y^-+- iBxy -\- o.Y)x -\- '2.Ejr -+- F = o
Les abscisses des points B, G étant les racines de l'équation
x--h -iDa: -{- F = o,
les coefficients D et F sont déterminés. L'axe des ^ coupe l'hyperbole en deux points dont les ordonnées sont les racines de l'équation
— j2+ aEj' -+- F = o.
Le point A étant l'un de ces deux points, l'une des racines est connue; mais F est donné, donc l'autre racine est aussi déterminée. On reconnaît ainsi directement que les hyperboles équilatères passant par les sommets d'un triangle rencontrent toutes l'une des hauteurs en un point déterminé qui est, par suite, le point de rencontre des trois hauteurs. Le seul paramètre variable dans l'équation générale de ces hyperboles est le coefficient B. Le lieu des centres a pour équation
x--hy--+- D^ — EjK = o;
c'est le cercle des neuf points, puisqu'il passe par le pied d'une quelconque des hauteurs.
Faisceau tangentiel.
467. Deux coniques données ont, en général, quatre tangentes communes, comme cela résulte de la discussion du système formé par les équations tangentielles. On le voit d'une manière nette en transformant par polaires réciproques. En effet, à toute tangente commune à deux coniques C, Ci correspond un point commun à leurs polaires réciproques C, C',, et réciproquement. Supposons qu'il s'agisse de deux coniques proprement dites. Si les coniques C, G'i ont quatre points communs, les coniques C, Gj ont quatre tangentes communes. En examinant tous les cas, on voit que deux coniques données peuvent avoir une, deux, trois ou quatre tangentes communes.
Cela posé, si f{u, v, w) = o, g{u, f , «^) = o sont les équations tangentielles des deux coniques données, l'équation
représente ce que l'on nomme un faisceau tangentiel. C'est le faisceau des
coniques tangentes aux tangentes communes aux deux coniques données. En effet, si les équations des deux coniques sont vérifiées par m = Mj, v = Vi, w = iVi; on aura aussi, quel que soit ^, /{iti,Vi, Wi) -hlg{ui, Vi, Wi) = o. Quand on regarde u, v, w comme des coordonnées ponctuelles, l'équation (1) représente toutes les coniques passant par les points communs aux coniques représentées par les équations f = o, g- = o; donc, en coordonnées tangentielles, l'équation (1) est l'équation générale des coniques tangentes aux tangentes communes aux coniques y et ff.
L'équation du faisceau étant linéaire en X, il y a une conique du faisceau et une seule tangente à une droite donnée.
On verra, comme dans le cas du faisceau ponctuel, qu'on peut remplacer f et g par deux coniques quelconques du faisceau.
468. Application : Equation générale des coniques inscrites à un quadrilatère. — Si l'on représente pary(a, c, w) = o le couple formé par deux sommets opposés a, c du quadrilatère donné et par g{u, v, w) = o le couple formé par les deux autres sommets b, d; l'équation demandée est
f{u,v, w)-^ Igiu, V, (v) = 0.
Effectivement, si l'équation d'un côté du quadrilatère, du côté ab par exemple, est UiX-\-Vij^-\-ifi = o, on a f{ui, Vi, wi) = o, puisque ab passe par a et g(ui, Vi, wi) = o, puisque ab passe par b. La conique représentée par l'équation précédente pour une valeur donnée de X est donc inscrite au quadrilatère donné et l'on peut déterminer X de façon que cette conique soit tangente à une cinquième droite.
L'équation précédente est susceptible d'une interprétation géométrique; elle exprime que le produit des distances de deux sommets d'un quadrilatère circonscrit à une conique à une tangente quelconque est dans un rapport constant avec le produit des distances à celle tangente des deux autres sommets. On arrive aussi à cette proposition en transformant par polaires réciproques le théorème de Pappus relatif au quadrilatère inscrit.
