PA QA . . . AP MP

Pivï "^ QM "^ "' *^"' ^^ ^^"^^ '-evient au même, aQ "^ ÎVÏQ ^ "'

s'exprime par l'une ou l'autre des équations

^o/i +ro/; + 5o/^ =0 ou a?/;^ ^yf'y,-^ -/=„ ^ «'

dont les premiers membres sont identiques.

On nomme polaire du point A. par rapport à une conique (^, le lieu des points conjugués de A par rapport à C. L'équation de la polaire du point A est donc

Cette é({uation étant du premier degré, la polaire d'un point A est une droite D ; le point A se nomme le pôle de la droite D. Quand le point A est sur la conique, sa polaire se confond avec la tangente en A.

38o CHAPITRE XVI.

412. Discussion de Véquatioii de la polaire. Condition pour que la polaire d' un point soit à V infini. — Supposons que —^ —^ soient des coordonnées cartésiennes, l'équation de la polaire du point A(.«-o, jKo) cesse d'être du premier degré si l'on suppose que ^05 JKo vérifient les équationsy^= o, /y= o. D'ailleurs, si ces conditions sont remplies, et si la conique ne dégénère pas en droites, on ne pourra supposer /!„= o et, par suite, la polaire de A sera rejetée à l'infini.

Il résulte de là que, si la conique a un centre, la polaire du centre est à l'infini et la polaire de tout autre point du plan est une droite déterminée et à distance finie. Dans le cas de la parabole, la polaire d'un point à distance finie est toujours une droite à distance finie.

On établit facilement ces résultats par la Géométrie. En effet, soit A un point; pour qu'une sécante passant par ce point rencontre la conique considérée en deux points P, Q symétriques par rapport à A, il faut et il suffit que le conjugué de A par rapport à la corde PQ soit rejeté à l'infini et, par suite, si le point A est le milieu de deux cordes distinctes passant par A, la polaire de A sera rejetée à l'infini, d'où il résulte que toute corde passant par le point A sera partagée par ce point en deux parties égales. On peut donc prendre pour définition du centre d'une conique un point dont la polaire est rejetée à l'infini. On a ainsi une nouvelle théorie du centre.

413. Polaire d'un point à l'injini. — Si l'on pose x^ = a, jko = P) -Sj = o, le point (a, p,o) est à l'infini dans la direction ayant pour paramétres directeurs a, P; la polaire de ce point a pour équation

elle se confond alors avec le diamètre conjugué à la direction donnée; ce qui est évident a priori. En effet, si un point A est à l'infini dans la direction D, sa polaire est le lieu des milieux des cordes parallèles à la direction D. On peut ainsi donner une nouvelle définition du diamètre conjugué à une direction donnée. On vérifie aisément que, si la direction donnée est asymptotique, la polaire correspondante est l'asymptote parallèle à cette direction. Dans le cas de la parabole, la polaire d'un point à l'infini dans la direction de l'axe est rejetée à l'infini.

PiioBLÈME INVERSE : Trouver le pôle d\ine droite donnée. — Soient ux -\- vy -\- wz = o l'équation d'une droite D el/{a:.,y, z)=^ o l'équation d'une conique C. Cherchons s'il y a un point dont la polaire, par rapport à G, soit la droite D. Pour cela, il faut et il suffit

PÔLES ET POLAIUES. 38 1

que les coordonnées ^, j", z du point cherché vérifient les équations

A étant un coefficient dilTércnt de zéro. l'2n posant

/{jp, y, :;) = Aa:2-f- x'y2^ A"^2 f yAiyz -\- -iB' zx -h iW xy, les équations précédentes sont, sous forme explicite,

(i) . A:f ^-B"j-f- n'5 r^ Xm,

(2) Wx -^ k'y -f-B5 = \v,

(3) B'a: ^ Bj + A"^ = lw.

Discussion. — i" A ^ o. Dans ce cas, quelle que soit la valeur de À, les équations précédentes ont une solution; ces équations déterminent un point et un seul. D'ailleurs, en appliquant les formules de Cramer, on obtient immédiatement

xf;, xf; xf;,

^•=Ti-' '>'=-^' -"=Tr'

F(«, i, (v) = o étant l'équation tangcntielle de la conique donnée. Le calcul précédent montre que toute droite a un pôle déterminé, à distance finie ou infinie, par rapport à une conique proprement dite. Cherchons dans quel cas ce pôle est à distance finie.

