule sans glisser sur la courbe G et que le centre instantané de rotation est, pour chaque position de la figure mobile, le point de contact des courbes G et G'.
Réciproquement, supposons qu'une courbe mobile, de forme invariable G', roule sans glisser sur une courbe fixe G, et soient xq^ yo les coordonnées du point de contact, rapportées à deux axes fixes; Xq, Yq étant les coordonnées du même point, relatives à deux axes mobiles liés invariablement à G'. En conservant les notations précédentes et tenant compte de l'équation ds = di, la formule
P = aH-Y-+-'2/:7:
donne, en vertu des équations (8),
dxn dXo dYn . dvn dXo ■ dY,)
—r- = —7— cosa — —7— sina, -4- = — ,— sina h j~ cosa.
doL dx «a da. da. aa
Mais, en comparant ces équations avec les équations (6) qui s'appliquent à un point quelconque {Xf^, yo), on retrouve les équations (3), ce qui prouve que le point {xq, y^) est précisément le centre instantané de rotation correspondant à la valeur considérée de a.
382. Déplacement d'une figure plane déforme invariable et dont deux points P, Q décrivent des lignes droites. — Nous supposerons que les deux droites fixes données soient concourantes et nous prendrons pour axes les bissectrices de leurs angles; nous prendrons le milieu de PQ pour origine m des axes mobiles, wX coïncidant avec 10 P. Si l'on pose wP = a, les formules de transformation appliquées au point P donnent
a? = arj-l- rt cosa, y =^ yi-\- a iUMx.
Soit y -h inx = o l'équation de la droite décrite par le point P: on doit poser
(i) yi-\- a sinoL -h ?nxi-h macoscn = o.
Le point Q décrivant la droite ayant pour équation y — mx = o, nous devons poser, de même encore,
(2) yi — asina — inTi-\- ma cosx = o.
De ces deux équations on tire Vi = — ma cosa, Xi = sina.
Cela étant, les formules de transformation relatives à un point M de la figure mobile sont
(3) a7 = Xcosa — (Yh ) sina, y = (Y — ma) cosa + X sina.
Ces équations donnent sina et cosa; on en déduit l'équation du lieu de M
Cette équation représente une ellipse, pourvu toutefois qu'on suppose
