Même question pour le paramètre d'une parabole

8. Résoudre le problème du n° 366 au moyen de l'équation tangenticlle de la conique donnée.

9. Déterminer la distance de deux points représentés par une équation du second degré /(m, v, w) = o.

10. Former l'équation du cercle admettant pour diamètre la droite joignant les deux points représentés par l'équation /( m, v, w) = o.

11. Discuter la nature des coniques représentées par l'équation

11"^-+- -ic- — {"k- — i)w'2 — Q.Xvw ■+ 1UW — "iXuv = o quand le paramètre X varie.

12. Deux triangles polaires réciproques par rapport à une conique sont homologiques et réciproquement.

13. Trouver l'équation tangenticlle des coniques ayant pour centre le point Xq, yo et pour diamètres conjugués deux droites de coefficients angulaires m, m'.

iÂ. Étant donnés deux triangles ABC, AiBiGj; par les points A, B, G on mène les droites respectivement conjuguées de BjCj, Ci A,, AjBj par rapport à une conique. Si ces droites passent par un même point, les droites passant par Aj, Bi, Gj et respectivement conjuguées de BC, GA, AB se coupent aussi au même point. Gas où la conique se réduit aux deux points cycliques.

lo. Equation tangenticlle générale des coniques ayant pour centre le point xo, yo-

16. Étant donnée l'équation tangentielle d'une ellipse, trouver l'équation de l'ensemble des deux diamètres conjugués égaux.

Les exercices de 9 à 16 sont empruntés aux Leçons sur les coordonnées tangentielles de M. G. Papelier.

CONIQUES PASSANT PAR DES POINTS DONNÉS OU TANGENTES A DES DROITES DONNÉES.

4-35. Equation générale des coniques circonscrites à un triangle donné. — Soient

ax -{- by + cz — o, a' x -\- b'y -H c' z = o, a"x + b"y -\- c" z = o

les équations des trois côtés d'un triangle, x^^y, z désignant des coordonnées homogènes; si l'on pose

ax -\- by -\- cz — a, a x -4- b'y -\- c' z = p, a" x -+- b'y -+- c" z = y,

on peut exprimer x^^y, z en fonction linéaire et homogène de a, |i, y et, par suite, l'équation d'une conique quelconque pourra se mettre sous la forme

(i) Aa2+A'p2+A"Y2-t-2B;ÎY + '-^ï^'T^-+-^'B"ari = o,

et, réciproquement, une équation de cette forme représente une courbe du second degré.

Pour que l'équation (i) représente une courbe passant par A, il faut et il suffit qu'elle soit vérifiée quand on pose ^ = o, y = o, a^o; ce qui donne la condition A = o. Pareillement, A'^= o exprime que la conique passe par le sommet B, et A"=:o qu'elle passe par le sommet G. L'équation d'une conique circonscrite au triangle ABC est donc de la forme

Réciproquement, toute équation de cette forme représente une courbe du second degré passant par les sommets du triangle donné. On voit, en outre, que cette équation ne se décompose en deux

COMQURS PASSANT PAR DES POINTS DONNÉS. 4o5

équations du premier degré que si l'un des coefficients B, B' ou B" est nul.

L'équation tangentielle, c'est-à-dire la condition pour que l'équation

représente une tangente à celte conique est

(3) B2«2-^ B'2v>2+ B"2h'2— 2B'B"t>a' — ^^"Bwu—iBB'uv = o.

436. C'est d'ailleurs ce que l'on peut établir par une autre méthode qu'il est bon de connaître. En effet, cherchons d'abord l'équation de la droite passant par deux points (a', P', y'), (a*, P", y*) appartenant à la conique. Cette équation est

Mais, par hypothèse,

Bp'Y'-f-B'Y'a'-i-B'a'^'=o, B^'y^^ B'Y'a''^ B"a"^''=: o;

donc

^^^^-CTYf) - ^'^"(Y'a-a'Y") ~ y'ï"(«'?"- ?'«")'

d'où il résulte que l'équation de la corde considérée est

—- JLP ËJf

et, par conséquent, la tangente au point (a', 3', y) a pour équation

Ba B'8 B'y

Cela posé, si l'on identifie cette équation avec celle-ci :

«a H- t-p -H M'Y "= ^' on obtient

wx- v^'^ «'y'^

Les coordonnées du point de contact sont donc proportionnelles à

, /B /B' /Ir . „,

4 / - > {/ ~f {/ — et, par suite, 1 équation tangentielle est v/bH ■+- s/BV -h \/W^' = o.

