V-^-n\^{i + lx)[f(x,y) + lffix,y
L'équation du faisceau est donc aussi U + [xV = o.
447. Cela posé, je dis que, si deux coniques f, g se touchent en un point M, toutes les coniques de ce faisceau seront tangentes en M. En effet, soient x, y, z les coordonnées de M; par hypothèse, A' désignant une constante, on a
dx dx dy dy Oz Oz
et, par suite, la tangente en M à la conique /+ \g a pour équation X, Y, Z étant les coordonnées courantes. Cette équation disparaît
4l6 CHAPITRE XVIll.
si k = — k; mais l'équation f — kg^o représente deux droites passant par M. •
448. Il est utile d'approfondir davantage le cas que nous venons d'examiner. Pour cela, prenons pour côtés du triangle de référence la tangente en M : (a = o), une droite passant par M : (^ = o) et, pour troisième côté (y = o), une droite quelconque. Les équations des deux coniques prennent la forme
F = a a^ + a' p2 ^ è"a^ ^ ^>'aY = o, G = « i a^ + a\ ^2 + b'[ a,3 + b\ ay = o.
Les points communs à ces coniques sont sur la conique représentée par l'équation a', F — a'G = o qui se décompose en a = o, représentant la tangente en M et
{aa\ — a\ a')oc -+- (b"a\ — èj a') ^ -t- (b'a\ — b\ a')'( = o.
Cette équation représente une droite D sur laquelle se trouvent les points communs P, Q autres que le point de contact M. On voit ainsi que deux coniques tangentes en un point ont, en général, deux points communs autres que le point de contact (qu'il faut compter pour deux).
Mais il peut arriver que la droite D passe par le point de contact M, ce qui exige que b' a\ — 6ja'= o. Si cette condition est remplie, on a identiquement
«'i F — a'G ES a( Aa -1- A'P),
h et h' étant deux constantes. Si, en outre, on suppose b" a\ — b'[ a' = o, alors
a'[ F — a'G Bs Aa^.
Dans le premier cas, l'un des points P ou Q est venu se confondre avec INl et les deux coniques n'ont plus qu'un point commun autre que M, que l'on peut considérer comme la réunion de trois points. On dit alors que les coniques ont en M un contact du second ordre. Dans le second cas, les coniques n'ont qu'un seul point commun M, qu'on peut regarder comme étant la réunion de quatre points. On dit alors que les coniques ont un contact du troisième ordre ou qu'elles sont osculatrices.
En revenant aux coordonnées primitives, on voit qu'il y a une valeur de X telle que
P = O représentant la tangente commune et Q = o une droite passant par les autres points communs. Si Q = o représente une droite passant par le point de contact, les deux coniques ont un contact du second ordre; et, dans le cas du contact de troisième ordre, il y a une valeur de X telle que
p = o représentant la tangente commune.
On aura, dans chacun de ces cas, en conservant les notations déjà employées,
U-f-{JLV = (n-[x)PQ
OU
U-t-|JLV = (i + îJi)P2;
ce qui prouve que si deux coniques particulières du faisceau ont un contact du premier, du second ou du troisième ordre, il en est de même de deux coniques quelconques du faisceau.
Équation générale des coniques circonscrites à un quadrilatère.
449. Soient a=:o, ^ = 0, y = o, 0 = 0 les équations des cotés AB, BC, CD, DA d'un quadrilatère. Les équations
ay = 0, ^0=0
représentent deuï coniques particulières passant par les quatre sommets. Donc
est l'équation générale des coniques circonscrites au quadrilatère donné.
Cette équation exprime que le lieu du point dont le produit des distances à deux droites est dans un rapport constant avec le produit des distances du même point à deux autres droites est une conique passant par les points oii 4es deux premières droites rencontrent les deux autres.
Ce théorème, dû à Pappus, a été généralisé. Étant données n droites a, = o, a^ = o, . . . , a,i = o et /> autres droites J3, = o, 32=0,...,^/, = o, le lieu du point tel que le rapport du produit de ses distances aux n premières droites au produit de ses distances aux p autres droites soit constant est représenté par l'équation
Dans sa Géométrie, Descartes donne le premier la solution de ce problème que les géomètres de l'antiquité n'avaient pu résoudre que dans des cas particuliers.
