Considérons encore l'équation
( aa? + P/ )2 + 2 D J7 ^- 2 E j -f- F = o.
On peut regarder la parabole représentée par cette équation comme l'enveloppe des droites définies par l'équation
a^{'>.Dx -+- 2K,>' + F) -}- ■ia{ixx -h '^y) — i = o.
On a ainsi l'équation générale des tangentes à la parabole. En particulier, si l'on donne l'équation
y^ — 2p X = o, on obtient
2 a-.r — 2 ay ■+- p = o ou
1- — a X ■+- — 7 et plus généralement, P et Q étant des fonctions du premier degré,
est l'équation d'une tangente à la parabole représentée par l'équation
394. Cas oii Véquation de l enveloppée renferme plus dUin paramètre. — Considérons d'abord le cas oiî l'enveloppée a pour équation
les deux paramètres a, b étant liés par la relation
On peut regarder b comme une fonction de a définie par l'équation (2). On aura donc l'équation de l'enveloppe en éliminant a entre l'équation (i) et l'équation dérivée
da^ db '
b' étant la dérivée de b par rapport k a; or cette dérivée est définie
par l'équation
do do j ,
TnÉORIE DES ENVELOPPES.
par suite, on doit, en définitive, éliminer a et h entre les «'(juations (i), (2) et la suivante
d£ do da Où
Ob ôa
qui exprime que les dérivées des fonctions / et cp, prises par rapport à « et 6, sont proportionnelles.
Plus généralement, supposons que l'équation de l'enveloppée renferme n paramètres liés par n — i équations. Pour abréger l'écriture, nous ne considérerons que trois paramètres liés par deux relations; soit donc
les paramètres a, b, c étant liés par les équations
(3) 'l(a,b,c) = iK
Nous pouvons regarder ces équations comme définissant 6 et c en fonction de a. En désignant par b' et c' les dérivées de 6 et c par rapport à «, nous devrons poser
da
da
d^ da
Où
de
do , , do , dù^-^d^'
db
de
11 en résulte que l'équation de l'enveloppe s'obtiendra en éliminant a, 6, c entre les équations (i), (2), (3), et l'équation obtenue en éliminant b' et c' entre les trois dernières équations, savoir :
da
db
de
do da
d'^ db
do de
Oa db de
Il cin\i(Mil «le rtMHnr(|iior qu'on obtient cctlr ilfiiiirre équation en o^alaiil
366 CHAI'ITKE XY.
à zéro les dérivées prises par rapport à a, b, c de la fonction
/+ Xo + n'h — o,
et en éliminant X et [j. entre les trois équations obtenues.
On peut encore observer que les équations (4) peuvent être mises sous la forme
I df , df -. ùf j
-^ da -{- -T-r du -\ — ^^ ac — o, l ua Ou oc
( 4 ) < —'- da ^ ~ db -^ -^ de = o.
\ oa db Oc
\ ua Ob Oc
l'équation (5) exprime qu'il existe des valeurs non toutes nulles de da, db, de vérifiant les équations (4)'- En procédant ainsi, on exprime que df=^o, les différentielles da, db, de étant assujetties à vérifier les relations obtenues en différentiant les équations o = o, tj' = o; de cette façon, les trois paramètres sont traités d'une manière symétrique.
395. Applications : i° Trouver l'enveloppe d' une droite de longueur constante dont les extrémités glissent sur deux droites rectangulaires fixes. — Soil
l'équation d'une droite, les paramètres a, j3 vérifiant la relation
En appliquant la méthode générale, nous éliminerons a cl [i entre les équations précédentes et l'équation
que nous écrirons ainsi
^f - ^% - il'
en tenant compte des équations (i) et (2). On a ainsi
et, par suite,
ou, en simplifiant,
li=z{i^xyi-^{liyy*
,,3 | ^.3 __ fi
2° Enveloppe des el/i/)ses décrites par les différents points de la droite précédente. — L'une de ces ellipses a pour équation
avec la condition a + b = l. En procédant comme dans le cas précédent, on obtient pour enveloppe la même courbe.
L'enveloppe trouvée est une hypocycloïde, obtenue en faisant rouler un cercle de rayon - sur un cercle de ravon /. le iireniier cercle étant intérieur au second. Les formules relatives à rhy|»ocycloï(le sont alors, en effet.
3 , / ., 3 , . / . „ X = - l cosa -i — cos ix. y z= - l sin x — -; sm 3a
ou, en simplifiant, «l'où l'on tire
57 = /cos-» a. j'=/sin^a.
396. Nous venons de voir que renveloppc d'une droite de longueur constante dont les extrémités glissent sur deux droites rectangulaires est la même que l'enveloppe des trajectoires de ses différents points. Cette proposition n'est qu'un cas particulier d'une proposition générale que nous allons établir. Pour cela, nous allons d'abord considérer un autre cas de la théorie des enveloppes.
Considérons deux équations
(2) ?f^, J, rt, 0) = o,
où entrent les coordonnées .r, y et deux paramétres a, b. Si l'on donne i'i ii une valeur constante ao, les deux équations
(3) fi^.y, tto, /*) = 0.
représentent une courbe dont on aurait l'équation en éliminant b entre les
équations (3), (4)- Celte courbe est définie par l'équation a = «oj il y a lieu de chercher son enveloppe quand «o varie d'une manière continue.
On peut dire que l'équation (4) définit b comme fonction de ce, y, Uq, et en posant
on voit que l'équation de la courbe correspondant à « — «o est
f[x, y, ao, '\i («0, a-, r)] = o.