On peut facilement obtenir l'équation ponctuelle des coniques considérées. Nous savons, en effet, que l'on peut représenter les quatre cotés d'un quadrilatère donné par les équations oL-h ^-h -^ = o, a-f-p — Y = ") * — P+T — *^'' — x-h ^ -h '( = o quand le triangle de référence est formé par les diagonales de ce quadrilatère. Les équations des sommets en coordonnées tangentielles sont donc v — w — o, v -h w = o et u — v = o, u -h v = o. U en résulte que l'équation tangentielle demandée est alors
Xk2h-(i — X)l>2= (V2
et, par suite, l'équation ponctuelle sera
X ^ i-X ^ 469. Autre solution. — En prenant toujours pour triangle de référence le
43o CHAPITRE XVIII.
triangle formé par les diagonales du quadrilatère, et en exprimant que l'équation tangentielle du second degré est vérifiée par les coordonnées des quatre côtés du quadrilatère, on obtient les équations
a -\- a' -{- a" — 1 b — 'ib' -{- -i b"
a + a' -h a" — -^b ~\- -xb' — i b"
d'où
a -+■ a' -+- a" -\- ib — xb' — ■>. b" = a -r- a' -t- a" = o, b =^ b' ^= b" L'équation ponctuelle est donc de la forme
L'un des coefficients est arbitraire : posons a" = — i et, par suite, a -\- a' ce qui donne
Fis;. ii3.
470. La forme de l'équation obtenue montre que les diagonales d'un quadrilatère circonscrit à une conique forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté opposé. On dit qu'un pareil triangle est conjugué à la conique ou est autopolaire.
On peut établir cette propriété importante par la Géométrie. Considérons, en effet {Jig. ii3), un quadrilatère abcd circonscrit à une
conique et soient /n, />, q, r les points de contact; g, h, k les points de concours des côtés opposés et des diagonales du quadrilatère mpqr.
Il est évident que le triangle ghk est conjugué à la conique considérée. Or, le point e étant le pôle de qm est sur la polaire de k, c'està-dire sur gh; il en est de même de /. Enfin, bd est la polaire de A; donc, bd passe par les points k et g; de même, ac passe par k et h. Il en résulte que hk, kg, gh sont les diagonales du quadrilatère abcd.
On remarquera que, quelle que soit la conique inscrite au quadrilatère abcd, les cordes de contact passent deux à deux par des points fixes; ainsi rq etpm passent par A, mr et pq par g et enfin qm, rp par k. Il en résulte qu'on peut se donner arbitrairement l'un des points de contact, m par exemple, les
COMQUES PASSANT PAR DES POINTS DONNÉS. /|3l
autres, /?, q, r s'en déduisent en s'appuyant sur la remarque qu'on vient de faire. Enfin, les deux quadrilatères abcd et nipqr sont polaires réciproques par rapport à la conique considérée.
471. Lieu des pôles d'une droite fixe par rapport à un faisceau taiiffentiel. — En transformant par polaires réciproques le théorème du n° 465, nous obtenons ce théorème :
Les pôles d'une droite fixe par rapport aux coniques d' un faisceau taiigentiel sont sur une droite fixe.
La solution analytique n'oiïre aucune difficulté. Les coordonnées du pôle de la droite «a •+- pp -f- wy = o, par rapport à la conique f-^-^^g étant f'n-\- ^g'itifi H- ^g's,^f'w -^ ^S'w^ on voit bien que ce pôle est sur la droite fixe passant par les pôles de la droite donnée par rapport aux deux coniques /, g.
En particulier, si la droite est à l'infini, on obtient ce théorème dû à Newton : Le lieu des centres des coniques inscrites à un quadrilatère est une droite. — Soient arj, yi; x^, y^', X3, y^; x-,, y^ les coordonnées cartésiennes des sommets a, 6, c, d du quadrilatère donné; l'équation tangentielle des coniques y inscrites est
(«Ti-H vyi -+- iv) {UX3-+- vys-h «') ■+■ X(«x.2 -i- vy^-h iv) {ux^ -+- l'y^-h w) = o.
Les coordonnées du centre de la conique représentée par l'équation précédente sont
Le lieu des centres est donc la droite qui joint les milieux des diagonales.
472. Démonstration directe du théorème de Newton. — Prenons pour axes de coordonnées deux des tangentes ; l'équation tangentielle d'une conique du faisceau doit être vérifiée quand u = o, w = o, et quand v = o, w = o; elle est donc de la forme
a" n'--+- ibvw -+- 'ib'iv u -h ab" uv = o.