4o0. Equation générale des coniques circonscrites au triangle ABC et tangentes en un sommet à une droite donnée. — Prenons le triangle donné pour triangle de référence ; l'équation d'une conique
circonscrite étant
ApY-^BYa + Ca^ = o,
la tangente en A a pour équation By H- C ^ ^ o.
NiEWENGLOWSKi. — G. an., I. a-
4l8 CHAPITRE XVIII.
Si 0 = o représente une droite donnée passant par A, la tangente en A sera confondue avec cette droite si l'on détermine B et C de façon que BY + C|3^/i.o, h étant une constante. L'équation demandée est donc
A Py -I- Il a.rj = o OU
Py -^- ^^^3 = o.
On obtient cette équation en considérant la figure formée par le triangle ABC et la tangente en A comme un quadrilatère dont deux sommets seraient confondus avec le point A, l'un des côtés de ce quadrilatère limite étant la tangente donnée.
431. Equation générale des coniques bitangentes à une conique donnée, la corde des contacts étant donnée. — Cherchons d'abord l'équation générale des coniques tangentes à deux droites P = o, Y = o aux points où ces droites sont coupées par la droite a = o.
Prenons pour triangle de référence le triangle formé par les trois droites données; l'équation générale des coniques passant par B et C
étant
la tangente en B a pour équation
By H- B"a = o.
Pour que cette tangente se confonde avec le côté AB, il faut poser B"= o. De la même manière, B'= o exprime que la tangente en C est la droite AC5 l'équation demandée, que nous avons obtenue déjà par une autre méthode (392), est donc
Aa2-T-aB!BY = o.
Cela posé, soient /=: o, g=^o les équations de deux coniques bitangentes en B et C; on a identiquement
/=Aa2+2B!3Y, ^E= A'a'^4-2B'PY'
d'où
B'/— B^ = (AB'— BA')a2,
ce qui prouve que l'équation g = o est de la forme
/+ Aa- = o, k étant une constante.
Réciproquement, toute équation de celte forme représente une conique bitangenle à/aux points d'intersection avec la droite a = o; la vérification est immédiate.
Il résulte de ce qui précède que deux quelconques des coniques (lu faisceau représenté par l'équation y+ A^»" = o sont bitangentes aux mêmes points que les coniques f ei g,
432. Nous pouvons reprendre maintenant d'une manière complète la question traitée au n° 445.
1° Supposons que les coniques^", g aient trois points communs A, B, G et soient tangentes en A. Nous dirons qu'une conique passe par les points communs aux deux coniques données si elle passe par les points A, B, G et est tangente en A à ces coniques. Si nous prenons le triangle ABG pour triangle de référence et si o = o est l'équation de la tangente en A, commune aux deux coniques f, g] l'équation générale des coniques passant par les points communs kf et g est
PY -+- [jiao = o.
Cette équation représente le faisceau ayant pour bases les coniques singulières Py = o, ao = o. Or
«/= ^Y ■+" l^''^^' bff = ?Y + [-«-"a^i
a, b, \x', jj." étant des constantes; les coniques /, g font donc partie de ce faisceau et, par conséquent, l'équation de ce faisceau est aussi f -{- \g = o. X étant arbitraire.
2" Si les coniques y, g sont bitangentes, la corde des contacts ayant pour équation a = o et les tangentes communes ayant pour équations p = o, y = o. on dit qu'une conique passe par les points communs a/ cl g, si elle est tangente aux mêmes droites et aux mêmes points et, par suite, a pour équation PY -+- M-a'-s= o. Or, les coniques y et g peuvent être représentées par les équations ^^( -\- [x x^ = o, ^'^ -\- [i!' t- =^ o \ elles font donc partie du faisceau dont les bases sont définies par les équations Py = o, ct^—o. Il en résulte que l'équation ^y "+" î^^" = o peut se mettre sous .la forme
f-^Kg = o.