En rendant cette équation rationnelle, on retrouve l'équation (3).

4o6 CHAPITRE XVlir.

437. Equation générale des coniques inscrites à un triangle donné. — Le triangle donné étant pris pour triangle de référence, l'équation tangentielle d'une conique quelconque est de la forme

a u'^-T- a' v--\- a" w^-^ i b v (v -h 9. 0' w u -h ih" uv =■ o.

Pour que le côté a ^ o soit tangent à la conique, il faut et il suffit que l'équation précédente soit vérifiée quand ç' = o, <v = o, « ^ o ; donc a = o exprime la condition pour que la conique soit tangente au côté BC et de même pour les autres côtés ; il en résulte que l'équation d'une conique inscrite au triangle donné est de la forme

(4) hvw-^h'wu^h"uv-=o^

et réciproquement.

L'équation tangentielle étant connue, on en déduit l'équation ponctuelle

(5) è2a2-^^»'2p+^,"2Y2 — 266'ap — 26'6"Py — 26"6Ya = o.

438. On peut arriver directement à cette équation. En posant a = o, l'équation (i) donne

A'p24-A"Y2+.aBpY = o:

c'est l'équation du faisceau des droites joignant le sommet A aux points d'intersection du côté BC et de la conique représentée par l'équation (i). Pour que la conique soit tangente au côté BC, il faut que ce faisceau soit composé de deux droites confondues en une seule, ce qui donne la condition

De même, on doit avoir

A"A=B'2, AÂ'=B"2.

On ne peut supposer B =: o, car on en déduirait A'A"= o ; soit, par exemple, A"= o; cette équation entraîne B'=i: o; l'équation (i) se réduit, dans ce cas, à la suivante :

Aa2-{- A'p2+2B"a[i = o.

Ecartant cette hypothèse, on déduit des équations précédentes

A^A'2A"2= B2B'2B"2 5 donc, AA'A"= eBB'B" et, par suite, . B'B' ., BB .„ BB'

de sorte que l'équalioa de la conique est de la forme

B"2 "^ B^ "^ B^V "^ ^ BI? '^ ^ B'TJ "^ ^ BB' ~ °'

En rejetant l'hypothèse s = + i qui correspond à un carré parfait et en posant ^=bj ^r-, = 6', —, = b", on retrouve l'équation déjà obtenue.

439. Remarque. — L'équation (5) peut prendre une forme remarquable. En effet, on peut d'abord l'écrire ainsi :

(6) (b'x — b'^ — b"yy-—4b'b''^^( = o,

d'où

ba = 6' p -+- 6" Y -t- 2 v/^' ^" PT ;

ou encore ou enfin

les radicaux, étant pris d'ailleurs avec des signes quelconques.

Les coefficients b, b' , b' étant supposés réels, l'équation (6) montre que, pour tout point réel de la conique représentée par l'équation (5), on a 6'p.6"Y > o. On trouverait de même boc.b'^ > o; donc 6a, b'^, 6"y sont de même signe.

Gela étant, l'équation (7) équivaut à quatre équations :

-f- \fbÔL -+- \/b' p -H /^'y = o,

+ ^ba -h \/W^ — /^'y = ^•

Il est évident que la première équation ne peut convenir à aucun point réel de la conique. Chacune des trois autres ne convient qu'à une portion déterminée de cette conique. Supposons, pour simplifier, que a, p, y représentent des coordonnées normales. On peut toujours supposer chacune des quantités ba, b'^, 6*y positive. La seconde équation, par exemple, ne conviendra qu'aux points pour lesquels on a

/ZTâ — /ô^ > o et \/bâ — \/V^ > o,

4o8 c'est-à-dire

et

Or, si la conique touche les côtés du triangle de référence aux points A', B', G' respectivement, ces deux équations sont celles des droites GC et BB'; on pourra donc déterminer dans quelles régions se trouve l'arc représenté par l'équation considérée.

On peut d'ailleurs raisonner de la manière suivante. Supposons que la conique soit une ellipse, et supposons l'origine des coordonnées cartésiennes à l'intérieur du triangle A'B'G' {fig- 112).