Pour résoudre cette question importante, supposons que -, "^ soient

les coordonnées cartésiennes du pôle de la droite D5 pour que le pôle soit à l'infini, il faut et il suffit que F'i^,=: o, c'est-à-dire

b' a -h bi> -{- a"iv = o.

Supposons d'abord a"^ o -, cette équation exprime que la droite donnée doit passer par le point ayant pour coordonnées cartésiennes

c'est-à-dire par le centre de la conique; en second lieu, si a!'=^o,

c'est-à-dire si AA.' — B"2z=o, la conique C est une parabole et la

condition

b' Il -\- bv = o

exprime que la droite D est parallèle à l'axe de la parabole.

D'ailleurs, si l'on suppose l'équation de la parabole mise sous la forme

(arr4- ^y)'^ -{- 9.D x -h o.Ej -i- F = o,

on voit que la condition b' u -h bv = o peut s'écrire

(aE — pD)(p« — at^) = o;

le premier facteur étant différent de zéro, c'est le second qui doit être nul.

Donc, toute droite ne passant pas par le centre de la conique, ou, dans le cas de la parabole, toute droite non parallèle à l'axe, a un pôle à distance finie.

2° A = o. Pour traiter ce cas simplement, remarquons que, si la conique C a un point double, la polaire d'un point quelconque y passe, car, si les coordonnées d'un point (a!,y,z) vérifient les équations /^=o, f^ = o, /^ = o, elles vérifient aussi, quels que soient a^y, yoi ^o: l'équation

^0 fx + Jo/r + -o/; = O.

Cela dit, supposons que la conique ait un seul point double, à distance finie, c'est-à-dire que A = o, a"^ o; cette conique dégénère en deux droites concourantes et la polaire d'un point quelconque passe par le point de concours de ces deux droites. En ajoutant les équations (i), (a), (3), après avoir multiplié les deux membres successivement par b', b, a", on obtient

\{b' H -\- bv -T- a" w) = o,

et, comme on doit supposer X ^ o, on obtient la condition

b' u -+- bi> -h a" w = o,

qui exprime que la droite D doit passer par le point double de la conique C. Si cette condition n'est pas remplie, la droite D n'a pas de pôle; supposons-la remplie; alors l'équation (3) est une conséquence des équations (i) et (i). On n'a plus que deux équations pour déterminer le pôle de la droite D : cette droite a donc une infinité de pôles qui sont tous les points de la droite ayant pour équation

équation obtenue en éliminant X et qui représente le diamètre de la conique C, conjuguée à la direction de la droite D elle-même.

Si le point double de la conique G est à l'infini, cette conique se réduit à deux droites parallèles Di, D.2 et la polaire d'un point quelconque est parallèle aux droites Dj, D2; le problème n'est donc possible que si la droite D est elle-même parallèle à Di et Dj.

Si nous supposons, par exemple, A ^ o, nous pouvons remarquer que y' = A/^, h étant une constante; donc, on doit supposer v =. hu, ce qui

exprime, comme on le vérifie immédiatement, que la droite D doit être parallèle aux droites Dj, Dj qui constituent la conique C. Si cette condition est remplie, la droite D a une infinité de pôles situés sur la droite ayant pour équation

et qui est parallèle à Di.

Enfin, supposons que G ait une ligne de points doubles, c'est-à-dire se réduise à deux droites confondues en une seule, Di; dans ce cas, la droite D doit être confondue avec cette ligne et le problème est évidemment indéterminé. D'ailleurs, en supposant A ?!i o, on a, dans ce cas,yj = hf'xi f'z"^ ^*' fy ' et l'on doit supposer v = hii, w = h' u; si ces conditions sont remplies, la droite D se confond avec D, et son pôle est indéterminé.

-41o. Propriétés des pôles et des polaires. — i" Si la polaire d* un point k passe par B, réciproquement, la polaire de B passe par A, car les points A et B sont conjugués.

2" Si un point m décrit une droite P, la polaire de m tourne autour du pôle p de P. — En effet, le point m étant sur la droite P, p et m sont conjugués; donc la polaire de m passe par/9.

3** Si une droite P tourne autour d^ un point m, son pôle p décrit la polaire M du point m. — Cette proposition ne diffère pas, au fond, de la précédente; en effet, le point ni étant sur la droite P, la polaire M du point ni passe par/>.

Les droites M, P, telles que chacune d'elles passe par le pôle de l'antre, sont dites conjuguées par rapport à la conique donnée.

Ces propositions se vérifient aisément par le calcul.

