AM ~ AP7 "^ AP; ^ ■ ■ ■ "^ ÂP

On dit alors que le point M est le conjugué harmonique de A par rapport aux points d'intersection de AM et de la courbe G; on peut dire plus simplement que M est conjugué harmonique de A par rapport à la courbe G et définir la polaire rectiligne de A, le lieu des conjugués harmoniques du point A par rapport à la courbe G.

L'équation de la première polaire de A exprime que la polaire harmonique de M passe par le point A. Gette propriété est générale : la {m — p)'™" polaire du point A est le lieu des points M dont la />'*'""' polaire passe par A.

On voit encore aisément que la première polaire de A par rapport à sa première polaire est la seconde polaire de A par rapport à G ; la q'""" polaire de A par rapport à sa p'™« polaire relative à G est sa {p -\- ^)'"^™<' polaire par rapport à G. Remarquons encore, en particulier, que la première polaire de A par rapport à sa polaire conique relative à G est la polaire rectiligne de A relative à G.

PÔLES ET POLAIRES. Sgi

EXERCICES

1. Deux points a, b ont pour polaires, par rapport à une conique, deux droites A, B. Montrer que le rapport des segments déterminés par une droite G sur ab est avec le rapport des distances du pôle c de CD aux droites A, B dans un rapport constant.

2. Étant donnée une conique, par deux points A, B de celte courbe on fait passer un cercle variable qui la coupe en P et Q. Lieu du pôle de PQ : 1° par rapport à la conique, ï° par rapport au cercle variable.

3. Étant données les équations d'une conique et d'une droite D, on mène par un point fixe G une sécante qui coupe la conique en P et Q; lieu du point de rencontre des droites PB, QA, A et B étant les points de rencontre de la conique et de la droite D.

•4. Étant données une conique G et une droite D qui ne la coupe pas, on prend sur D deux points conjugués M, M'. Il y a dans le plan deux points fixes d'où l'on voit MM' sous un angle droit. Déterminer ces deux points fixes et chercher leur lieu géométrique quand MM' se déplace parallèlement à ellemême.

5. Étant donnés un triangle et une conique, les droites qui joignent les pôles de chaque côté au sommet opposé sont concourantes.

6. Soit f{x, j) = o l'équation d'une conique. Abaissons d'un point M(a^o>.Xo) tlu plan de cette conique MP perpendiculaire sur la polaire de M, P étant le pied de la perpendiculaire. Soient A et B les points de rencontre de MP avec les deux axes, B étant sur le petit axe s'il s'agit d'une ellipse, ou sur l'axe imaginaire s'il s'agit d'une hyperbole. Démontrer que

/(^o,ro) = ^.MP.MA = ^'.MP.MB,

k et k' étant des constantes.

7. Les deux foyers F, F' de la conique et les points B, P sont sur un cercle (mêmes notations qu'au n" 6). Prouver que /(oto, j^'o) est proportionnel à la puissance de M par rapport à ce cercle.

8. Étant donné un point P dans le plan d'une conique, trouver le lieu de M tel que sa polaire par rapport à la conique soit perpendiculaire à MP.

9. Trouver l'enveloppe des cordes d'une conique qui sont vues de leur pôle sous un angle constant.

10. Trouver le lieu des points dont les polaires par rapport à trois coniques données sont concourantes. Montrer que le point de concours des polaires est un point du lieu. Le lieu trouvé se nomme le jacobien du système des trois

coniques données. Si les trois coniques ont deux points communs, le jacobien se réduit à la droite qui les joint et à une conique qui passe par ces deux points. (Voir Salmon, t. I, p. 6i3 et suivantes, a® édition de la traduction française des Sections coniques.)

H. Trouver les polaires d'un point par rapport à un système de trois droites. Construire géométriquement la polaire rectiligne.

12. Montrer que les diamètres conjugués égaux d'une ellipse constituent le lieu des points dont les polaires par rapport à cette ellipse et au système de ses axes de symétrie sont parallèles. Former l'équation du faisceau des diamètres conjugués égaux d'une ellipse rapportée à deux axes de coordonnées quelconques.

Théorème de Frégier.