3° Considérons enfin deux coniques /, g ayant en A un contact du second ordre. Si a = o est l'équation de la tangente en A et 3 = o, celle de la droite menée de A au point commun B difi'érent de A, on a vu qu'il existe une constante X' telle que
f^Vg^a.'^.
Si une troisième conique, U = o, a avec la première en A un contact du second ordre et passe en outre par le point B, on trouvera de même deux
420 CHAPITRE XVIU.
constantes X", // telles que
L'équation U = o peut donc se mettre sous la forme
f — /ia!3 = o ou f{\ — h) — \' hg =^ o.
On peut donc affirmer encore que l'équation générale des coniques passant par les points A, B et ayant en A un contact du second ordre avec/" et g, c'est-à-dire l'équation générale des coniques passant par les points communs à f et g est encore de la même forme f-\-\g = o. On arrive à la môme conclusion dans le cas du contact du troisième ordre.
4° Cas particulier. — Lorsque les coniques f el g ont un point double commun M, c'est-à-dire quand ces coniques sont dégénérées en couples de droites se coupant au même point, l'équation /-+- \g = o n'est pas l'équation générale des coniques ayant un point double en M ; en effet, cette équation représente alors évidemment un faisceau involutif, comme on s'en assure en plaçant l'origine des coordonnées au point M, puisque /-t- X^ prend alors la
forme
et l'on voit bien que cette équation n'est pas l'équation générale des couples de deux droites passant par l'origine.
4S3. Théorème de Desargues. — Les coniques d'un faisceau ponctuel déterminent une involution sur une droite quelconque.
Nous venons de voir que cette propriété est vraie dans le cas particulier où les coniques ont un point double commun. Dans le cas général, les points d'intersection d'une conique quelconque du faisceau avec la droite menée par un point (a^o, jKo) et ayant pour paramètres directeurs a, p, correspondent aux racines de l'équation /(a^o -H ap, jo-^ P?) -H X^(a7o-l- ^tp, yo-t- ??) = o- 0'" les coefficients de cette équation du second degré en p sont des fonctions linéaires du paramètre X : donc les points qu'elle définit appartiennent à une involution. Les points doubles de cette involution sont évidemment les points de contact des coniques du faisceau tangentes à la sécante considérée; donc il y a deux coniques du faisceau tangentes à une droite donnée.
4o4. Les polaires dUirt point fixe par rapport à toutes les
coniques cT un faisceau sont concourantes. — En effet, si l'on
pose
df àf àf „ dg dg dg
on voit que la polaire du point (^o> JKo? ^o) par rapport à la conique / -\- \g a pour équation P-|- XQ = o.
En particulier les diamètres conjugués à la direction donnée concourent en un même point.
■435. On peut démontrer directement qu'il y a deux coniques du faisceau tangentes à une droite donnée : cela résulte de ce que l'équation tangentielle de la conique f-+-\g est de second degré en X. Cela posé, soient A, B les points de contact de la droite AB avec les deux coniques qui lui sont tangentes. La polaire de A par rapport à celle de ces coniques qui touche AB en A est la droite AB elle-même; la polaire de A par rapport à la seconde conique passe par B; donc les polaires de A par rapport aux coniques du faisceau passent par B et réciproquement. Les points A et B sont donc conjugués harmoniques par rapport à tous les couples de points d'intersection de AB avec les coniques du faisceau; donc ces couples forment une involution. On retrouve ainsi le théorème de Desargues. Cette démonstration est due à M. H. Picquet.
Cercle du faisceau.
4o6. Trouver les conditions pour que les points communs à deux coniques soient sur un cercle. — Il s'agit, d'un manière plus précise, de chercher à quelles conditions il se trouve un cercle parmi les coniques d'un faisceau.
Supposons que l'une des deux coniques y, g soit une conique à centre unique, et prenons pour axes de coordonnées les axes de sjmétrie de celte conique. Les équations des deux coniques étant
Xx^-\- Gj--h F = o, A.'x'^-h Q.B'xf -+- C'y--\-. . . = o,
une conique quelconque G du faisceau aura pour équation
(A'+XA)x2-t-2B':r7 + (C'-F-XC)72-|-...= o.