Appelons a', P', y' les distances d'un point aux côtés du triangle A'B'G'. La conique étant circonscrite au triangle A'B'G', rig. 112. gQjj équation est de la forme

mais elle est tangente en B' et G' aux côtés AG et AB; donc son équation est de la forme

h étant une constante (392) et, comme à l'intérieur du triangle ABG, a, p, y ont le même signe, on doit supposer A > o; nous écrirons donc

De même, on a

a'2= A-a^Y- P'2 = V'-^^'x et Y'

Supposons qu'il s'agisse d'un point appartenant à l'arc G'MB'; pour ce point, il faudra supposer, par exemple, a'< o et P'> o, y>- o et) P^n" suite,

on devra poser a' = — >^"/i^Y, P' = -t-^/PY' Y— "^^/y^' ''"' ^' "^ étant des nombres positifs; donc, en supposant les constantes B, B', B" déterminées, l'équation de l'arc B'MG' sera

^V?Y Vy^ "V*?

By/g

bV^ ^b-Zy

440. Equation de la droite passant par deux points (a', p', y'), (si", P'jY") de la conique représentée par l'équation (7). — La droite considérée a pour équation

Mais on suppose

donc

s/b sfb' s/jl .

l'équation de la corde demandée est, par suite,

Il en résulte que la tangente au point (a', p', y') a pour équation

■i/I-Vf-V7=-

Théorème fondamental.

4-41. Théorème. — Par cinq points, on peut faire passer une conique et une seule, pourvu que trois au plus de ces points soient en ligne droite.

Remarquons tout d'abord que si les cinq points sont sur une njênie droite A, tout système de deux droites dont l'une est la droite A constitue une conique passant par les cinq points donnés. En second lieu, si quatre seulement des points sont sur une ligne droite A ne passant pas par le cinquième point E, la droite A et une droite A', assujettie à passer par E, mais ayant une direction arbitraire, forment une conique passant par les cinq points donnés. Dans le premier cas, l'équation des coniques satisfaisant à la question sera de la

forme

F{ax -r- by -^ cz) = o,

P r= o étant l'équation de A et a, b, c trois coefficients arbitraires, de sorte que l'équation renfermera deux paramètres arbitraires; dans le second cas, l'équation sera de la forme

P[7— Jo— /n(x~To)] = o

et ne renfermera plus qu'un seul paramètre.

Enfin, si trois points seulement A, B, C sont sur A, la conique cherchée est évidemment déterminée et se compose de la droite A el de la droite A' qui passe par les deux autres points D, E.

En laissant de côté le premier cas, dans lequel les cinq points

4lO CHAPITRE XVIII.

donnés sont en ligne droite, nous pouvons toujours choisir trois des points donnés formant un triangle ajant ces points pour sommets. Supposons que les points A, B, C satisfassent à cette condition et prenons le triangle ABC pour triangle de référence. En désignant par a = o, [^ =i o, y = o les équations des trois côtés de ce triangle, l'équation générale des coniques circonscrites au triangle ABC est

AjBv-H BYa-4- Cap = o.

Exprimons maintenant que la courbe représentée par cette équation passe par le point D (a', p', y') et par le point E(a", [B",y"); nous aurons, pour déterminer A, B, C, les deux équations homogènes

Ap'Y'+ By'a'-H Ga'P'= o, A.^"f-^Bf7."-^ Ga"p"=: o.

Si le point D est sur l'un des côtés, par exemple sur BC, on a 7/^0; la première équation se réduit à A =0 et, par suite, la conique demandée se compose de deux droites.

Supposons les six coordonnées des points D, E différentes de zéro ; alors les équations précédentes détermineront les rapports de A, B, C et si aucun des déterminants ^'y" — y' ,3", y' a" — a'y", oi"^" — |j'a" n'est égal à zéro, aucun de ces coefficients ne sera nul : on obtiendi^a une conique proprement dite passant par les cinq points donnés, et l'on n'en obtiendra qu'une seule. Si l'on observe que la condition [i'y" — y'|i"=o, par exemple, exprime que les points A, D, E sont en ligne droite, on voit que la proposition est entièrement démontrée.