Soient j^O) X01 ^0 les coordonnées du point />; sa polaire a pouiéquation

l'équation

qui exprime que le point m(ar,,y,, :;i) est sur celte droite, exprime aussi que la polaire de m passe par/?.

416. Corollaires. — Le pôle d'une droite est à l'intersection des polaires de deux quelconques de ses points; la polaire d'un point est la droite qui joint les pôles de deux droites quelconques passant par ce point.

Nous savons que la polaire d'un point passe par les points de con-

tact des tangentes issues de ce point. Cela résulte aussi de ce que le pôle d'une tangente est son point de contact, de sorte que la droite qui joint les points de contact de deux tangentes est la polaire de leur point de concours.

Si l'on représente par P), Po les premiers membres des équations des polaires de deux points (:r,. y,, 5,), [x^-. y-y-, ^-i), 1^ polaire du point Xi + \x2, y\ -|- ^-J'2j ^1 + "^^^2 îi pour équation P, + aPo = o. On voit que si \ varie de — oo à + co, la polaire du point \ tourne toujours dans le même sens.

417. Condition pour que deux droites soient conjuguées par rapport à une conique donnée. — Soient

Vy

WZ =^ 0,

vy

les équations des deux droites. Pour que le pôle de la première soit sur la seconde, il faut qu'il y ait des valeurs non toutes nulles de x, y, z, X qui vérifient les équations

kx -H B"jK-i- B'5 = \u,

Wx-{-K'y-^Bz =^lv, B'x -+- By -+- A" z — Xiv, u'x -+- v' y -+■ w' z = o,

ce qui donne la condition

La symétrie de cette relation prouve que, si le pôle/) d'une droite P est sur la droite P', le pôle p' de P' sera sur la droite P. On peut mettre cette relation sous une forme très utile. Les coordonnées du pôle de la droite {u, p, w) sont, comme nous l'avons vu plus haut, proportionnelles à F^^, F[,, F^. La condition pour que ce point soit sur la seconde droite est donc

u' F'„ H- p' F;. -f- (v' F^ = o ; c'est d'ailleurs ce qu'on obtient en développant le déterminant précédent.

418. Théorème. — Deux droites conjuguées par rapport à une conique donnée sont conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes à cette conique menées par leur point d'intersection, et réciproquement.

En effet, soient P := ux

vy

P'es u'x

les équations de deux droites D, D'. L'équation

(u-+- 'Ku')x -H (c -h y^v')y ■i-{w-^'kw')z = Q

représentera une tangente passant par le point d'intersection A de ces droites, si X est racine de l'équation

F(m + lu', v-i-lv',w-^'kw') = o

ou, en développant,

F{u,v, iv)-h'k{u'Fu -i-v'Fl+ «''Fiv) ■+- 1^F{u', v', w' ) = o.

Si X', X" sont les racines de cette équation, les tangentes issues du point A sont définies par les équations

pour que ces tangentes formant un faisceau harmonique avec les droites P, P', il faut et il suffit que X'-H X"= o, c'est-à-dire que

u'F'u-{-i>'F'^.-hw'F'^ = o,

ou que les droites P, P' soient conjuguées par rapport à la conique donnée.

La proposition est d'ailleurs évidente par la Géométrie; car, si les droites P, P' sont conjuguées, la droite pp' qui joint leurs pôles est la polaire de leur point de rencontre A; elle passe donc par les points de contact g, q' des tangentes issues de A, et, comme les points/?, p' sont conjugués, la division />, />', q, q' est harmonique. Réciproquement, si cette division est harmonique, p est le pôle de P, etc.

Il résulte de là que, par tout point A, on peut faire passer une infinité de couples de droites conjuguées par rapport à la conique donnée.

En particulier, pour avoir deux droites rectangulaires conjuguées, il suffira de mener les bissectrices de l'angle des tangentes issues du point donné A.

Si le point donné A est sur la conique, la tangente en A et une droite quelconque menée par A sont conjuguées.

419. Construction de la polaire d^un point. — Soit P un point donné {fig- io8); menons deux transversales, PA, PB, rencontrant la conique donnée en des points A, A' et B, B' respectivement. La polaire de P passe par le point de rencontre M des cordes AB, A'B' et par le point de rencontre M' des cordes AB', BA'.

En effet, la droite MM' est la polaire de P par rapport à l'angle BMB'; elle rencontre donc PA et PB aux points Q, R qui sont conjugués de P; donc MM' est la polaire de P par rapport à la conique donnée.

