Transformer l'exercice 10 du Chapitre précédent
Équations tangentielles relatives aux coniques.
•430. 11 y a une relation simple entre les courbes C, G' définies respectivement par les équations /{x,y,z) = o etf{u, ç, w) = o, c'est-à-dire par une même équation homogène dont les variables désignent des coordonnées ponctuelles (courbe C) ou des coordonnées tangentielles (courbe G'). Prenons pour conique directrice la conique imaginaire D ayant pour équation
On voit (427) que la polaire réciproque de G' par rapport à D a pour équation /{x, y,z) = o et par conséquent les courbes G et G' sont polaires réciproques par rapport à D.
On peut encore obtenir un résultat simple avec une conique réelle Dj ayant pour équation x^-hy^ — ^2 = 0. Dans ce cas, la polaire réciproque de G' a
pour équation y( 37, y, — z) = o et, par suite, si les coordonnées ponctuelles sont des coordonnées cartésiennes, C est symétrique, par rapport au centre de Di, de la polaire réciproque de G'. Ces remarques permettent d'interpréter immédiatement toute relation entre des coordonnées tangentielles.
431. Toute équation du premier degré de la forme au -h b{' ^ cw = o représente un point. On le voit en appliquant la remarque précédente; mais on voit directement que cette équation exprime que la droite ayant pour équation ponctuelle ux -+■ vy -+- wz = o passe par le point {a, b, c). On voit aussi que toute équation du premier degré représente un point en coordonnées tangentielles. En particulier, l'équation de l'origine des coordonnées ou du point (x = o, y — o) est w = o.
■432. Si (u', v', w') et (u", p", w") sont les coordonnées tangentielles de deux droites A', A", toute droite A passant par le point commun à ces deux droites a pour coordonnées u'-+-\u", p'+Xp", w'-\-1w" et réciproquement. Les coordonnées ponctuelles du point de concours des droites A', A" sont : v'w" — w'v", w' II" — u'w", u'v" — v'u".
Si l'on suppose w'=w"=ï, ces expressions deviennent v' — v", u" — m', u'v" — v'u". On peut donc dire que les coordonnées homogènes du point de concours des droites {u, v') et {u", v") sont proportionnelles aux nombres
^v' ,Ap'
Au Au
Il en résulte que le point de contact de la tangente {u', v') à la courbe
définie par l'équation tangentielley"(a, ç, i) = o, a pour coordonnées
/U"'> v' i), fl{"-\ v', 0> — [«7,V(«'> ^\ 0 -t- v'f^.{u\ v\ I )],
ou
/;.(«', P',w'), fl.{u',v',w'), /[^•{u',v',w').
Ce résultat nous a déjà été fourni par la théorie des enveloppes.
433. Trouver l'équation tangentielle des points d'intersection d'une droite Do(moî ^'o; v^o) avec la conique ayant pour équation tangentielle
Une droite quelconque D ayant pour coordonnées u,v,w, les coordonnées d'une droite D' passant par le point de concours de Dq et D' seront Uo-\-\u, vq-\- Xc, (fo-+- Xw et, par suite, D' sera tangente à la conique donnée si X est racine de l'équation F(Mo-t-XM, Vo-h\v, WQ-k-\w) = o. Pour que le point commun aux droites D et Dq soit syr cette conique, il faut et il suffit que les racines de cette équation soient égales, ce qui donne l'équation cherchée
^¥ {u, V, w ) .¥ {uo, Vo, wo) — {uq¥[^-^ Vo¥'^-\- WQV'^y = o.
On vérifie aisément le résultat que nous venons d'obtenir en remarquant que, si les coordonnées ponctuelles d'un point/» sont «o» ^o» ^oj l'équation
Fi£
COURBES POLAIRES RÉCIPROQUES. 4^1
précédente définit, en coordonnées ponctuelles, le faisceau des tangentes issues de p, à la conique ayant pour équation ponctuelle Y{u,v,w) = o. Or, si l'on transforme par polaires réciproques la figure formée par les tangentes A, B à la conique C, issues du point p, leurs points de contact étant a, b et la polaire de p la droite P, on obtient une figure de même nature. Les lettres placées sur la Jig. ni expliquent suffisamment la correspondance établie entre les éléments transformés.