423. Toutes les cordes d'une conique vues sous un angle droit d'un point donné sur cette conique rencontrent la normale en ce point en un point fixe. — L'équation de la conique donnée peut se mettre sous la forme

Aa?^-!- "Qxy -i-jK^-t- Da; = o,

en prenant pour axes de coordonnées la tangente et la normale au point

donné. Soit ux -h vy — [ = o l'équation d'une Fig. 109. corde MM' (y?^. 109). Le faisceau des droites OM,

OM' a pour équation

(1) Ax^-hBxy -h-y^-i- Dx(ux -h vy) = 0.

La condition pour que l'angle MOM' soit droit, savoir

-h A-H Dm = o,

exprime que MM' rencontre l'axe des x, c'està-dire la normale en 0, en un point fixe ayant pour abscisse r •

Cas particulier. — Si la conique est une hyperbole équilatère : i -l- A = o, donc la corde MM' est parallèle à la normale Ox. On peut remarquer que si OM et OM' sont parallèles aux asymptotes de l'hyperbole équilatère, M et M' sont à l'infini, d'où il suit que la corde MM' est elle-même à l'infini et, comme le point fixe P est sur MM', il est à l'infini. Réciproquement, si une conique circonscrite à un triangle rectangle est tangente à la hauteur issue du sommet de l'angle droit, cette conique est une hyperbole équilatère, car l'équation (2) donne i-h A = o quand on suppose u = o. Nous avons ainsi obtenu ce cas particulier du théorème de Frégier :

Quand un triangle rectangle est inscrit à une hyperbole équilatère,

THÉORÈME DE FRÉGIER. SqS

la normale à cette hyperbole au sommet de Vangle droit est parallèle à l'hypoténuse, et réciproquement.

Généralisation. — Cherchons la condition pour que la corde MM' passe par un point fixe (^o>^o)> de sorte que

(3) uxo-h vyo—i = o.

L'équation (i) fournit, entre les coefficients angulaires m, /?i' des droites OM, OM', les relations

(4) m -f- /«'-(- B -+- Dp = o,

(5) mm' — A — Da=o.

La condition demandée s'obtient en éliminant m et p entre les équations (3), (4) et (5); ce qui donne

XQ.mm' — ^o("' -+- »î') — ( Aa^o-f- Bj^o-r-D) = o.

Il en résulte que les droites OM, OM' doivent former un faisceau involutif ou, ce qui revient au même, doivent avoir des directions conjuguées par rapport à une conique G dont les asymptotes ont des directions déterminées quand le point (xo, yo) est donné.

Si yo= o, le produit mm' est constant; si, au contraire, Xo=: o, c'est la somme m -+- m' qui doit avoir une valeur constante.

Lorsque la droite MM' passe par un point fixe, son pôle décrit une droite fixe. Si l'angle MOM' est droit, la polaire du point de Frégier passe par les points communs (autres que O) à la conique donnée et au cercle de rayon nul ayant son centre au point O; car, en retranchant membre à membre les équations de la conique et de ce cercle, on obtient

(A — ])x^-h Bxy -h Dx = o,

équation qui se décompose en a; = o et (A — i)x -+- By -f- D = o. Cette dernière représente bien la polaire du point P. On arrive à ce résultat en remarquant que les droites isotropes sont les rayons doubles de l'involulion définie par les côtés de l'angle droit MOM'.

Dans le cas général, la polaire du point de Frégier est la corde commune à la conique donnée et aux parallèles aux asymptotes de la conique C, menées par le point O.

EXERCICES

i. Trouver le lieu du point de Frégier relatif à chacun des points d'une conique donnée.

2. Trouver l'enveloppe de la polaire du point de Frégier dans les mêmes conditions.

COURBES POLAIRES RÉCIPROQUES

424. Considérons une courbe plane quelconque C et une conique D tracée dans le même plan; on peut déterminer l'enveloppe C des polaires des points de la courbe C par rapport à la conique directrice D; je dis que, réciproquement, C est l'enveloppe des polaires des points de C par rapport à D.

En effet, soient m un point de C, M' sa polaire; p un point de C infiniment voisin de m, et P' la polaire de /?. Le point de rencontre des droites P', M' est le pôle de la droite nip. Si l'on suppose que p tende vers m, la droite mp a pour limite la tangente M en m à la courbe C ; le point (P', M') a pour limite le point de contact m' de la tangente M' à la courbe C. Il en résulte que m' est le pôle de M, ce qui démontre la proposition. Pour cette raison, les courbes C, C sont appelées /?o^ajVe,y réciproques.