Or on connaît deux tangentes («1, fj, i) et («2) ^'2; 0> ^*^ sorte que
a" -+- x bv\ -h 'ib' Ui-h 1 b" «1 (^j = o, a" -h ibv^-h ib' u%-\- ib uiv^^ o,
d'où, en éliminant b" ,
a" {uiVi — u-iVi) -{- "xbvi^ii Ui — «0) -1- 2 6'«i «2(''i — ''2) = "• Or le centre, c'est-à-dire le pôle de la droite de l'infini, a pour coordonnées
b' , b, a\ d'où il résulte que le Heu des centres a pour équation
OU
MiCi(i + iii^x + iv^y) — U'2,Vi{\ + lu^x -\- iv^y).
Sous cette forme, on voit que le lieu est une droite qui passe par le milieu de la droite joignant l'origine au point de concours des tangentes («i, Pi, i), (if2; v%^ 1). En écrivant l'équation précédente sous l'une des deux formes
où
V\{Uy— U-i) (l -r- 2C^2j) -t" «îC^'l ^^2) (l + 1U\X) = O,
on voit que le lieu passe par les milieux des diagonales du quadrilatère formé par les quatre tangentes données.
473. Corollaire. — Etant données cinq droites, les cinq droites joignant les milieux des diagonales des cinq quadrilatères que l'on peut former avec les droites données se coupent en un même point qui est le centre de la conique tangente aux cinq droites données.
474. Théorème corrélatif du théorème de Desargues. — En transformant par polaires réciproques le théorème de Desargues, on obtient celui-ci :
Les tangentes menées par un point fixe aux coniques d'un faisceau tangentiel forment une involution. Les rayons doubles sont les tangentes aux coniques du faisceau qui passent par le point donné.
On voit d'ailleurs directement, en formant l'équation ponctuelle, qu'«7 passe deux coniques du faisceau par un point donné.
Coniques rapportées à un triangle autopolaire.
475. En exprimant que chaque sommet du triangle de référence est le pôle du côté opposé, on trouve immédiatement que l'équation d'une conique rapportée à un triangle autopolaire est de la forme
(i) Aa5+B^2+CY-=o.
L'équation tangentielle est donc
On voit que si la droite {u, v, w) est tangente, il en sera de même de chacune des droites (± m, àiv, ±w), ce qui s'explique en remarquant, par exemple, que les équations
îta-!- t^P -i- (P'Y = 0, — jta-i- p^ H- (.i^Y = o, a = o, v'^-\-w^( = o
représentent un faisceau harmonique.
On déduit de là une nouvelle méthode pour obtenir l'équation générale des coniques inscrites à un quadrilatère. En prenant, en effet, pour triangle de référence les diagonales du quadrilatère, ce triangle étant conjugué, toute conique du faisceau est représentée par l'équation (i), et les côtés du quadrilatère ayant pour coordonnées (::t i, ^i^i, ± i), l'équation {■}.) donne
On achève comme plus haut.
Théorèmes de Chasles.
476. Le point d'intersection de deux rayons homologues appartenant à deux faisceaux liomographiques décrit une conique, et réciproquement.
En effet, soient a — o, p = o les équations de deux rayons d'un faisceau, et Y = o, 0 = 0 les équations des rayons correspondants d'un faisceau homographique du premier. En disposant convenablement des coefficients de 0, par exemple, on peut représenter, comme nous l'avons vu (189), deux rayons homologues par les équations a — X:, ^ = o, y — ^0 = o. On obtient l'équation du lieu du point de concours de ces deux rayons en éliminant k entre les deux équations précédentes, ce qui donne
ao — Py = o,
équation d'une conique passant par les sommets A, B des deux faisceaux a — o, p = o et Y = o, 8 = o) et aussi par les points (a = o, y = o) et (P = o, 0 = o). La tangente en A. a pour équation a8'— Py' = o, 0' et y' étant ce que deviennent S et y quand on y substitue aux coordonnées courantes celles du point A. Cette équation représente la droite du premier faisceau qui est l'homologue de BA considérée comme appartenant au second faisceau. Résultat ^ analogue pour la tangente en B {fig. ii4)-
Réciproquement, toute conique peut être considérée comme engendrée par le mode précédent. En effet, soient A, B, C, D quatre points d'une conique; en représentant par a = o, p = o, y = o, 0 = o les équations des droites AG, AD, BC, BD et disposant convenablement des coefficients, l'équation de la conique peut se mettre sous la forme ao — pY = o. Sous cette forme on reconnaît qu'elle est le lieu du point de rencontre des droites représentées par les équations a — Â:P = o, Y — Ao — o, ce qui démontre la proposition.