434. Trouver le centre, les axes, les asymptotes d'une conique définie par son équation tangentielle F(<<, t', iv) = o; trouver la polaire d'un point {a, b, c). — Supposons que l'équation d'une droite étant
UX -^ VJ' -(- (V5 = o, X Y
les coordonnées cartésiennes soient - ? — ; en d'autres termes, supposons que
la droite de l'infini ait pour équation z = o. Le centre d'une conique est un point tel que le pôle de toute droite qui y passe est à l'infini; il en résulte que Véquation du centre est F',^,= o, c'est-à-dire
b' u ^ bv -<!- a" (V = o.
Donc, les coordonnées ponctuelles du centre sont b', b, a" ; résultat connu. On arrive encore à ce résultat en cherchant le pôle de la droite de l'infini qui a pour coordonnées 0,0, i. Rappelons que a"= o exprime que la conique est une parabole, pourvu toutefois que le discriminant de ¥{u,v,w) soit différent de zéro.
Plus généralement, si la droite de l'infini a pour équation roL -i- r'^ -i- /-"y = o et que l'équation d'une droite quelconque soit wx-ir v^ -\- w^^ — o, l'équation du centre est /-F'^-f- r'F^-i- /•'F'w= o.
Pour déterminer les axes, nous remarquerons qu'un axe est un diamètre perpendiculaire à la direction dans laquelle son pôle est à l'infini. Soient m, V, w les cordonnées d'un axe. Le pôle de cette droite est à l'infini; par suite,
b' u -^ bv -\- a" w =z o.
Les coordonnées ponctuelles du pôle sont F'„, F[,, o; donc, si 6 désigne l'angle des axes de coordonnées cartésiennes, *
F'„ -I- F' cos 8 F; -H F' cos 0
Les équations (i) et (2) définissent les axes.
Les asymptotes sont les tangentes issues du centre; elles sont donc définies NiEWENGLOWSKi. — G. an., I. 26
par le système
au^-\- a'p2-}- a" w'^-T- ibvw -{- ih' wu -\- ib" iiv = o. b' ii-h bi> -h- a" w = o.
Les directions des asymptotes sont donc foui'nies par l'équation obtenue en éliminant w,
(3) (aa' — b'^)u--T- i{a!' b" — bb')uv -f- (a' a" — b''')v''- ~ o ;
elles sont réelles et distinctes quand on suppose
( a" h" —bb'Y—i eut!' — b'^-){a' a" — b''-)':> o.
Cette inégalité ne diffère pas de celle-ci, déjà connue : 8 > o.
Quand les axes de coordonnées sont rectangulaires, l'équation F(a, c, w) = o représente un cercle si les asymptotes sont isotropes, c'est-à-dire si l'équation (3) est vérifiée quand on suppose u-=i, p = I et M = — t, p = i,cequi donne les conditions d' b" — bb'^=:o, aa" — b'- = a'a" — b^\ c'est-à-dire B"=o, A = A'.
Le pôle de la droite {u, c, w) a pour coordonnées F'„, ¥'^,^ ^'w'i il en résulte que l'on déterminera les coordonnées u, v, w de la polaire du point (a, b, c)
au moyen des équations ~" — ~r" = —~') e" particulier, la polaire du point
(o, o, i) est déterminée par les équations F'„= o, F'^= o.
EXERCICES
J. Le premier membre de l'équation tangentielle d'une conique eft un invariant. Il en résulte que, si l'on forme l'équation tangentielle d'une conique ayant pour équation ponctuelle f{x, y) -\- \g{x, y) = o, le coefficient de X sera un invariant simultané. Montrer qu'en égalant cet invariant à zéro, on obtient la condition nécessaire et suffisante pour que la droite ux -hvy-+- wz = o coupe la conique / et la conique g en quatre points conjugués. En déduire que l'enveloppe d'une pareille droite est une conique dont on connaît huit tangentes.
2. Transformer la proposition précédente par polaires réciproques.
3. Au lieu de représenter une droite par l'équation ux -\- vy — i = o, on
peut la représenter par - -\- — — i = o. Une équation de la îorm&f{p, q ) = o
détermine une courbe. Former l'équation relative à une conique. Cas où la conique est tangente aux axes.
4. On peut déterminer une droite en donnant les distances p, q k deux points fixes o, o', pris sur deux droites A, A' concourantes ou non, des traces
COL'RBES POLAIRES RÉCIPROQUES. 4o3
de cette droite sur les droites A, A' respectivement. Interpréter une équation algébrique /(/), ^) = o,
;i. Discuter l'équation générale tangenticlle du second ordre par la résolulion de l'équation par rapport à l'une des variables ou par la décomposition en carrés.
6. Déterminer les longueurs des axes d'une conique à centre définie par son équation tangenticlle.