Cette conique sera un cercle si B'^ o et si A'-hÀA = (7+ ).C. Il faut encore supposer A'4-)vA^o, C'-t-)vG^o, ce qui exige AC'-CA'^o.
Donc, pour que les points d intersection de deux coniques soient sur un cercle, il faut et il sujfit que les axes de symétrie de ces coniques soient parallèles, pourvu que ces coniques ne soient pas homothé tiques.
Quand les coniques données sont homothétiques, il n'j a aucun cercle parmi les coniques du faisceau qu'elles déterminent, à moins qu'elles ne soient toutes deux des cercles, et dans ce cas le faisceau n'est composé que de cercles.
422 CHAPITRE XYIII.
Supposons mainlenant que les coniques données soient deux paraboles. L'une de ces paraboles étant rapportée à son axe et à la tangente au sommet, les équations des deux coniques sont
Gy^ -+- 1 \ix = o, A':r- -t- 1 B'^T/ -+- C'jK^ -+-...= o ;
l'équation d'une conique du faisceau est
A':f2-+- iWxy 4- (G'-f- XG)j2h-. . . = o.
Cette équation représente un cercle si B'=:o et A'=C'-+-)>C. La seconde conique étant une parabole, la condition B'= o entraîne A'=:o ou G'=:o. On doit rejeter l'hypothèse A' = o à laquelle ne
A' correspond pas de cercle et prendre C'= o, \-=z-^i d'où cette
proposition : Pour que les quatre points cV intersection de deux paraboles soient sur un cercle, il faut et il suffit que les axes de ces deux paraboles soient rectangulaires.
Si, cette condition étant remplie, on prend pour axes de coordonnées les axes de symétrie des deux paraboles, les équations de ces courbes deviennent
et celle du cercle passant par leurs points communs est
a;2 i j/2 — 'ipx — 1 qy — X — [JL = o ; les coordonnées du centre de ce cercle sont donc/) et q.
457. Dans le cas général, on voit que, si les points communs à deux coniques f, g sont sur un cercle, on peut mettre l'équation d'une conique du faisceau (/, g^ sous la forme
(A + X A')a?2+ (G -H X C')jK"2 + . . . = o,
ce qui montre que toutes les coniques du faisceau ont alors leurs axes parallèles et par suite, si deux coniques quelconques du faisceau se coupent aux quatre points A, B, C, D, les droites AB, CD étant deux coniques particulières du faisceau, les bissectrices des angles formés par ces droites sont parallèles aux axes des coniques du faisceau; en d'autres termes, AB et CD font avec ces axes des angles égaux et de signes contraires; réciproquement, si cette condition est remplie, les quatre points A, B, C, D sont sur un cercle.
io8. Application. — Former V équation générale des cercles passant par les points communs à C ellipse et à la droite ayant pour équations
^-+-4t — i = o, y — mx — h — o.
La droite passant par les deux autres points communs à l'ellipse et à l'un des cercles considérés a pour coefficient angulaire — m; il en résulte que l'équation demandée a la forme
Cette équation représente un cercle si l'on suppose
— — Àm2= — -f- l,
d'où l'on lire
a262(/n2-t-i) ce qui donne l'équation
( m^ -h \) ( b^ x^ -{- a^ y^ — a"- b"-) — c^-(y— mx — h) ( y -+- mx -{- /. ) = o,
/■• désignant un paramètre arbitraire.
io9. Equation du cercle osculateur en un point d'une ellipse. — La tangente au point donné X{Xo',yo) et la droite AB, B désignant le point d'intersection autre que A du cercle osculateur et de l'ellipse, faisant avec les axes de l'ellipse des angles égaux et de signes contraires, l'équation demandée peut se mettre sous la forme
avec la condition
d'où
«2 rt* b^ b^
b'^xl-^a^yl
Hyperbole équilatùre du faisceau.
460. Parmi les coniques d'un faisceau ponctuel, il y a une hyperbole équilatère, ou toutes les coniques du faisceau sont des
hyperboles équilatères. — La condition pour que
(A-j-XA')a72-t-2(B-+-XB')rx^-(C ^\C')y^-^. . .= o représente une hyperbole équilatère est, en supposant les axes rec-
cette équation admet une solution et une seule (finie ou infinie), excepté quand on a A + C = o et A'+ C'= o. Alors les coniques données sont des hyperboles équilatères et toutes les coniques passant parleurs points communs sont aussi des hyperboles équilatères.