-477. Corollaire : Description organique des coniques (Newton). — Soient A, B deux points fixes; un point P (Jig. ii5) se déplace sur une droite NiEWENGLOwsKi. — G. an., l. 28
fixe A. On mène, pour chaque position du point P, une droite AM faisant
avec AP un angle fixe a et une droite BM faisant Fig. ii5. avec BP un angle fixe p. Les rayons AM, BM dé-
crivent évidemment deux faisceaux homographit^^- — — /\ /^ '" ques; donc leur point de rencontre M décrit une
conique qui passe par les points A et B.
478. Le rapport anharnxonique du faisceau formé en joignant quatre points fixes d'une conique à un cinquième point variable pris sur la même conique est constant et égal au rapport anharmonique des quatre points d'intersection des tangentes aux quatre points fixes avec une tangente variable.
Pour démontrer simplement ce théorème, prenons deux tangentes fixes et la corde des contacts pour former un triangle de référence auquel nous rapporterons la conique donnée. L'équation de cette conique peut se mettre sous la forme
Fig. ii6.
a=co, P = o, Y = o étant les équations des deux tangentes et de la corde des
contacts. Gela étant, soient Mi, M2, M3, M4 {fig. 116) quatre points de la conique. Si l'équation de BMi esta — «ly»
celle de AMj sera ^ = — y.
Soient «i, a^, as, ai, les paramètres
relatifs aux points Mj, M2, M3, M4; on a
(B.MiMaMsMij -r
pour calculer le rapport (A. M1M2M3M4), il faut remplacer les paramètres «1, a^, «3, «4 par leurs inverses, ce qui ne change pas l'expression du rapport anharmonique; donc
(B.M1M2M3M4) = (A.MiMoMsMi).
La tangente au point Mj a pour équation
-f- p<Xi — ay ~ ^•
Soit Ti sa trace sur le côté AG; la droite BTi a pour équation a = 2aiy. Il en résulte immédiatement que (B.T1T2T3T4) — (B.MiM2M3M4).
479. GoROLLAiRE. — Une tangente mobile détermine sur deux tangentes fixes à une conique deux divisions homographiques.
Ce résultat, évident géométriquement, se déduit aisément de l'équation tangentielle d'une conique tangente aux axes Ox, Oy. Cette équation est, en elTet, de la forme
a" »>^-\- o-bvw -•- 'i.b' ivu -•- ib" uv — o.
Si l'on remplace u par -5 *> par ^ et tv par — i, a et p sont l'abscisse et l'ordonnée des traces sur les axes de la droite définie par l'équation
l'équation précédente devient, par cette transformation,
a'.a^ — 26a — 26'p — -ib" = o,
ce qui démontre la proposition. Pour que la conique soit une parabole, il faut que a" — o; dans ce cas, la relation entre a et ^ se réduit à
boi-^b'^--b"^o;
elle exprime, comme on le vérifie aisément, qu'une tangente mobile à une j)arabole divise en segments inversement proportionnels les longueurs de deux tangentes fixes, ces longueurs étant comptées depuis leur point de concours jusqu'à leurs points de contact, ou encore, l'équation de la corde des contacts de la conique relativement aux axes étant bx~b'y — b" — o, la condition relative à la parabole exprime que la corde des contacts des deux tangentes Ox, Oy passe par le quatrième sommet du parallélogramme dont les trois autres sommets sont les points de concours des tangentes fixes et de la tangente mobile, et cette condition est nécessaire et suffisante pour que la conique soit une parabole.