Il est d'ailleurs facile d'établir cette proposition par le calcul. Soient NiEWENGLOWSKi. — G. an., I, 25

^0) JKo) -So les coordonnées du point P et f(cc, y,z) = o l'équation de la conique. Donnons-nous l'équation de la droite AB : ux -h çy -{- wz = o , et formons l'équation du faisceau PA, PB. Pour cela, soient x, y, z les coordonnées d'un point pris sur l'une de ces droites, sur PA par exemple. Les coordonnées d'un second point de la droite PA étant Xq-^Xx, ya-^'ky, Z(,-t-\z, exprimons que ce point est sur AB, ce qui donne

Dn

XD = o.

en posant ux -¥ vy -^ wz = D, ux^-^ ^fa-^ ««^^o = Dq. En exprimant que le môme point est sur la conique, on obtient

Si l'on élimine X entre les deux équations précédentes, on obtient D V(:ro, jKo, ^o) - DoD (a-/;^ ^yf^^+^f^j + D^/(:r, y,z)= o. C'est l'équation du faisceau des droites PA, PB. De là résulte que l'équation

DV(^o,7o,^o)- DoD(^/;^-i-j/;,-^ .-/:j = o,

qui est une combinaison linéaire de l'équation de ce faisceau et de l'équation de la conique donnée, représente une conique passant par les points communs A, B, A', B' à cette conique et à ce faisceau. Mais, D étant en facteur, l'équation

R/(^o, yo, ^o) — D,j (.r/;^ + j/;^+ ^/.'J = o

représente la droite A'B', et l'on reconnaît, à l'aide de cette équation, que A'B' passe par le point de concours de AB et de la polaire de P, ce qui revient à dire que cette polaire passe par le point de concours de AB et de A'B'.

On verrait de même que la polaire de P passe par le point de rencontre des deux droites AB' et BA'. *

La construction précédente permet de tracer avec la règle seule les tangentes menées par un point donné à une conique supposée tracée.

Cette construction s'applique encore quand le point P est à l'infini dans une direction donnée; on peut donc déterminer par le même procédé les tangentes parallèles à cette direction.

420. Positions relatives du pôle et de la polaire. — i° La conique donnée est une ellipse.

Nous supposerons que le point M se déplace sur un diamètre de rellipse, que nous prendrons pour axe des x, l'axe des y étant le

diamètre conjugué. Dans celle hypothèse, l'ellipse ayant pour équa-

tion

la polaire de M(:r„, o) est définie par l'équation xx^ = a'- ; elle a wnc, direction conjuguée au diamètre 0\1. Si Xq varie de o à +00, X varie de + 00 à o ; quand x^ = a', on a aussi x = a'.

2° Si la conique est une ellipse imaginaire représentée par l'équation

la polaire du point (xq, o) a pour équation ^^0+ a'-= o; elle est réelle et symétrique de la polaire du même point par rapport à l'ellipse réelle conjuguée de l'ellipse donnée.

3° La conique est une hyperbole. Si le point M est sur un diamètre transverse de l'hyperbole, les résultats sont les mêmes que pour l'ellipse. Supposons, au contraire, que le point M se déplace sur un diamètre non transverse, l'équation de l'hyperbole étant

la polaire du point (o, y^) a pour équation yj/-o = — b'-. On voit que si y^ varie de o à H- 00, y varie de — oo à o ; si j^^ := ^', on a aussi y= b' ; donc la polaire d'un point de l'hyperbole conjuguée est tangente à cette hyperbole au point diamétralement opposé au premier.

4° Cas de la parabole. — Nous ferons glisser le point M sur un diamètre de la parabole. En prenant pour axes ce diamètre et la tangente qui lui est conjuguée, l'équation de la parabole sera y- — 2/?.r = o, et celle de la polaire du point (xq, o) sera x-i-Xo = o; elle est donc parallèle à la tangente considérée, et cette tangente est à égale distance de M et de sa polaire.

La propriété précédente est caractéristique; en effet, la polaire du point (xq, o) par rapport à la conique

y^ — ipx — qx^= o a pour équation

p(x -h Xo)-\- qxxQ.

Cette équation ne se réduit à l'équation x ~ Xq= o que ?,\ q = o.

Considérons encore deux, points, A.{xi,yi), B(x2, y^). Leurs polaires ont pour équations respectivement

elles rencontrent l'axe des x en des points P, Q, ayant pour abscisses — 37), — X2, de sorte que PQ = x^ — x^- La projection de AB sur l'axe des x, faite parallèlement à l'axe desj^, a pour valeur A'B'= x^ — .ri, donc

PQ = — ÂTb"'.