Nous devons égaler à zéro la dérivée du premier membre de cette équation prise par rapport à ao- Gela revient à poser
., .. àb , , db
Donc nous avons à éliminer a^ et b entre les équations (3), (4) et l'équation fa .o'i, — f'h-^',1 — o ou, en définitive, à éliminer a et 6 entre les équations (i), (2) et l'équation
Il en résulte que l'enveloppe des courbes b = const. est la même que celle des courbes a = const.
Gela posé, considérons une courbe mobile de forme invariable rapportée à deux axes rectangulaires XtoY auxquels elle est liée invariablement, et dont l'équation, par rapport à ces axes, est Y =y(X).
Soit, en outre, xOy un système d'axes rectangulaires fixes; en appelant a l'angle que tuX fait avec Ox, les formules de transformation
jc = :ri + X cosa — Y sinx, j^ = j'i -1- X sina 4- Y cosa
montrent que x d y sont fonctions des deux paramètres a, X. Si l'on donne à a une valeur constante, les équations précédentes représentent la courbe mobile dans une position particulière; si, au contraire, X est constant et a variable, elles représentent la trajectoire d'un point M de cette courbe. Donc, en vertu du théorème que l'on vient d'établir :
Lorsqu' une courbe plane de forme invariable se déplace dans son plan, les trajectoires de tous ses points ont la même enveloppe que la courbe mobile elle-même.
397. Trouver l'enveloppe d'un cercle de rayon constant dont le centre décrit une courbe donnée. — L'équation de la courbe étant fi^x, y) = o, celle du cercle sera de la forme
(x — ay-h{y — by— R2 = o avec la condition
THÉORIE DBS ENVELOPPES. 869
n faudra, par suite, éliminer a, b entre les deux équations précédenles et
l'équation
fa f'h
Cette dernière équation représente la normale à la courbe donnée au point (a, 6), résultat que l'on obtient immédiatement en remarquant que l'axe radical de deux cercles égaux, ayant leurs centres en deux points M, M', est la perpendiculaire élevée au milieu de MxM'; les points M et M' étant supposés sur la courbe donnée, l'axe radical a pour limite la normale en M. quand M' vient se confondre avec M.
Il résulte immédiatement de là que, si l'on porte sur la normale en un point M d'une courbe deux longueurs MP et MQ égales à une ligne donnée R, le lieu des extrémités P, Q de ces segments est une courbe qui admet les mêmes normales que la proposée; c'est ce que l'on nomme une courbe parallèle à la courbe donnée.
398. Enveloppe cVan cercle passant par un point fixe et dont le centre décrit une courbe donnée. — Prenons deux axes rectangulaires passant par le point fixe donné; le cercle variable est représenté par l'équation
x^-^ y'^ — '1 ax — "xby =z o,
avec la condition
L'équation de l'enveloppe s'obtiendra en éliminant a. b entre ces deux équations et l'équation
Cette équation représente la perpendiculaire menée de l'origine à la tangente à la courbe donnée au point (a, 6), ce que l'on vérifie géométriquement, comme dans le problème précédent. On en déduit sans difficulté que l'enveloppe cherchée est homothétique à la podaire de la courbe par rapport à l'origine, les rayons vecteurs de la podaire étant multipliés par 2.
399. Enveloppe d'un cercle dont le centre décrit une courbe fixe et qui reste orthogonal à un cercle fixe. — Prenons pour axes deux diamètres rectangulaires du cercle fixe et soit R le rayon de ce cercle. Le cercle mobile aura une équation de la forme
xt -\-yi — -iax — 'iby -i- R* — o,
a, b étant liés par l'équation
On obtiendra l'équation de l'enveloppe en éliminant a, b entre ces équa-
NlEWENGLOWSKI. — G. an., I. 2^
370 CHAPITHE XV.
lions et l'équation
Ja J h
On voit encore que les points P, Q où le cercle touche l'enveloppe sont à l'intersection de ce cercle et de la perpendiculaire menée par l'origine à la tangente au point (a, 6), à la courbe que décrit le centre du cercle mobile. On en déduit une propriété remarquable de l'enveloppe; l'équation
montre, en effet, que, si l'on transforme cette enveloppe par inversion, le cercle d'inversion étant le cercle fixe donné, elle se transforme en elle-même : c'est une anallagniatique.
400. Réciproquement, toute anallagniatique est susceptible de ce mode de génération. Considérons, en effet, une courbe G telle qu'à tout point P de cette courbe corresponde un second point Q lui appartenant, situé sur OP et tel que OP.OQ = R'^, R étant une constante et O étant un point fixe. Soit P' un point de la courbe donnée infiniment voisin de P, et soit Q' le point correspondant. La relation OP.OQ = OP'.OQ' montre que le quadrilatère PP'QQ' est inscriptible à un cercle dont le centre est le point de rencontre des perpendiculaires menées respectivement au milieu de PQ et au milieu de P'Q'. Supposons que P' vienne se confondre avec P. Le cercle que nous venons de définir a pour limite un cercle passant par P et Q et tangent en chacun de ces points à la courbe donnée. D'autre part, la perpendiculaire menée au milieu de PQ enveloppe, quand PQ tourne autour du point 0, une courbe déterminée C, le point de contact étant précisément le centre du cercle bitangent en P et Q à la courbe C. Il est clair que ce cercle est orthogonal au cercle d'inversion, c'est-à-dire au cercle ayant pour centre le point O et pour rayon R et son centre décrit la courbe C; l'enveloppe de ce cercle est la courbe C. Ainsi toute anallagmatique est l'enveloppe d'un cercle orthogonal à un cercle fixe, et dont le centre décrit une courbe appelée déférente ; et cela est vrai d'autant de manières qu'il y a de centres d'inversion pour lesquels la courbe se transforme en elle-même.
Equations homogènes par rapport aux paramètres.
