X--'+ (Y — ma) ("y + ^J ^ o
Or, l'équation
représente un cercle G'; je dis que tous les points de la figure mobile qui sont sur ce cercle décrivent des droites passant par le point O. En effet, si l'équation (4) est vérifiée, le déterminant des équations (3) est nul; pour que ces équations soient compatibles, il faut qu'elles deviennent identiques et, par suite, que l'on ait '
Xa:-+|YH j y = o, Xy — (Y — ma) x = o.
Ces deux conditions sont d'ailleurs identiques, en vertu même de l'équation (4).
Gela posé, les extrémités P', Q' du diamètre du cercle G' qui passe par le point M décrivent, d'après ce qui précède, deux droites OP', OQ' qui sont évidemment rectangulaires. Les calculs seront simplifiés si nous prenons ces deux droites pour axes; les points P' et Q' vont remplacer les points P, Q et le milieu de P'Q' sera l'origine w des axes mobiles, toX coïncidant avec toP'. Nous désignerons encore par a l'angle de a>X avec Ox. Si l'on remarque que co est le centre du cercle C, on a a)P'= R, R étant son rayon; on trouve
iiiiiiiétiialement
(>) a7i=Rcosa, ^i = — Usina.
On voit tout d'abord que si l'on appelle h le segment to.\l, les formules de transformation donnent pour le point iM
ar = R CCS 2 -4- h cosa, )- — — R sina f- // sina;
donc l'ellipse que décrit le point M a pour équation
i,K-^hy "^ {K — hf " '■
Les axes de cette ellipse sont donc les droites joignant le point 0 aux extrémités du diamètre du cercle G' qui passe par le point M, et les longueurs «les demi-a\es sont les distances du point M à ces deux extrémités.
Gela fait, le centre du cercle G' est précisément le point lo et, comme les formules, (5) donnent
on voit que ce point décrit un cercle de rayon R ayant le point O pour centre. Les coordonnées du centre instantané sont définies par les formules
dvi d.r,
3" = 2R cosa = a.Ti, y =z — 2Rsina = 2j'i,
• le sorte que
Le centre instantané est donc le point de contact du cercle G' avec un cercle de rayon double G qui lui est tangent, le cercle G' étant à l'intérieur <lu cercle G.
Les formules de transformation appliquées à un point M quelconque sont
(6) a? = (X -f- R) cosa — Ysina, ^' = V cosa -+- (\ — R)sina;
on sérifie ainsi d'abord que le cercle G' a pour équation
Soit II (X, Y) un point de ce cercle; posons
X=Rcos9, Y=Rsin'j; ce qui donne, pour les coordonnées x, y du point 11. X = R [(i -I- coscp) ces a — sino sin aj, y — R [sino cosa — ( i — cos-i)sin a].
Mais on sait que
i-l-coscp sincû
ce qui permet d'écrire
^ = R( I -H coscp) [cos3! — tangjcpsina], j' = Rsincp [cosa — tang^ tp sina];
donc
j = 5^langJcp.
11 convient d'ajouter que la première des équations (6), par exemple, ne peut donner pour a une valeur réelle que si l'on suppose
ou c'est-à-dire
3^2 < 2R2-t-2R2cOSO, d72<^ 4R2cOS2|cp.
Gela prouve que le point H est toujours compris entre les extrémités du diamètre du cercle G sur lequel il se trouve; résultat évident a priori.
En résumé, quand deux points d'une figure mobile de forme invariable se déplacent sur deux droites fixes qui se coupent en un point O, le mouvement de cette figure peut être produit par le roulement d'un cercle G' passant constamment par le point 0, sur un cercle G de. rayon double, ayant son centre au point O. Tous les points du cercle G' décrivent des portions de droite qui sont des diamètres du cercle G et les autres points décrivent des ellipses ayant leur centre en O.
Il est évident que si les droites fixes données étaient parallèles, la figure mobile aurait un mouvement de translation.
Tous ces résultats se démontrent très simplement par la Géométrie élémentaire.
