Supposons que l'équation de l'enveloppée

soit homogène par rapport aux paramètres a, b, c liés eux-mêmes par une équation homogène

THÉORIE DES ENVELOPPES. Sj 1

Dans ce cas, il n'y a en réalité que deux paramètres; en efl'et, si nous posons « = ca, 6 = c[3, les équations précédentes pourront être mises sous la forme

/(^,.r> a» ?. 0 = o, cp(a, p, i) = o

et nous devons écrire que les dérivées de ces deux dernières fonctions sont proportionnelles, ce qui revient à déterminer un facteur A tel que

Or, en vertu de l'identité d'Euler,

i «/a ^ ff/l, -+- cf'c = infi^x, y, a, b, c) = o, { az,u^ b(ù,,-{- coc=po(a, b, c) = o,

m et/? étant les degrés d'homogénéité des fonctions /" et ç>; en outre, les équations (3) reviennent à celles-ci :

et, en tenant compte des équations (4), on en déduit/^.^ Xc"*""/'»^. De tout cela, il résulte que l'équation de l'enveloppe des courbes (i) s'obtiendra en éliminant a, b, c entre les équations (i), (2) et les suivantes :

Ja Jh^ Jo

Ai)^. Applications. — Si les coefficients u, v, w de l'équation d'une droite

(I) UX -h çy -r- iVZ = o

sont liés par une équation homogène

cette droite a pour enveloppe une courbe déterminée G dont on obtiendra l'équation en éliminant u, v, <v entre les équations (i), (•i)el

J II J V J \v

L'équation (2) est V équation tangentielle de la courbe C, et

l'on voit que les coordonnées ponctuelles du point de contact de la tangente (m, v, w) sont proportionnelles aux dérivées du premier membre de l'équation tangentielle.

403. Il convient de rapprocher le résultat qu'on vient d'obtenir de celui-ci. Si l'on écrit sous la forme suivante :

uX-\- i>Y-{- ivZ — o

l'éqviation de la tangente au point (^, j', 5) de la courbe définie par réquation/(a;, jK, ;;) = G, on a

Jx Jy Jz

404. Trouver V équation ponctuelle de la courbe ayant pour équation tangentielle

(i) au^-+- a' v^-h a"w^-\- ibvw -\- ib' wu -h ib" uv = o.

Les coordonnées x^y, z du point de contact d'une droite dont les coefficients u, i', w vérifient l'équation (i) avec son enveloppe sont assujetties à vérifier les équations

au -h b"v -h b' iv —Ix, b" u -T- a' V -^ bw =\y, b' u -h bv -^ a" IV =:: \ z , ux -\- vy -^ wz =0,

\ étant un paramèti'e arbitraire; l'équation ponctuelle demandée est

donc

L'équation (i) représente donc, en général, une conique.

4-00. Remarques. — 1° Si l'on considère Ja conique ayant pour équation ponctuelle

(3) kx'^-\- A>2 -h A"^2 -h 2 Byz -h 2B' zx + 1 B"xy = o,

l'équation tangentielle de cette conique est précisément l'équation (i), si l'on

THÉORIE DES ENVELOPPES. SjS

suppose que a, a', a", b, b', b" soient les mineurs du discriminant A de lii forme (3). Dans ce cas, l'équation (2) développée est A/(a:, y. z) = 0.

2° On sait que si A = o, la forme (i) est un carré parfait. Si l'équation f(x,y,z) = o représente alors deux droites distinctes D, D', les mineurs de A ne sont pas tous nuls, et l'on a

au^-\- aV2-+- a'w--h ibvw -\- •ib'wu -+- ib" uv = k{uxQ-\- vyQ-\- wzqY,

k étant une constante et aro, foi ^0 'es coordonnées du point de concours des droites D, D'. On déduit tie l'identité précédente les formules suivantes, qui nous seront utiles :

xl ^ yl ^ fl ^ ro^ f^û^ ^ foTo.

406. Lorsque les coefficienls de la forme (1) ne sont pas les mineurs du discriminant d'une forme quadratique, il peut arriver que celle forme soil un produit de deux fadeurs linéaires distincts; l'éqiialion (i) devient alors

(«1 M -+- 61P 4- Cl w) {a^u -\- b^v -\- c^w ) = o,

«,, 6), C|, a.y, b-,, c-î étant des conslanles; elle se décompose en deux. L'équation a, m + 6, p- + c, <ï^ = o exprime que la droite ayant pour équation ux H- çy H- wz- = o passe par le point (rt,, ^,, Cj). L'équalion (i) représente donc alors deux points.

■407. Remarque. — Si l'on cherche, par la méthode générale, l'enveloppe de la droite dont les coefficients u, v, w vérifient l'équation

«1 u -\~ bxv -\- Ciw = o, on doit éliminer u, v, w entre cette équation et les suivantes :

X y z ux -\- vy -+- wz — o, — — 7~ — —

Iti Oy C'i

La dernière équation montre que l'enveloppe se réduit au point(ai, ôj, Cj).