442. Autre méthode. — Soient [xh-, yh, Zh) les coordonnées des cinq points donnés, l'indice h variant de i à 5. Il s'agit de déterminer les coefficients A, B, G, D, E, F de sorte que les cinq équations homogènes à six inconnues

ï h.x]+ Bxiyx-\- G xf-t- D 37,^1+ Ey^z^ -^ Fsf = o,

soient vérifiées. Or, on sait qu'un pareil système d'équations admet toujours des solutions non toutes nulles. 11 s'agit de discuter ces solutions.

1° Il peul arriver qu'une solution soit de la forme A = o, B := o, G = o, les autres inconnues D, E, F n'étant pas nulles toutes les trois. Alors une solution du problème serait représentée par l'équation

;{Ba;-hEy-hFz) = o.

Si les cinq points donnés sont à distance finie, ils seraient tous les cinq sur la droite ayant pour équation

Da^ + E/ -I- F = o.

Dans ce cas, il j aurait une infinité de coniques répondant à la question : ces coniques seraient composées de deux droites et représentées par une équation de la forme

(Da; -4- Ey ■+- Fz) (Ix -h [xy -t- vs) = o,

)., !JL, V étant arbitraires.

11 peut arriver que l'équation (2) représente la solution générale; c'est ce qui a lieu si trois des points donnés sont à l'infini, ou si, deux seulement étant à l'infini, les trois autres sont sur une droite déterminée.

Si quatre des points étaient à l'infini, le cinquième ayant pour coordonnées (:z"o? J^o)? la solution la plus générale serait de la forme

-[^^(r — Jos)^ lJ.(x — Xoz)] = o.

Enfin, si tous les points étaient à l'infini, il n'y aurait d'autre solution que ;;-= o.

Tous ces cas particuliers étant écartés, supposons d'abord que le déterminant principal du système (i) soit du cinquième degré. Dans ce cas, les rapports mutuels des inconnues A, B, . . . , F sont déterminés et il y a une seule conique répondant à la question. On peul, d'ailleurs, former son équation qui est évidemment

x\ x^y^ y\ ar,3, y^z^ z\

x\ x-iys yl X'^Zi y-^z^ zl Il convient de remarquer que, dans ce cas, trois des points donnés

4l2 CHAPITRE XVIII.

peuvent être en ligne droite, mais pas davantage, sans quoi le problème aurait une infinité de solutions.

Supposons, en second lieu, que le déterminant principal soit du quatrième degré. Dans ce cas, deux des inconnues sont arbitraires et les autres sont des fonctions déterminées, linéaires et homogènes de ces deux inconnues, ce qui revient à dire que la solution la plus générale est de la forme

A = la -h Va', B='kb-hl'b', ..,, F = X/+)//',

<7, a', ...,/,/' étant des nombres déterminés et )>, )/ deux arbitraires. L'équation demandée est donc de la forme

y et y, étant deux polynômes déterminés. 11 y a, dans ce cas, une infinité de coniques passant par les cinq points, chacun de ces cinq points appartenant aux deux coniques particulières/, y, ; donc, ces coniques se décomposent en droites, une droite leur étant commune. Quatre des cinq points sont sur la droite commune et le cinquième est l'intersection des droites non communes.

Enfin, il peut arriver que le déterminant principal soit du troisième degré. Dans ce cas, les inconnues sont des fonctions linéaires et homogènes de trois arbitraires \, )/, à"; il y a une infinité de coniques passant par les cinq points donnés et représentées par une équation de la forme

Les cinq points donnés appartiennent alors à chacune des coniques y, y, Jo- 11 en résulte nécessairement que ces coniques sont formées de couples de droites ayant une droite commune sur laquelle se trouvent les cinq points donnés; en effet, les cinq points appartenant à y et y, quatre d'entre eux sont sur une droite qui appartient aussi à fo. Si le cinquième point n'était pas sur cette droite, l'équalion ne contiendrait qu'un seul paramètre arbitraire.

Il reste à prouver que le déterminant principal est au moins du troisième degré. Or, en supposant les cinq points donnés distincts et à distance finie, il y en a au moins trois qui ont des abscisses ou des ordonnées distinctes, car si l'on suppose, par exemple, ;r, = ^o = ^s,

CONIQUES PASSANT PAR DES POINTS DONNÉS. f^l'i

on aura^, ^^apîéya. Supposons donc, par exemple, celte dernière condition remplie; dans ce cas, le déterminant

ri y-i y'i ja

est différent de zéro. Or, c'est un déterminant formé avec les éléments du Tableau des coefficients des inconnues A, ...,F. La proposition est donc démontrée.