383. Applications. — i° Soient AB une droite de longueur constante (Jig, 97) dont les extrémités glissent sur deux droites fixes et M un point de cette droite tel que AM et RM aient des longueurs constantes BM = a, AM = 6. Le point M décrit une ellipse, comme nous le savons déjà; si l'on désigne par X, y les coordonnées de M, en posant OA = a, «Ib = p, on a
et
a -\- b by-=(x
■2 «p cosG,
'équation de l'ellipse décrite par le point M est donc Le centre instantané de rotation de la droite AB est le point de concours
des normales en A et B aux trajectoires de ces points; c'est donc le point dtî rencontre de la perpendiculaire AG à l'axe des x et de la perpendiculaire HG à l'axe dcs^; il en résulte que la normale en M à l'ellipse est la droite CM.
Considérons le cas particulier où les extrémités de la droite se déplacent sur deux droites rectangulaires {fig. 98).
Soi): AB une position de la droite mobile et supposons, comme plus haut AM = a, MB = 6. En joignant M au centre instantané de rotation G, nous obtenons, comme nous venons de le voir, la normale GM au point M, à l'ellipse décrite par le point M.
Si nous prenons 0A'= OB et OB'=OA, la droite A'B' sera perpendiculaire à AB et, par suite, si A'M' = a, OM' est perpendiculaire à GM; par conséquent, OM' est le diamètre conjugué à OM; et, en outre, OM'=MG. On voit, «Ml effet, que si l'on fait tourner le triangle ABC de 90° autour de B, de manière que le côté BG vienne dans la direction Oa^, les côtés de ce triangle deviendront parallèles à ceux du triangle A'OB'. Gela posé, si to est le centre du rectangle OBCA,
Fig. 98.
MV
on a
OM
MC
2 O co -i- 2 (.0 M
(a-i-by- (a — hy
c'est-à-dire
L'aire du parallélogramme construit sur OM et OM'a pour mesure OM'x MP, c'est-à-dire MC x MF, P étant le point de rencontre de M'O et de GM. Mais l'angle OPC étant droit, le point P est sur le cercle circonscrit au rectangle OBCA; donc, MC x MP = AM.MB = ab.
Si l'on donne OM et OM', on peut construire facilement OA et OB. En effet, il suffit de décrire un cercle sur OC comme diamètre; les points A et B sont les extrémités du diamètre loM. On a ainsi résolu ce problème : Construire les axes d'une ellipse dont on connaît deux diamètres conjugués.
■2° Nous avons trouvé la normale en un point d'une cycloïde. Plus généralement, si un cercle roule sur un second cercle fixe, sans glisser, la normale en un point quelconque de la courbe décrite par un point M lié au cercle mobile, s'obtiendra en joignant le point M au point de contact du cercle mobile et du cercle fixe.
Prenons {Jig. 99) pour axes fixes deux diamètres rectangulaires du cercle fixe, et prenons sur le cercle mobile un point M tel que arc PM = arc PA. Supposons que wX passe par M et que les coordonnées du point M soient X = — b, Y = o, b étant le rayon du cercle mobile. Si a est
le rayon du cercle fixe, et si l'on appelle cp et ç' les angles AOP, PwM, on a
acp = bo, a = Q -+- cp' =
par suite, x,y étant les coordonnées absolues de M,
X = (a-hb) C0SC9 — b cos — ; — es, r = (a + 6 ) sin o — w sin — -, — o.
Ces équations représentent le lieu du point M. Si l'on prend wR = nib, les coordonnées du point R seront
l a" — ( a + ^ j cos cp — inb cos — j-
l X — {a -\- b) cos cp — nib cos — ~. — o
f y z= [a -i- b) sincp — mb sin — - — o
On vérifiera sans difficulté, par le calcul, que RP et MP sont les normales en R et M, respectivement, aux courbes décrites par les deux points.
Lorsque m^ t, le point R décrit une épicycloïde allongée ; si m < i. une épicycloïde raccourcie.
Si le cercle mobile était tangent intérieurement au cercle fixe, on aurait, pour déterminer le lieu d'un point M de cercle mobile, les équations
1 X = {a — 6)cos(p -t- ôcos — - — (2,
/ X := {a — b) sin'j + b sin — .
la courbe décrite serait alors une hypocycloïde. Si a — ib, ces formules donnent
X ^ a coscp, >' = o.