421. Former r équation du faisceau des tangentes à une conique telles que les points de contact soient sur une droite donnée. — Soient

f{x,y.,z)=^o, ux -\- vy -\- wz — o

les équations de la conique et de la corde des contacts. Nous savons que le point qui a pour coordonnées x^ = F'„, jko = Fjo ^^o = F^» ^ {u-i v, w) étant le premier membre de l'équation tangentielle de la conique/", est le pôle P de la droite (a, p, w).

Or

/;^ = 2 ( A 3-0 + B>o + B'zo ) = 2 ( AF'„ + B" F; + B' F'^ )

et, par conséquent,

De même,

En second lieu,

/(a^o, jo, ^o) = i(^o/;„-+-ro/;„ + ^o/;„) = 4 a F(a, t^, w).

Il en résulte que l'équation du faisceau des tangentes issues de P est la suivante :

f{x,y,z)¥{u,v,w) — t>.{ux -\- vy -\- w zY^ o.

Si l'on suppose m = o, v = o, w = i, on obtient l'équation du faisceau des asymptotes.

Remarque. — L'identité /(iPo, jKo» -So) = 4 A F(a, p, w) montre que

a le même signe que F(m, v, w)\ on retrouve ainsi la condition pour que le point 370,^^0) ^0 soit extérieur à la conique/", savoir : A/"o< o.

Autre méthode. — On peut poser

et, par suite, le faisceau des tangentes issues de P a pour équation

(2) f{oc, y,z)f{xo,yQ,Zo) — 'k^-{ux-\- vy -^wzy=o.

Or

ix^-^vy^-^wzo= ^ {^o/r,-^ro/y^+So/^J = j^/o,

en posant/(a7o,7o>^o) =/o-

L'élimination de Xq, j-q, zq entre les équations (i) et (3) donne immédiatement

A B" B' lu

B' B A" Iw

On déduit de là, par un procédé bien connu : ^/q= X' V{u, v, w); donc, en éliminant X^ entre cette équation et l'équation (-2), on obtient l'équation cherchée.

Pôles et polaires dans les courbes algébriques d'ordre quelconque.

422. Considérons deux points, A(a7o,/o) *o) 6t M(x,y, z), et une courbe G, algébrique et d'ordre m définie par l'équation f{x,y,z) = o. Nous savons comment la détermination des points de rencontre de cette courbe avec la droite AM dépend de la résolution de l'équation

/(xo-h Xa7,7o-i- ly, Zo-\-lz) = o.

On sait, en outre, que

En particulier.

En égalant à zéro les coefficients des différentes puissances de X dans l'équation (i), on obtient les équations de m — i courbes qui ont reçu les noms de courbes polaires du point A et qui sont susceptibles de définitions géométriques. Ainsi, par exemple, l'équation

représente une courbe de degré /?, qui a reçu. le nom de (/n — pY^"*' polaire de A par rapport à la courbe G. Nous savons que si Xyt est une racine de l'équation (t), le point P^, qui a pour coordonnées x^-k-Xk^i yo-^^kj, Zq-\- "kk^, est l'un des m points communs à la courbe G et à la sécante AM.

SgO CHAPITRE XYI.

en outre, 1/c est, à un facteur constant près / ce facteur est égal à — — 1 >

P/.A égal au rapport ' • Il en résulte que la {m — py™^e polaire, ou polaire de

degré p, est le lieu des points M tels que la somme des produits m — p à m — p des racines de l'équation (i) soit nulle, c'est-à-dire le lieu des points M tels que la somme des produits m — p à m — p des rapports de division du segment AM par la courbe G soit nulle.

En particulier, la première polaire est le lieu des points M pour lesquels

Pi A P2A , P„^A

Pj, P2, ..., P/« étant les points d'intersection de la sécante AM et de la courbe G, l'équation de cette première polaire, ou polaire principale du point A(a7o, JKo, -o); est

La {m — ly'me polaire, ou polaire rectiligne de A est le lieu des points M pour lesquels la somme de produits m — i à /n — i des rapports précédents est nulle; c'est donc, si l'on préfère, le lieu des points M pour lesquels la somme des inverses de ces rapports est nulle, de sorte que

Pi M P2M ^ P,„M

pTâ^ P2A ^•••'^p;;;â: "''•

Mais, en vertu de l'identité PM -+- MA -h AP = o, on peut remplacer PM par AM — AP et, par suite, écrire l'équation précédente sous la forme