Etant donnée une figure F quelconque composée de points a, b, ... et de droites A, B, ..., on peut considérer la figure P' formée par les droites A', B', ... polaires de a, 6, . . . et les points a' , b' , ... pôles de A, B, . . . par rapport à la conique D; ces figures sont nommées polaires réciproques ou corrélatives. A toute propriété de la première figure correspond une propriété de la seconde. Le passage d'une figure à l'autre constitue la transformation par polaires réciproques.

42o. A des points a, b, c, d situés sur une droite L correspondent des

droites A'j B', C, D' passant par un point /'; le rapport anharnionique de la

division a, b, c, d est égal au rapport anharmonique du faisceau A', B', C, D'.

En effet, soient Pj = o, P2=o les équations des polaires des points a, b,

. ca .. da , , • 1 , ,

nous avons vu que si -r = — À, -y^- = — a, les polaires de c et de d ont pour en db

équations, respectivement. Pi H- XP2= o, Pj-i- [ji,P2 = o; les rapports anhar-

■ j, , , , , À moniques considères sont tous deux, égaux an •

En particulier, si à, b, c, d est une division harmonique, le faisceau A', B',

G', D' sera un faisceau harmonique. Si le point d s'éloigne à l'infini sur la

droite L, la droite D' s'obtiendra en joignant le point /' au centre de la

conique directrice (ou en menant par l' une parallèle à l'axe de cette conique

ca si c'est une parabole); le rapport —j- est alors égal au rapport anharmonique

COURBES POLAIRES RÉCIPROQUES. 3gS

Pour montrer une application, considérons un quadrilatère complet form»'par quatre droites A, B, G, D; la figure corrélative sera formée par les quatre pôles a',b',c',d' de ces droites; cette figure se nomme un quadrangle. Chacune des diagonales du quadrilatère complet est coupée harmoniquement par les deux autres. On en conclut, par exemple, que si e' est le point de concours des droites a' d' , b' c' ; f le point de concours des droites a'b', e' d' , et enfin g' le point de concours de b' d' et a' c\ les droites e'f, c g' sont conjuguées par rapport à a' d' et b' c'. Au fond, cette propriété ne diffère pas de la précédente et le quadrangle donne la même figure qu'un quadrilatère complet.

426. Relation entre le degré d'une courbe algébrique et la classe de sa polaire réciproque. — La polaire réciproque d'une courbe algébrique est évidemment algébrique. Soient m, \l le degré et la classe de la courbe C, et m', [i.' le degré et la classe de sa polaire G'. Le nombre des tangentes menées d'un point a à la courbe G est égal au nombre des points d'intersection de G' avec la polaire A' de a; donc \x = m' tl pareillement ni = [/.'.

Ainsi la classe d'une courbe est égale au degré de sa polaire réciproque.

II en résulte immédiatement qu'une courbe de la seconde classe est une conique. En effet, si la courbe G est de la seconde classe, G' sera du second degré et, par suite, aussi de la seconde classe, d'où il résulte que G est du second degré. On voit en même temps, par ce raisonnement, que la polaire réciproque d'une conique est une conique.

Remarque. — Si /n = 2, on a m = m'= \i = \x' = 2. G'est le seul cas dans lequel (i. = m (m — i) et [jl'= m' {m' — i).

En effet, s'il en est ainsi, on a m = ni'(ni'— 1) et m' = ni(m — i); donc, m et m' étant différents de zéro,

et, comme m — i et m'— i sont des entiers, il faut que ni — 1 = ni' — i = i et, par suite, m = m' = 2.

De là résulte cette conclusion : si une courbe G de degré supérieur à 2 n'a aucun point multiple, sa polaire réciproque en a nécessairement. Il en résulte que la courbe G a des tangentes multiples, c'est-à-dire des droites qui sont tangentes en plusieurs points. En effet, supposons que a' soit un point double de G' avec tangentes distinctes B', G'; la droite A sera tangente à G' aux deux points b, c pôles de B', G'.

427. Former l'équation de la polaire réciproque de la conique C par rapport à une conique D. — Soit 0{cc,y) = o l'équation de la conique D; on aura l'équation de la polaire réciproque G' de la conique G, en exprimant que la polaire du point (cp,y, s) est tangente à la conique G et, par suite, si F{u, V, iv) = o est l'équation tangentielle de G, l'équation cherchée est

SgÔ CHAPITRE XVII.