On sait, en effet, que si un cercle roule intérieurement sur un cercle de rayon double, un point du cercle mobile décrit un diamètre du cercle fixe. Si l'on remplace, dans les formules (i), o par <|/ et 6 par a-hb, on obtient
.r = — b cos (^ -+■ (oL -\- b) cos r '^■, >' = — b sin <it + (a -\- b) sin -r 'J^ ,
et, SI 1 on pose r (L = cp, il vient
X — {a -\- b) cos CD — 6 cos (i-(-y)œ, y = {a -i- b) sino — b s'in M-i-^lœ.
Ce qui prouve qu'une épicycloïde est susceptible d'un double mode de génération par le roulement d'un cercle mobile sur un cercle fixe. On peut, en effet, faire rouler sur un cercle fixe de rayon a un cercle tangent extérieure-
ineiU de rayon b, ou un cercle tangent intérieurement et de rayon a-\-b. On vérifie aisément la proposition par la Géométrie élémentaire en considérant le cercle passant par M et tangent au cercle fixe au second point d'intersertion de MP avec ce cercle.
De la môme manière, en remplaçant, dans les formules (•?.), b j)ar a — b et ç par 0, on obtient les formules
X = b cosO -4- (a — 6) cos , 0, y = b sinô ~ (a — b) sin — — -, 0 ;
en posant r 6 = — 'f, c'est-à-dire 6 = f i — ^ j ip, ces formules deviennent
X = {a — b) cosç -1- b cos
j, ^ = (a — 6) si no — 6 sin
ce qui étend la proposition précédente au cas où l'hypocycloïde est extérieure au cercle fixe; comme dans le cas précédent, le point de contact variable du cercle intérieur de rayon a — b est le second point de rencontre du cercle fixe avec la droite M P.
3° Tangentes aux conchoïdes. — Soient G une courbe quelconque {Jig. loo) et O un point fixe. Sur une sécante variable menée par O et rencontrant la courbe G en P, on porte une longueur constante PM. On demande de construire la tangente en M à la courbe décrite par le point M, en supposant connue la tangente en P à la courbe G.
Gonsidérons un point P' infiniment voisin de P et prenons sur OF^' un segment O' P' égal à OP et soit P'M'= PM.
On peut regarder les points O, P, M comme appartenant à une figure plane de forme invariable ; la trajectoire du point Pétant la courbe G,
nous connaissons, par hypotlièse^ la normale à la trajectoire du point P. Le point de la sécante OP qui est en O venant prendre la position 0', la normale en O à la trajectoire de ce point est la limite de la perpendiculaire menée au milieu de 00', c'est-à-dire la perpendiculaire à OP menée par le point O. Le centre instantané de rotation I est donc le point d'intersection de cette droite et de la normale en P; il en résulte que la normale en M à la courbe décrite par ce point est la droite IM.
Pareillement, si la longueur PN est constante, IN est la normale à la courbe décrite par le point N.
Si Ion suppose NF* = PM = a, le lieu décrit par les points M et N se nomme une conchoïde de la courbe G.
Si l'on prend le point O pour origine des coordonnées rectangulaires, en appelant a?(,> Xa '^s coordonnées du point P, on aura l'équation de la conchoïde NiEWENGLOWSKi. — G. an., 1. 23
Fig. loi.
354 CHAPITRE XIY.
en éliminant .^o» JKo entre les équations
{x — a;oy-{-{y—yoy=a^, arKo — JK^o=o, /(arcJCo) = o,
en supposant que la courbe G ait pour équationy (a-, j') = o.
4" Tangente à la strophoïde . — On donne deux droites OA, AB et un point fixe O sur l'une d'elles ^fig- 101). Sur une sécante variable rencontrant
AB en P, on porte des longueurs PM = PN = AP; la courbe décrite par les points M, N se nomme strophoïde. Il s'agit de trouver la tangente en un point quelconque de la strophoïde.
Pour cela, nous remarquerons d'abord que, si la sécante se confond avec OA, les points M et N viennent se confondre tous les deux avec le point A.
La tangente à l'arc décrit par le point M est la limite de la sécante AM ; or le triangle PAM est isoscèle ; si l'on nomme a la valeur commune des angles à la base de ce triangle, ^ l'angle AOM et 6 l'angle BAX, on a
ou
comme ^ a pour limite zéro, on en conclut que lima = |^6. Donc la tangente à l'arc AM est la bissectrice de l'angle BAX; on verrait de même que la tangente à l'arc décrit par le point N est la bissectrice de l'angle BAO. Au surplus, l'angle NAM étant droit, les deux tangentes considérées doivent être rectangulaires.