EXERCICES
1. Si trois coniques ont un triangle autopolaire commun, leur jacobien se réduit à trois droites.
2. Trouver le lieu du pôle d'une droite fixe par rapport aux coniques d'un faisceau ponctuel.
3. Enveloppe de la polaire d'un point fixe par rapport aux coniques d'un faisceau tangentiel.
4. Exprimer que Aa*-i- Bp^-h Gy* = o représente une hyperbole équilatère.
.1. Lieu du pôle d'une droite fixe par rapport aux hyperboles équilatères conjuguées à un triangle donné,
6. Toute parabole conjuguée à un triangle donné est inscrite au triangle ayant pour sommets les milieux des côtés du premier triangle.
7. Si deux triangles sont conjugués à une même conique, leurs sommets sont sur une conique et leurs côtés sont tangents à une autre conique, et réciproquement.
8. Trouver l'enveloppe des axes d'un faisceau ponctuel de coniques.
9. Trouver l'enveloppe des asymptotes d'un faisceau ponctuel de coniques.
10. Par quatre points formant un quadrilatère convexe on peut faire passer deux paraboles; un cinquième point détermine, avec les quatre premiers, une hyperbole s'il est intérieur ou extérieur aux deux paraboles; une ellipse, s'il est intérieur à l'une et extérieur à l'autre.
H. Étant donné un triangle conjugué à une ellipse, on lui circonscrit un cercle; prouver que la tangente menée à ce cercle du centre de l'ellipse est égale à y/a^-i- 6^.
12. Étant donnée une ellipse inscrite à un triangle, on trace le cercle conjugué à ce triangle; la tangente menée du centre de l'ellipse à ce cercle a pour longueur sja"^ -+- 6^.
13. Un triangle est inscrit à une conique; deux de ses côtés passent par des points fixes : enveloppe du troisième côté et lieu de son pôle.
14. Étant données une conique et deux tangentes à cette conique, on joint deux points fixes aux points d'intersection d'une tangente mobile et des deux tangentes fixes : lieu du point de rencontre des droites obtenues.
lo. Étant données deux coniques bitangentes G, G', on mène une tangente fixe T à la conique G; par un point variable P pris sur cette même conique on mène des tangentes à G et, par les points où elles rencontrent T, on mène de nouvelles tangentes à G'; lieu de leur point de rencontre.
16. Étant données deux coniques G, G', on mène une tangente à G et, par les points oîi cette droite rencontre G', on mène de nouvelles tangentes à G, lieu de leur point de rencontre.
17. Soit f -\-\g =^ o l'équation d'un faisceau; si l'on considère les polaires d'un point M par rapport à quatre coniques du faisceau qui correspondent aux valeurs \y, X2, X3, X4 du paramètre, le rapport anharmonique du faisceau formé par ces quatre polaires est indépendant de la position du point M.
18. La conique K ayant pour équation ^2 — ^^^ — ^ ggj l'enveloppe des droites définies par l'équation am^+pw-t-Y^o. Les tangentes issues d'un point M (a', P', y') correspondent aux valeurs de m qui sont les racines de réquation a'm^-\- '^'m-i-^' — o. En nommant p, pi ces racines, on a
^,^ L^ Jl.
p H- pi ppi
et si l'on fait
On peut regarder p, pi comme des coordonnées de m (G. Darboux). Dans ce système, la conique K a pour équation (p — pi)2 = oet une conique doublement tangente à K a une équation de la forme Appt -4- B p h- G pi -f- D = o. Si B = G, cette équation représente une droite.
19. Trouver le degré d'une courbe déterminée par une équation algébrique/(p, p,) = o. On distinguera deux cas suivant que l'équation donnée est symétrique ou non par rapport à p et pj.
20. Si une courbe d'ordre n passe par l'intersection des deux faisceaux de n droites Ai, A2, . . . , A„ ; Bi, Bj, . . . , B,j tangentes à K, son équation est de la forme
Al A2 ...Art=ABiB2...Brt; en posant
A,-= aa?-+- pa/-T-Y = «(««—?)(««— pi),
B, = a 6| - p 6,-+- Y = a ( 6/- p) ( b^- pi )
?(P) =(p— ai)(p — «2)-.-(p —an), <3^(p) = ^h (p — bi) {p — bi) . . . {p — bn),
l'équation prend la forme
?(p) ^ iipo.