461. Applications. — i° Soit H le point de concours de deux des hauteurs d'un triangle ABC. On peut considérer les systèmes de droites (BG, AH), (AC, BH) comme formant deux hyperboles équilatères passant par A, B, C, H. Il en résulte que toute conique passant par ces quatre points est une hyperbole équilatère; en particulier, il en est ainsi pour le système des droites (AB, CH), ce qui prouve que GH est la troisième hauteur. On retrouve ainsi un théorème connu.
•1° Toutes les hyperboles équilatères circonscrites à un triangle ABG passent par l'orthocentre H. En effet, soit G l'une des hyperboles; la droite AH la rencontre en A et en un second point H'; mais la conique (BG, AH') étant une hyperbole équilatère, il en résulte que BH' est perpendiculaire sur AG ; ce qui prouve que H' se confond avec H.
3° Gette remarque permet d'exprimer que l'équation
représente une hyperbole équilatère, car il suffit d'écrire que cette équation est vérifiée par les coordonnées de l'orthocentre du triangle de référence. Si a, p, Y désignent des coordonnées normales, la condition demandée est
A cosA -1- k cosB -+- l cosC = o.
462. Supposons que le faisceau donné ne renferme qu'une seule hyperbole équilatère H; alors, parmi les coniques du faisceau, il y en a une dont les axes de symétrie sont parallèles aux asymptotes de H. En effet, prenons, comme le fait M. G. Kœnigs, pour axes de coordonnées, les asymptotes de cette hyperbole et soient
Q,cry -h h = o, \x'^-^ iBxy + Cy'^-\- iTfx -+■ lEy -f- F = o
les équations de H et d'une seconde conique du faisceau. La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation
Air2-i- 2(B-i-iJL)a77+ Cy^^ilix + iEy -^ F-t- [jiA = o
représente une conique F satisfaisant à la condition donnée est |jt = — B. Si l'on prend celte conique F et l'hyperbole II pour bases du faisceau, ce dernier sera défini par une équation de la forme
A x^ ■+- Gy- + •?.'kxy -h iDx-h'i Ey -+-V-\-lh = o.
Parmi les coniques du faisceau se trouvent deux paraboles. En effet, l'équation précédente représente une parabole si X2= AG. Donc, les deux paraboles du faisceau sont réelles quand la conique F est une ellipse, et réciproquement. Les axes des paraboles sont parallèles aux droites définies par les équations
et l'on reconnaît que ces droites sont parallèles aux diamètres conjugués égaux de l'ellipse F.
Si l'on nomme a et b les demi-axes de l'ellipse particulière F, en supposant A2< G, A et G positifs, on a
mais l'une des racines de l'équation en S est moindre que A et l'autre est supérieure à G. On peut donc les représenter par G -+- a et A — a. Si a' et b' sont les demi-axes d'une ellipse du faisceau autre que F, on a
ce qui prouve que l'excentricité de l'ellipse F est un minimum.
Lieu des centres des coniques du faisceau.
463. En conservant les mêmes notations, le centre d'une conique du faisceau est défini par les équations
Aa7-H Xj'-i- D = o, Kx -^ Cy -\-E — o;
le lieu des centres est donc une conique S ayant pour équation
A 372 — Gj-ï -h D J7 — Ej = o.
Cette conique est une hyperbole quand la conique F est une ellipse et inversement. Supposons qu'il en soit ainsi; si |jl et [jl' sont les coefficients angulaires des asymptotes du lieu des centres, on a
ce qui prouve que toutes les coniques du faisceau admettent un même système
420 CHAPITRE XVIll.
de directions conjuguées, qui sont les directions des asymptotes du lieu des centres. ,
46i. Remarques relatives au lieu des centres des coniques d'un faisceau ponctuel. — En représentant le faisceau donné par l'équation f -\- \g = o, on trouve, pour le lieu S des centres, l'équation /^.^^—/^.i>-^=: o. Cette équation donne lieu à plusieurs remarques.