Gela posé, on peut déduire aisément de cette construction celle de la tangente en un point quelconque de la strophoïde. Soit, en effet, un point M de cette courbe. Si l'on remplace la droite fixe OX par OX', on peut considérer une strophoïde auxiliaire définie au moyen des droites AB, OX', 0 étant toujours le pôle. La première strophoïde peut être regardée comme étant la eonchoïde de la seconde, les rayons vecteurs de celle-ci étant augmentés ou diminués d'une constante égale à AP. Or, d'après la construction donnée plus haut, l'une des tangentes en P à la strophoïde auxiliaire étant la bissectrice de l'angle BPX', si nous menons les droites : 01, perpendiculaire à OiM, PL bissectrice de l'angle OPB, ces droites se coupant en I, LM sera la normale en M à la première strophoïde. De même, I' étant le point de rencontre de 01 avec la bissectrice de l'angle BPX', L'N est la normale en N à la première strophoïde. Gette ingénieuse construction est due à Desboves.
La tangente en 0 est évidemment la droite OC, telle que OC = A.C ; le point C est donc à rintersection de AB a\ec la perpendiculaire élevée au milieu de OA.
5° Courbes conchoïdales. — Soient G et G' deux courbes fixes {Jig. loi), une tangente AB à la courbe G rencontre la courbe G' au point B à partir duquel on porte des longueurs constantes NB = BM = a. Gonnaissanl la tangente en A à la courbe G et la tangente en B à la courbe G', construire la tangente en M ou en N à la courbe décrite par chacun de ces points.
Gonsidérons la figure de forme invariable formée par les points D, N, B, M; D étant le point de rencontre de deux tangentes à la courbe G, infiniment voisines, AB, A'B'. Si l'on prend une longueur B'D'= BD dans un
sens convenable, le point D viendra en D' quand la tangente AB prendra la position A'B'; la perpendiculaire au milieu de DD' aura ])our limite la normale en A à la courbe G ; le centre instantané de rotation sera donc le point de concours I de celte normale avec la normale en B à la courbe G'; il en résulte que I.\l et IN sont les normales en M et en N aux courbes décrites par M et N.
Usage des infiniment petits dans la construction des tangentes.
384. On peut dans quelques cas faire usage, pour la détermination des tangentes, des deux théorèmes suivants de Géométrie infinitésimale :
1° Soient A un point donné sur une courbe, et M un point infiniment voisin de A, situé sur la même courbe : la distance MP du point M à la tangente en A est un infiniment petit du second ordre au moins, AM étant V infiniment petit principal.
En effet, si nous prenons pour axes de coordonnées la tangente et la normale en A, l'ordonnée^ du point M est une fonction de x que l'on peut développer par la formule de Taylor; en posant y — f{x) et remarquant que /■(o) = o et/'(o) = G, on voit que la première dérivée de/(a7), qui soit différente de zéro pour x = o, est au moins du second ordre; si elle est d'ordre />, on a
Cl,' qui démontre que y est infiniment petit d'ordre p par rapport à x; or
AM
X = AM cosMAP ; donc lim = i quand a? tend vers zéro et, par conséquent,
la conclusion subsiste quand AM est l'infiniment petit principal.
Remarque. — La proposition précédente peut servir à la définition de la tangente en un point A {x,y) d'une courbe ayant pour équation jk =f(x). En effet, la distance du point M{x -h ^x, y -h A^) à la droite A, définie par l'équation
Y — y = m(X — cp) est égale à
\/i ■+- m^ développons \y par la formule de Taylor, es qui donne
A2;2 Ay =f'{x)\x-^ f"(x-hQAx);
donc la distance du point M à la droite A a pour expression
[/'(^) — m] Ax -\ f"(X'+- b Ax)
cette distance sera un infiniment petit d'ordre supérieur au premier si
in=^f'{x).
•2° Si dans un triangle ABC le rapport ^-j- a pour limite zéro, l'angle A
a pour limite zéro.