Si l'on considère la droite ayant pour équation (1) ux -h vy -i- i = o,

et si l'on demande son enveloppe, sachant que (■2) ua -^ vb -h i = o;

en écrivant que les dérivées des polynômes (i) et (2) par rapport à m et

sont proportionnelles, on obtient

Il reste à éliminer u ç.\. v entre les équations (i), (s»,), (3). Jl ne faudrait pas faire le raisonnement suivant : l'équation (3) ne contenant ni u ni v est le résultat de l'élimination; ce qui conduirait à une conclusion évidemment absurde. II convient de se rappeler la définition exacte de l'élimination : éliminer zf et v entre les équations (i), (2), (3), c'est trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces équations soient compatibles. Or, si l'équation (3) est vérifiée, les équations (i) et (2) sont incompatibles, à moins qu'elles ne

soient identiques, ce qui exige que les rapports - et y aient pour valeur

commune l'unité. Le résultat cherché est donc donné par les équations

^ - Z -, a~ b ~ ' ou a; = a, jj^ = h.

Développées.

408. On appelle développée d'une courbe plane, l'enveloppe de ses normales.

La normale au point M(.r, jk) a pour équation, les axes étant rectangulaires,

<.) X-^+j'(Y-jK)-o.

Pour trouver les coordonnées du point où cette droite touche son enveloppe, nous devons résoudre le système formé par cette équation et par l'équation

<2) (n/2)^y'(Y jK) = o,

obtenue en égalant à zéro la dérivée du premier membre de l'équation (i) par rapport avi paramètre x\ y étant regardé comme une fonction connue de x dont les dérivées première et seconde sont y' «tj".

En résolvant les équations (i) et (2) on obtient

X — iP=— -^^ — ir—^^ Y— j= j—'

Le point G ayant pour coordonnées |les valeurs de X, Y définies par les deux équations précédentes se nomme le centre de cour-

bure. La dislance R du point M au cenlre de courbure est donnée par la formule

Le centre de courbure est la limite du point de rencontre d'une normale avec la normale infiniment voisine.

409. On nomme cercle osculateur relatif au point M la limite du cercle tangent en M à la courbe donnée et passant par un point infiniment voisin M', appartenant à la même courbe. Il est facile de voir que ce cercle a pour centre le point C. En effet, l'équation générale des cercles tangents en M à la courbe donnée est

(X- xy-+ {Y -yy-+l[Y -jr -y(X- x)] = o.

Effectivement, cette équation représente un cercle passant par M, et ajant, avec le cercle de rayon nul représenté par l'équation

(X-xy-+(Y-yy^-o,

pour axe radical la tangente en M à la courbe donnée et, d'autre part, on peut déterminera de manière que cette équation représente un cercle passant par un point donné. Déterminons X de façon que le cercle considéré passe par le point (x -+- Aa-, y -+- ^y)^, ce qui donne

Or \y — ^' Ajc = (y" -t- a ) , a étant un infiniment petit; l'équation qui

détermine X est donc

2(1-1- y'^) et à la limite, on doit prendre X = ^^ — -/' — - • L'équation demandée est,

par suite,

[x - . ^ ZWL)]V (y -^ 1±/!)' = li±yî)!.

Ce qui démontre la proposition.

410. On étudie très facilement les développées par le procédé suivant.

L'équation

X cos a H- jK sin a = /( a }

peut représenter la tangente à la courbe donnée G {fig. 107); cette courbe est considérée comme l'enveloppe de la droite mobile représentée par l'équation (1). On voit immédiatement que la podaire de la courbe G, par rapport à l'origine, a pour équation, en coordonnées polaires,

p étant le rayon vecteur et a l'angle polaire.

En second lieu, le point de contact M de la tangente (i) est sur la droite définie par l'équation

(2) — 07 sina + j' cosa =/'(a).

Cette équation représente la normale en M.

Si l'on peut éliminer a entre les équations (1) et ("2), on aura l'équation ponctuelle de la courbe G; on peut du moins exprimer les coordonnées du point M en fonction de a; les équations (i) et (2) résolues donnent

X — f( a.) co?,cL — /' (et) sina, j' = /(a) sina +/'(a) cos a.

La normale en M étant représentée par l'équation (2), on obtiendra la développée de la courbe G en éliminant a entre l'équation (2) et sa dérivée, c'est-à-dire

X cosa -i-y sina = — /"(a).

Fif

Les équations (2) et (3) définissent un point N de la développée. Ge point est le point de contact de la normale en M à la courbe G avec sa développée. La normale en un point M' infiniment voisin de M coupe la normale en M en un point qui a pour limite le point N. Les coordonnées du point N sont

(4) .ri = — /'(a) sina— /"(a) cosa, j'i =/'(a) cosa — /"(a) sina.

L'équation (3) représente une parallèle à la tangente en M à la courbe G, menée par le point N. Ge point est le centre de courbure, et le segment NM, le rayon de courbure R de la courbe G au point M. On a

Les formules (4), différentiées par rapport à a, donnent

dxi = — [/'(a) -f-/"'(°')] cosa d(x, dji = — [/'(a) +/'"(«)] sina fi^a,

c'est-à-dire, en tenant compte de l'équation (5),

dxi= — <iR cos a, dji — — c^Rsina,

d'où

dx] -r- cfji — C?R^ ;

donc, CM notninanl Si l'arc de développée Cùinpté à |)artir d'uiu' ori^'iiic arbitraire,

dsi = ±dl\.

Soit NN' un arc de développée; on a, d'après l'équation précédente,

arcNN'= M'N'— MN.

On peut encore vérifier la construction de la tangente à la podaire. Soient P un point de la podaire et I le pied de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la normale en M.

Les coordonnées X2, y 2 de P sont

celles de I sont Or

par suite,