1° Les diamètres conjugués à une direction (a, P) par rapport aux deux coniques y, g- ayant pour équations
^J-f'x -+- ?/j = o, ag'^^'^g'y=o,
le lieu de leur point de concours, quand la direction donnée varie, est précisément la conique S.
1° Il résulte de cette propriété que la conique S passe par le milieu de chaque corde commune à deux quelconques des coniques du faisceau, puisque le milieu d'une corde commune est le point de rencontre des diamètres conjugués à sa direction.
3" Si les coniques/, g sont tangentes en un point M, ce point appartient à S et, réciproquement, si les coniques/, g, S ont un point commun M, les deux premières sont tangentes en ce point; c'est ce que montre la forme de l'équation de S.
4° Si l'on remplace/ et g par des coniques respectivement homothétiques et conceùtriques, c'est-à-dire si l'on considère le faisceau défini par l'équation
h et k désignant des constantes arbitraires, quelles que soient les valeurs attribuées à A et A", ce qui donne une double infinité de faisceaux, la conique S est toujours le lieu des centres. En particulier, considérons une conique /et un cercle g ayant pour centre un point donné P. Quel que soit le rayon de ce cercle, le lieu des centres des coniques du faisceau (/, g) est une conique déterminée S, passant par P et rencontrant/ en quatre points A, B, C, D. Le cercle de centre P et de rayon PA est tangent en A à /, de sorte que PA est une normale à /issue de P et, réciproquement, S passe par le pied de toute normale à /issue de P. Donc, on peut mener de P quatre normales à/ (remarques dues à M. Mannheim).
5° Lorsque l'une des coniques du faisceau est un cercle, S est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes de la seconde conique.
465. Lorsque les coniques/, g se coupent en quatre points réels A, B, G, D, on peut prendre pour axes de coordonnées deux droites non parallèles passant par ces quatre points. Supposons que AD soit l'axe des x et CD l'axe des y, et soient a, a' les abscisses de A et B; bf 6' les ordonnées de C et D. Soit
A :r2 | J3 ^j 4 GjK^ -H Da7 4- Ej' -1- F = o
CONIQUES PASSANT l'AH DES POINTS DONNÉS. [\1-^
l'équation d'une conique. L'axe des x rencontre cette conique en deux points dont les abscisses sont les racines de l'équation
Aa:2-f-D^4- F = o;
ces points coïncident avec A et B si l'on pose
— -r = a -\- a , -^ = aa .
Pareillement, pour que la conique passe par C et D, il faut que
— - = b + b, - ^bb ; on lire de ces équations
na \a a!) bb \b b )
donc, l'équation d'une conique passant par les quatre points donnés est
— , -^\xy ^ ~-Y-,—x { — i ,\ —y ( - -1- - - ) -+- I = o,
aa! -^ bh \a a } "^ \b b ]
où l'on a posé ^ = A. Réciproquement, toute équation de cette forme
représente une conique passant par les points donnés. L'équation précédente est donc l'équation générale des coniques passant par ces quatre points.
On peut encore remarquer que, toute conique du faisceau étant circonscrite au quadrilatère ABCD, son équation est de la forme
''^y-^\-a^~b-')\ii-^v-
En remplaçant le paramètre arbitraire pi H /^ "+" /""> P''*' ^j O"
retrouve la même équation que plus haut.
Les paraboles du faisceau sont réelles si aa' bb' est positif, c'està-dire si le quadrilatère ABCD est convexe.
Lorsque — = j-, = o, l'équation obtenue devient l'équation générale des hyperboles passant par A et B et dont les asymptotes sont parallèles à Ox et O^; le lieu des centres est alors la droite joignant le point O au milieu de AB.
Si a = «', b=b', l'équation représente les coniques tangentes
aux axes en A et B. Le faisceau ne contient alors qu'une parabole proprement dite ayant pour équation
466. Considérons les hyperboles équilatères passant par trois points A, B, C. Prenons pour axes de coordonnées le côté BC et la hauteur correspondante du triangle ABC. L'équation d'une hyperbole équilatère est de la forme