Cela résulte immédiatement de la formule sinA = -r-r-sinC; on voit d'abord
Ali
que 1 angle A est aigu, puisque le rapport — -^ est suppose plus petit que i;
sinA ayant pour limite zéro, A a aussi pour limite zéro.
385. Applications. Tangente à une podaire. — On abaisse d'un point fixe O {Jig. io3) une perpendiculaire OP sur chaque tangente MP à une courbe fixe G; le lieu du pied P de cette perpendiculaire est la podaire de G relative au point O. Si M'P' est la tangente à G, en un point M' infiniment voisin de M, il s'agit de trouver la limite de PP'. Si nous admettons que PP' est infiniment petit du premier ordre, en menant MP" parallèle à M'P' et rencontrant OP' et P", P'P" sera un infiniment petit du second ordre et, par suite, au lieu de chercher la limite de la direction de PP', on peut chercher la limite de la direction de PP"; or celle-ci est facile à trouver, car le quadrilatère OP"PM étant inscriptible, la sécante PP"au cercle circonscrit à ce quadrilatère^apour limite la tangente en P à ce cercle. On peut remarquer que la diagonale PI du rectangle OPMI est précisément la normale en P au cercle considéré.
I Si l'on considère l'angle droit dont un côté passe constamment par le point 0
et dont l'autre côté reste tangent à la courbe C, comme étant une figure plane de forme invariable, on reconnaîtra aisément que le point I est précisément le centre instantané de rotation.
Remarque. — Pour compléter la démonstration donnée plus haut, il serait iii(iispcnsablc de prouver que PP' est un infiniment petit du premier ordre, MM' étant l'infiniment petit principal ; ce qui ne présente d'ailleurs aucune difficulté.
Généralisation. — On généralise aisément la construction précédente en supposant que l'angle P scit constant; plus généralement encore, on peut considérer le lieu du sommet d'un angle constant P dont les côtés restent tangents à deux courbes fixes G , C ( /ig. 104). Soient M et N les points de contact des côtés MP, NP, et M' et N' les points de contact infiniment voisins des côtés M' P', I\'P'. On remplacera, comme plus haut, le point P' par le point de rencontre P" de MP" parallèle à M'P' avec NP" parallèle à ]\'P'; PP' est, en général, infiniment petit du premier ordre et P'P" du second ordre; on voit en outre que PP" a pour limite la tangente en P au cercle circonscrit au triangle MPN. Il en résulte que la normale en P, au lieu décrit par P, passe par le point de concours I des normales menées en M et N aux deux courbes G, G' respectivement.
Le point I est le centre instantané de la figure formée par les côtés de l'angle variable P.
Méthode des transversales réciproques.
38G. Gette méthode a été appliquée par M. G. de Longchamps dans un assez grand nombre de cas. Nous en donnerons un exemple simple.
Etant donnés un point fixe O, une courbe G et une droite D {Jig. to5), on mène une sécante OPQ rencontrant la courbe G en P et la droite D en Q ; on prend OM = PQ et l'on demande la tangente en M à la courbe G' décrite par le point M.
Soit OP'Q' une sécante infiniment voisine de la première, de sorte que
En nommant R et S les points de rencontre de la droite D avec PP' et M'M, on sait que QS = Q'R. Il en résulte
Fig. io5.
CHAPITKE XV.
immédiatement que, si la tangente en P à la courbe C rencontre D au point ]\ et si l'on prend QT = NQ, MT est la tangente cherchée.
387. Considérons une famille de courbes, définie par l'équati(^ti
qui renferme un paramètre variable a. A chaque valeur a du paramètre correspond une courbe G de la famille considérée; si a varie d'une manière continue, la courbe G se déforme et se déplace d'une manière continue. Considérons deux valeurs infiniment voisines du paramètre : a^ et ao-i- h, auxquelles correspondent les courbes Cn, et C^ définies par les équations
Les coordonnées des points communs à ces deux courbes sont les solutions du système formé par les équations (-î) et (3). Soit AIq {Jig- io6) l'un de ces points; quand II tend vers zéro, le point Mo tend vers une limite déterminée M. En effet, on peut remplacer l'équation (3) par la suivante :
Fia;. io6.
f{T,y, ao-^r h)—f{x, y, «o)
le point Mo est donc l'un des points d'intersection de la courbe Co et d'une courbe déterminée ?(,; lorsque h tend vers zéro, la courbe Fo a pour limite la
THÉORIE DES ENVELOPPES. 35g
courbe r représentée par l'équation
el, j)ar suite, Mo tend vers l'un des points communs aux courbes C^ et r, soit M.