'^(p) ?(pO* Montrer qu'on peut la mettre sous la forme
»(p) ^ ^F(pi)
où l'on a, m étant arbitraire,
^ ( u) = mf (u) ^ n^ {u), W{u) = ni<}^(u) ~ n'o(u).
En conclure ce théorème : Si une courbe d'ordre n passe par les n^ points d'intersection de deux faisceaux de n tangentes à la conique K, elle contient une infinité d'autres systèmes de n^ points formant les intersections de deux faisceaux de n tangentes à la conique K.
21. Quand une courbe d'ordre n contient tous les sommets d'un polygone de n -f- 1 côtés tous tangents à une conique, elle est circonscrite à une infinité d'autres polygones de n -t- i côtés, formés avec d'autres tangentes à la même conique.
22. Etant donnés deux polygones, l'un de m, l'autre de n côtés (ni m) cir-
, m(m — i) n(n — i) conscrits a une même conique, on peut toujours, par leurs — ^ i
sommets, faire passer au moins une courbe de degré m — i qui sera circonscrite de la même manière à une infinité d'autres polygones de m côtés circonscrits à la conique.
23. Etant donné un polygone formé de « -t- 1 droites A, Ai, Aj, . . ., A„ et
inscrit à une conique C, pour tout point de la conique il y aura entre les polynômes A, Ai, . . . , A^ qui, égalés à zéro, représentent les côtés désignés par les mêmes lettres, une relation de la forme
A "^ Ai ' '"'^ An~
24. Deux sommets d'un triangle décrivent les deux courbes f(p, pi) = o, cp (p, pi) = o; trouver le lieu décrit par le troisième sommet de ce triangle, sachant qu'il est circonscrit à la conique K.
2o. Si deux coniques sont telles qu'il existe un polynôme inscrit à l'une et circonscrit à l'autre, il y aura une infinité de polynômes jouissant des mômes propriétés. (Poncelet.')
Les exercices 17-25 sont empruntés à l'Ouvrage de M. G. Darboux, ayant pour titre : Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques (Paris, Gauthier-Villars, 1873).
480. Nous avons défini l'ellipse comme étant le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes, do^^eXés foyers, est constante et nous avons vu que si l'on prend pour axe des x la droite passant par les fojers et pour axe des y la perpendiculaire menée au milieu de cette droite, les rayons vecteurs MF, MF' sont donnés par les formules
X désignant l'abscisse du point M de l'ellipse. Si l'on fait une transformation de coordonnées, ces expressions linéaires se transformeront en expressions du premier degré par rapport aux nouvelles
coordonnées du point M. Celle remarque juslifie la définilion suivanle des foyers, duc à Euler :
On nomme foyer dune conique un point fixe F, situé dans le plan de cette conique^ et tel que la distance p d'un point quelconque M (iP, y) pris sur la courbe au point F soit une fonction linéaire des coordonnées x^ y du point M, de sorte que
(i) ç=\lx-\'my-r-h\.
(iellc définilion, évldemmenl indépendanle des axes de coordonnées reclilignes auxquels la conique esl rapportée, peut être transformée en une autre exprimant une propriété géométrique. En effet, la distance o du point {x^y) à la droite D, représentée par l'équation
Ix -r- my -r- A = o,
est donnée par
la formule
j \lx -^ my -V- h\ sin 0 s/ f^ -^ m> — 2 //n cos 9
9 désignant l'angle des axes de coordonnées. Donc, si l'on pose
V^/^-H m*-- ilm cos 6 sinO
les formules (i) et (2) donnent
d'où il résulte que le rapport des distances du point M au foyer F et à la droite D est constant. La droite D se nomme directrice et l'on peut donner la définition suivante :
On appelle foyer et directrice d'une conique un point Jixe et une droite fixe tels que le rapport des distances d' un point quelconque de la conique à ce point et à cette droite soit constant. Le rapport constant se nomme ^'excentricité relative à ce foyer.