443. Théorème corrélatif. — En transformant le théorème précédent par polaires réciproques, on voit que cinq tangentes déterminent une conique et une seule, pourvu qiCon ne puisse trouver trois de ces droites passant par un même point.

En effet, soient A, B, C, D, E les cinq droites données ; leurs pôles étant «', b', c' , d", e', on suppose que trois quelconques de ces cinq points ne sont pas en ligne droite. On peut donc faire passer une conique et une seule par les cinq points; la polaire réciproque de celte conique est tangente aux cinq droites données; réciproquement, à toute conique tangente à ces cinq droites correspond une conique passant par leurs pôles. Il y a donc une solution et une seule. Si deux des droites passaient par un point m et les trois autres par un point p, les pôles des cinq droites seraient placés : deux sur la polaire M' de m et les trois autres sur la polaire P' de/?; la conique passant par les pôles des cinq droites serait composée des deux droites M' et P' et, par suite, la polaire réciproque du couple de ces deux droites serait le système des deux points m, p. Il n'y aurait donc pas de conique véritable tangente aux cinq droites données, ce qui est évident a priori.

4ii. On peut traiter la question directement. En prenant pour triangle de référence le triangle formé par trois des tangentes, l'équation tangentielle de la conique serait de la forme

a vw -H b.wu -\- CUV = o.

Soient {u, v', w') et (u", v", w") les coordonnées des deux autres tangentes, on doit résoudre le système

a .v' w' -i- ô . iv' u' -h c . u v' = o, a . p" w" -t- 6 . iv" a" H- c . a V = o.

4l4 CHAPITRE XVIII.

En supposant m', v', w', u", v", w" différents de zéro, c'est-à-dire en supposant qu'aucune des deux dernières tangentes ne passe par le point commun à deux des trois premières, les rapports de a, 6, c seront déterminés et aucun de ces cdefficients ne sera nul si aucun des déterminants

v' w" — w' a" , w' II" — II' w" , u' v" — v' II"

n'est égal à zéro, c'est-à-dire si le point de concours des deux dernières tangentes ne se trouve sur aucune des trois premières. Le théorème est donc démontré.

Faisceau ponctuel de coniques.

4io. Equation générale des coniques passant par tes points communs à deux coniques. — Soient f(^x, y) = o, g(x, y) =: o les équations de deux coniques G, G' se coupant en quatre points distincts A, B, G, D. L'équation

(i) a/(r,jK)+P^(ar,/)= o

représente, pour un système de valeurs données a et p, une conique passant par les points communs aux deux premières.

Je dis que l'on peut déterminer a et [S de manière que cette équation représente une conique déterminée G) choisie parmi toutes les coniques passant parles points communs à G et G'. En effet, prenons sur d un point E, distinct des points A, B, G, D. La conique représentée par l'équation (i) passera par E si l'on suppose

(2) ■ af{xi,yi)-^^g{xi,yi) = o,

X|, yt étant les coordonnées du point E. On vérifie l'équation (2) en posant a = g^Xi^y^), ^ ^^ — /(x,,jKi) etj en remplaçant dans (i) a et ^ par ces valeurs, on obtient l'équation

(3) /(^,7) ^(^i.jKi) — gi^,r)/(^iryi) = o

qui représente une conique ayant avec G) cinq points communs; et, par suite, cette équation est celle de la conique G( elle-même. L'équation (i) est donc l'équation générale des coniques passant par les points communs à G et G'.

. D'une manière générale, quels que soient les points com-

CONIQUES PASSANT PAR DES POINTS DONNÉS. ^lù

inuns à deux coniques C, C, l'équation

dans laquelle \ est un paramètre arbitraire, représente une infinité de coniques passant par les points communs à ces deux coniques; elle défmit un faisceau ponctuel de coniques^ dont C et C sont les bases. Il résulte immédiatement de la forme de cette équation qu'il passe par chaque point du plan une conique, et une seule appartenant au faisceau qu'elle définit.

Deux coniques quelconques du faisceau (C, C) peuvent être choisies pour bases. En effet, si l'on pose

on en tire, en supposant A'^ V,

X'V-XUJ . . u-v

et, par suite,

u . X'— X ^ , X'-X X-X" X'— x* bjTi posant iK = s— 7p ' et, par conséquent, = = ,

on a identiquement