Les coordonnées du point M sont définies par le système (2), (5). Ainsi, à chaque valeur «0 du paramètre a correspondent un ou plusieurs points M appartenant à la courbe Cq^ nous appellerons chacun de ces points un point caractéristique. Si l'on fait varier «, le lieu des caractéristiques s'obtiendra en éliminant a entre les deux équations
(0 /{■p,y, fi) = o,
Ce lieu est ce que l'on nomme Vemeloppe des courbes représentées par l'équation (i); celles-ci sont dites des enveloppées. Ces noms sont justifiés par le théorème suivant.
388. Théorîîaie. — Par chaque point de l'enveloppe, il passe au moins une enveloppée qui lui est tangente en ce point.
En effet, soit M un point de l'enveloppe; ce point correspond à une valeur particulière a^ du paramètre a; il est à l'intersection des courbes définies par les équations
(5) f'^^^{x,y, ao)^o.
Le coefficient angulaire de la tangente en M à la courbe {•*.) est donné par l'équation
x^ y étant les coordonnées du point M. Or, on peut regarder les coordonnées d'un point quelconque de l'enveloppe ronime étant définies par le système
(G> f'Jx^y, a) = o.
36o CHAPITRE XV.
On a donc
JxK^, 7> a) ^- 4- /y (^, r^ «) ^ -^fai^, y, a) = o.
Mais le dernier terme de cette équation est nul; par conséquenl, pour le point M de l'enveloppe,
Le coefficient angulaire de la tangente en M à l'enveloppe est donc le même que le coefficient angulaire de la tangente à l'enveloppée au même point.
389. Applications. — i" Le point de rencontre des tangentes à une courbe en deux points A, B « pour limite le point A 'lorsque le point B vient se confondre avec A.
C'est ce que l'on peut vérifier aisément par la théorie précédente. En effet, la tangente à une courbe représentée par l'équation y=.f(^x), au point ayant pour abscisse a, a pour équation
Si nous égalons à zéro la dérivée par rapport à a, nous obtenons
On ne peut supposer/"(rt) = o quel que soit «, car on en conclurait
/(a) = Aa-rB;
en d'autres termes, l'équation donnée se réduirait ^ y ^ A.r + B et représenterait une droite. Donc le point de rencontre de la tangente considérée avec la tangente infiniment voisine a pour limite le point défini par les équations x ^ a^ y =^f{a), c'est-à-dire le point de contact.
Il en résulte c^yx'une courbe plane peut être considérée comme étant V enveloppe de ses tangentes.
2" Trouver V enveloppe du cercle ayant pour diamètre une corde perpendiculaire à l'axe d'une parabole donnée.
L'équation de la parabole donnée étant y^ — ipx = o, l'équation
d'un cercle décril sur la corde parallèle à l'axe des y ajant pour équation x = a, prise pour diamèlre, est
{j- — a)^-^y-— t.pa = o,
L'enveloppe demandée s'obtiendra donc en éliminante entre celle équation et l'équation
obtenue en prenant la dérivée par rapport à a du premier membre de l'équation du cercle; l'équation de l'enveloppe est donc
C'est l'équation d'une parabole égale à la proposée et que l'on obtient en faisant subir à tous les points de cette dernière une translation
parallèle à l'axe des x et égale à — ^ ^j de sorte que le foyer de la
seconde parabole sera placé au sommet de la première.
Remarque. — Les points de contact d'un des cercles considérés avec l'enveloppe trouvée sont à l'intersection de ce cercle avec la droite définie par l'équation x — a -+■ p = o; pour que cette droite coupe le cercle correspondant en des points réels, il faut et il suffit
que a vérifie la condition a > — •
Si l'on suppose a << — j les points de contact avec l'enveloppe seront imaginaires; si deux cercles C, G" correspondent à deux valeurs de a telles que «'<!«"<< -7? le cercle C sera intérieur au cercle C".