11 convient de faire remarquer que ces deux définitions sont équivalentes, ce qui sera prouvé si l'on fait voir que la formule (4) entraîne la forntfule (1). Or, si Ton désigne par Aa: -f- By + G = o l'équation de la directrice correspondante au foyer F, on a, en vertu
de (4),
1 A;r-4-Bv-4-Gisine g = e •
V/A.2-4-B2 - aABcosO
el, par
suite,
p = 1 ;^ -f- niy -^ h\.
en posant
lx-\-
(Aa?-4- Br M- G)sine my -^ h==-e ^
Dès que l'on connaît l'expression du rajon vecteur en fonction des coordonnées {x^y) d'un point M de la courbe, l'équation de la directrice est connue; si l'on suppose
p = I /^-j- jny 4- Il |.
l'équation de la directrice correspondante est
X, Y étant les coordonnées courantes.
Tl résulte de ce qui précède que, si a, [iJ désignent les coordonnées d'un fojer d'une conique, l'équation de cette conique sera de la forme
(5) (,r — a)2-+- (y — P)2-i-2(3î— a)(7— p)cosO— (Ix-^my^ hy-=o et, si les axes sont rectangulaires,
(5') (x~-%y--^(y- ^)i—{lx — my-^hf= o.
Cette équation (5) ou (5') se nomme V équation focale de la conique.
481. On peut mettre l'équation focale sous la forme suivante :
(6) {x — a)--4-(jK— P)^-i- 2 {x — a)(jK— P) cos 6 — e^xcoi cp -^y cos (6 — cp ) — A:]^ = o.
Le discriminant du groupe homogène des termes du second degré est égal à() — e*)sin2 0. Donc l'équation (6) représente une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que l'on suppose e<^i, e >> I ou e = I .
482. Cherchons si une conique peut passer par l'un de ses foyers.
L'équation (5) prouve que, s'il en est ainsi, ce fojer est sur la directrice correspondante; et, par suite, en supposant les axes rectangulaires, l'équation focale est
(^a)2-^(jK p)î==[/(a:-a)-m(7--3)P
el représente deux droites passant par le point (a, [î).
On voit ainsi qu'un système de deux droites concourantes a pour Tojer le point de concours de ces deux droites, la direction correspondante étant l'une quelconque des bissectrices de leurs angles.
Une conique proprement dite ne passe par aucun de ses foyers.
Recherche des foyers d'une conique.
483. Première méthode. — On identifie l'équation de la conique donnée avec l'équation focale. Appliquons cette méthode à l'ellipse rapportée à ses axes de symétrie.
II s'agit d'identifier les deux équations
<2) (x — ay^ -^ { y — ^y- — ( Ix -^ my -(- h^^ o.
L'équation (i) manquant de termes en xy, x^y, il doit en être de même de l'autre équation ; donc /m =: o, a -h lli = o, [in- inh = o.
La première de ces équations se décompose : soit d'abord m = o et, par suite, [3 r= o; on doit, pour identifier (i) et (2), poser
«2(1— /2) =, 62^ h^ — afl, d'où l'on tire
Supposons a>6 et posons a- ~ b'^ =^ c- \ on aura /-=:-- ou
/= ± -; ensuite, a = — lhelh'-{i — 1-) -— a-{i — /-), d'où /«- = aet, par conséquent, h = ea et a = — sla. On voit qu'il suffit de poser l = -\ — ; d'ailleurs, Ix -{- h n'entrant qu'au carré dans l'équation (2), on peut supposer /^ o.
Nous avons ainsi obtenu deux solutions
ce qui donne deux fojers réels sur le grand axe et deux directrices correspondantes parallèles au petit axe. L'excentricité est la même
pour ces deux foyers et égale à - •
En posant /=:o, on aurait trouvé, par un calcul analogue, deux nouvelles solutions :
l'excentricité correspondante e' = j est imaginaire. En résumé, on
a obtenu quatre foyers : deux réels sur le grand axe et deux imaginaires sur le petit axe. Ces quatre foyers sont les sommets d'un quadrilatère dont les côtés sont les droites isotropes issues des deux foyers réels.