Discussion. — Supposons d'abord que D soit une conique à centre et rapportons cette conique à ses deux axes de symétrie, de sorte que

l'équation cartésienne de G' sera

a/>2 372 -t- 2 b"pq xy ■+- a' q'^y^ + . . . = 0,

le discriminant des termes du second degré a le signe de aa' — b'"^, c'està-dire de A" A. Or la condition pour que l'origine soit extérieure à la conique G étant A"A < o, on voit que G' sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que le centre de D sera intérieur ou extérieur à G ou sur cette conique.

Ge résultat s'obtient par la Géométrie. En effet, pour que le pôle d'une tangente à la conique G soit à l'infini, il faut et il suffit que cette tangente passe par le centre de D. La conique G' a donc autant de points à l'infini qu'on peut mener à G de tangentes par le centre de D. Soit A une tangente à G passant par le centre de D, et soit a son point de contact. Le pôle a' de A est à l'infini dans la direction conjuguée de A par rapport à D et l'asymptote correspondante est la droite A', polaire de a. Il en résulte que le centre de G' est le pôle, par rapport à D, de la polaire du centre de D, par rapport à G. Ge raisonnement suppose que G' soit une hyperbole; mais la vérification par le calcul n'offrirait pas de difficulté et d'ailleurs le calcul devant réussir a priori quand G' est une hyperbole, il est évident qu'il réussira aussi si G' est une ellipse, puisque le signe du discriminant des termes du second degré relatifs à G' n'intervient pas dans ce calcul.

Supposons en second lieu que D soit une parabole et rapportons-la à son axe et à la tangente au sommet, en posant 6(37, ;')=j2 — ipx. L'équation de G' est, dans ce cas,

a p'^x'^ — 2 bp xy -t- a' y''- -f- . . . = 0 ;

le genre de G' dépend du signe de a' a!' — b'^ ou A A. On voit d'abord que, si l'on suppose a"= o, c'est-à-dire si G est une parabole, G' sera une hyperbole, à moins que l'axe de G ne soit parallèle à celui de la parabole D, car dans ce cas A = 0 et, par suite. G' est aussi une parabole ayant même direction d'axe. Supposons en second lieu a"^ o; G est une conique à centre.

La condition pour qu'on puisse mener à cette conique deux tangentes parallèles à l'axe des x est AA<o. Donc G' sera : une ellipse si l'on ne peut mener aucune tangente à G qui soit parallèle à l'axe de D; une hyperbole si l'on peut lui en mener deux (par exemple, si G est une ellipse); une parabole si l'on n'en peut mener qu'une (A = o).

La discussion géométrique n'offre aucune difficulté,

428. Cas où la conique directrice est un cercle D. — Dans ce cas, l'angle de deux droites est égal à l'angle des rayons du cercle D qui passent par les pôles de ces droites. Voici une application de cette remarque. Transformons

COURBES POLAIRES RÉCIPROQUES

ce théorème : les bissectrices d'un triangle se coupent en un même point; deux bissectrices extérieures et une bissectrice intérieure sont également concourantes. Prenant pour conique directrice D un cercle, on obtient ce théorème : Joignons un point O aux sommets a, b, c d'un triangle et traçons les bissectrices des angles ainsi formés. Trois de ces bissectrices, convenablement choisies, rencontrent les côtés qui leur correspondent en trois points situés en ligne droite.

La polaire réciproque d'un cercle G par rapport à un cercle D est une conique ayant un foyer au centre O du cercle D, la directrice correspondante étant la polaire Q.' du centre w de G par rapport à D. En effet, soit M une tangente au cercle G et soit m' le pôle de M; si l'on nomme p et 0 les distances de m' au centre 0 et à la droite Q', on a, en vertu du théorème de

Salmon, d désignant la distance des centres de G et D,

, ce qui prouve

que le rapport i^ est constant; le lieu de m' est donc une conique ayant

un foyer en O et pour excentricité - ; ce sera une ellipse, une hyperbole ou

une parabole, suivant que le centre O de D sera intérieur, extérieur au cercle G ou sur es cercle.