390. Cas où réq nation de V enveloppée est algébrique par rapport au paramètre. — Lorsque l'équation (i) est algébrique par rapport à a, éliminer a entre cette équation et l'équation (6) revient à exprimer que l'équation (i), dans laquelle le paramètre a est regardé comme étant la seule inconnue, a une racine double.
On peut préciser davantage. Supposons que l'équation (1) soit du degré m par rapport à (rt); par chaque point {xo,yo) du plan, il passe m courbes C correspondant aux valeurs du paramètre qui
362 CHAPITUK XV.
sont égales aux racines de l'équation
Ces m courbes sont, en général, distinctes au moins de position; l'enveloppe peut être considérée comme le lieu des points du plan tels que, parmi les courbes C qui y passent, deux au moins soient confondues. En particulier, si l'équation en a est du second degré, l'enveloppe partagera le plan en régions de deux espèces, correspondant à des valeurs réelles ou à des valeurs imaginaires de a.
Ainsi, par exemple, l'équation d'un des cercles considérés dans l'exemple précédent étant mise sous la forme
«2 — 2 (x -^ p)a -+- .r2-4-jK"2 = o,
on obtient immédiatement l'équation de l'enveloppe en annulant le discriminant par rapport à a
x'^-\- y^ — (^ -T-/>)- = 0 ou
y^ — ^.px — />-= o.
Par tout point intérieur à la parabole trouvée, passent deux cercles réels de la famille, et par tout point extérieur à cette parabole on n'en peut faire passer aucun.
391. La remarque précédente permet d'expliquer un résultat paradoxal en apparence.
Supposons que l'on puisse résoudre l'équation (i) par rapport à a; si l'on trouve a — ^{x,y) = o, on n'obtiendrait pas l'enveloppe en égalant à zéro la dérivée par rapport à a, puisque cette dérivée est égale à i. Or, si l'on considère une seule détermination de la fonction o{x, y), deux courbes, représentées par les équations
n'ont évidemment aucun jioint commun. Considérons, par exemple, les cercles définis par l'équation (x — ay-hy^=ï{^; l'enveloppe se compose évidemment des deux parallèles à l'axe des x définies par l'équation y- — R- = o. Or, si l'on résout l'équation du cercle par rapport à a, on trouve
Si l'on donne à z une valeur déterminée, l'équation précédente ne représente qu'un demi-cercle, qui n'a aucun point commun avec le demi-cercle dé-
lini par réf|iiatioii
Ail contraire, si l'on considère le (Icmi-cerclc défini par l'équation
a -^ h = x—z \/H^ — yi ,
il aura avec le premier deux points communs, déterminés par l'équation de l'un de ros dtMni-rorrIes et l'équation
si h tend vers zéro, on lrou\e bien, à la limite, U"^ — y^= o.
Si l'on cherche pour quelle valeur de a l'un des cercles passe par le point Xq, y^, on aura deux solutions,
a' = To -r- V^ii^ — ^-5 , a" ■= j-o — /R^ — yl-
Pour que le point a:o,J'o appartienne à l'enveloppe, il faut que «'= a . ce qui donne
392. D'après ce qui précède, P, Q, R désignant des fonctions déterminée:> de X et <le j^, l'équation
(1) a'-V -^-xii^l-^K^o
représente une famille de courbes enveloppées par la courbe
il) Qî— PR = o.
«t réciproquement.
Ainsi, par exemple, si P, Q, R sont du premier degré, l'équation précédente représente une conique G tangente aux droites P = o, R = o, la corde des contacts étant la droite Q = o; la droite R correspond à a = o, et la droite P à a infini.
Le point de contact de la droite (i) est défini par les équations aP -1- Q = o, — a-P -+- R = o. En prenant pour triangle de référence le triangle formé par les trois droites définies par les équations P — o, Q = o, R = o, ce point a pour coordonnées i, — a, a^.
Pareillement, 6^ p ( 26Q -+- R — o représente une tangente au point I, — 6, b-\ la droite joignant ces deux points a pour équation
PaA-^Q(a-+-/;)-+-R = o.
On a ainsi formé les équations de deux tangentes et de la corde des contacts, ce qui conduit à l'identité
[Pa6 + Q(a-h6)+ R]'-— ( P^î-u ,,«(> -< R)(P62 -i- 26Q 4- R) = (Q2— PR)(a — 6)î.