Réciproquement, la polaire d'une conique par rapport à un cercle ayant son centre en un foyer de la conique est un cercle dont le centre est le pôle de la directrice. La démonstration se fait comme celle de la proposition directe.

âSâ. Gonsidérons une courbe quelconque G et la tangente M en un de ses points m {fig. iio). Soit jo le pied de la perpendiculaire abaissée sur M, du centre O d'un cercle D de rayon R; le pôle rt^ de M est situé sur 0/> et défini parla condition O ni' .Op = R^. Il en résulte que la polaire réciproque de G par rapport à D est Vinverse de la podaire de G, le cercle d'inversion étant le cercle D lui-même. La tangente en m' à la polaire réciproque G' est la droite M', menée par m' et perpendiculaire à Om. On sait que les tangentes en p et m' aux deux courbes inverses décrites par ces points forment un triangle isoscèle/j^rm' ayant pour base jom'. Il en résulte que la tangente en /> à la podaire de G est

la tangente au cercle circonscrit au triangle 0 mp, car les angles Opq et O mp sont égaux. On retrouve ainsi la construction de la tangente à une podaire.

398 CHAPITRE XVJI.

EXERCICES

1. Transformer par polaires réciproques les théorèmes suivants :

La polaire d'an point par rapport à un angle est une droite passant parlj sommet.

Les hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Le lieu des sommets d'un angle droit circonscrit à une conique à centre est un cercle. En prenant pour conique directrice un cercle concentrique, on retrouve cette propriété : la somme des inverses des carrés de deux diamètres rectangulaires est constante.

Le théorème de Desargues [triangles homologiques (i55)].

Les trois côtés d'un triangle tournent autour de trois points fixes et deux des sommets glissent sur deux droites fixes; le troisième sommet décrit une conique.

Si la polaire de a par rapport à une conique passe par a' , a et a' sont conjugués par rapport à cette conique.

Les axes radicaux de deux cercles pris deux à deux se coupent en un même point.

Quand deux sommets d'un triangle circonscrit à une conique glissent sur deux droites fixes, le troisième sommet décrit une conique ayant un double contact avec la conique donnée.

Dans une conique, le produit des segments qu'une tangente quelconque détermine sur deux tangentes fixes et parallèles est constant. — On prendra pour conique directrice une parabole.

2. Trouver un cercle par rapport auquel la cissoïde de Dioclès

x{x--+-y-) — ■ ay"^ = o se transforme en elle-même, par polaires réciproques. (G. Fouret.)

3. Etant donnés deux triangles de référence et en désignant par a?, jr, -s; a, p, Y respectivement les coordonnées de deux points variables rapportées à ces triangles, à une droite D ayant pour équations ux -\- vy -i- wz ^^ o^ on

peut faire correspondre le point <5?'(a. S, v), tel que - = - = — • Si un

point {x' , y' , z') décrit la droite D, la droite ax' -{- pj^'-HY^'— ^ passe par

le point d' . Ghasles nomme ce point d' le pôle de la droite D. Montrer que,

si ce point décrit une courbe d'ordre m. la droite D enveloppe une courbe de

classe m.

COUKBKS POLAIRES RÉCIPROQUES. .{99

i. Transformer par polaires réciproques les théorèmes suivants, en prenant pour conique directrice D, un cercle :

Les diamètres d'un cercle sont vus sous un angle droit d'un point a de ce cercle; on placera le centre de D au point a.

La tangente à un cercle est perpendiculaire à l'exlrrniilt' du r.iyon qui passe par le point de contact.

La droite qui joint le pùlc d'une droite par rapport à un cercle, au centre de ce cercle, est perpendiculaire à cette droite.

Le diamètre qui passe par le point de concours de deux tangentes à un cercle est la bissectrice de l'un des angles formés par ces tangentes.

Le lieu des points dont les polaires par rapport à trois cercles sont concourantes est le cercle orthotomique.

Le lieu des sommets des angles droits concourants à une conique est le cercle de Monge.

La somme des distances d'un point donné aux côtés d'un polygone régulier reste la même si le polygone tourne autour de son centre; on place le centre de D au point donné.

L'enveloppe d'une corde d'un cercle de longueur constante est un cercle concentrique au premier.

Le lieu du pôle d'une corde d'un cercle ayant une longueur constante est un cercle concentrique au premier.

o. Transformer deux cercles de manière que les coniques obtenues aient leurs foyers communs.