48-4. Construction des foyers el des directrices de V ellipse. — Le cercle ayant pour centre le sommet B du petit axe {fig- 1 1 7) et pour
rayon a coupe le grand axe de l'ellipse en deux points qui sont précisément les foyers réels. La directrice correspondant au foyer F (c, o) a pour équa-
tion a = o; pour construire cette
droite, il suffit de prendre sur le petit axe OC = a et de mener CD perpendiculaire à CF'; le point où CD rencontre le grand axe est le pied de la directrice. On peut remarquer que CD est tangente à l'ellipse en un point E ayant même abscisse que le foyer F; en effet, les coordonnées du
point Ji. sont ^ = c, j^ = — ; la tangente en ce point a pour équa-
tion
= 1, elle ne diffère donc pas de CD.
THÉOltlE DKS FOYERS. 443
i8o. Expression des rayons vecteurs. — On trouve
m? ^\lx-r-h\ = \— —a
ex
ex ex
IMF'-'/'.r h'
on relrouvc ainsi l'équation MF H- MF'= ia.
-i86. Deuxième méthode. — Soit /(x, y) = o l'équation d'une conique rapportée à deux axes de coordonnées d'anglt; 0.
Si a, ^ sont les coordonnées d'un foyer, l'équation de cette conique pourra être identifiée à l'équation
(x — ol)^ -i- {y — P)-— -2(37" a) (j — P)cosO — (/a7-+- my -r- h)^ = o:
on pourra donc trouver une constante \ telle que
/{x,y) ^ X [(^7 — a)2 -^(y-^y-^'2(x - oc) (y - ^) cosB — (Ix -r- my -r- hy-],
ou encore
/(x,y)-~l[ix~oiy-^{y^-f^y-i--i{x-oC)(y-~^)cosQ]^--l(lx-^my-i-hy.
Le premier membre de cette identité doit donc être un carré parfait et, en le divisant par — "k, on aura le carré du rayon vecteur.
Appliquons cette méthode à l'hyperbole rapportée à ses axes. Il
s'agit d'exprimer que —^ — j^—^ - ^[(^ — ^Y' -r (j — ?>)'] est un carré parfait. Cette expression ne contenant pas de terme en xy est nécessairement le carré d'un binôme du premier degré en x ou en y et par suite ne doit renfermer qu'un seule des deux lettres X ou j^. Supposons qu'elle soit fonction de x; alors il faut que y^ = -i-,' ? = o et que •^- (-, "^ p j - ^ -^- -f ^, - i soit un carré parfait. En exprimant qu'il en est ainsi, on trouve
a2=a-*+6-. Par conséquent, si l'on pose a-+b^=c'-, ou a
I / ex \ -
a=:£c; en outre, le carré obtenu étant égal à Thi— — î« ) > on
peut écrire les formules suivantes
a = ec, 3 = o; /=» m = o, h = — &/i, e = • •^ a a
On obtient les autres solutions en posant 'k=: —, a=o, ce qui
donne ^ = ±:ci. Donc, comme l'ellipse, l'hyperbole a deux foyers réels et deux foyers imaginaires.
487. Construction des foyers et des directrices de l'hyperbole. — Soient A, A' les sommets réels d'une hyperbole (Jig' ii8); la tangente en A rencontre l'une des asymptotes en C; AC=b et
OC = ^a^-{-b^ = c. On obtient donc les foyers réels F, F' en rabattant OC sur l'axe transverse AA'. Si l'on abaisse du foyer F une perpendiculaire FE sur OC, on a OE^OA; donc, si l'on nomme D la projection de E sur OA, on a
OD = — ; la droite DE est donc la directrice relative au foyer F.
On obtiendra de la même façon la seconde directrice.
488. Expression des rayons vecteurs. — Soit M un point de l'hyperbole donnée ayant une abscisse positive; on a
MF = — — a a
or, pour la directrice ayant pour équation - — a=^ o, la région positive est celle des x positifs ; donc
On a pareillement
et par suite
MF= ^-a.
MF'= — -i-a, a
MF— MF = ia.
Soit M' un point situé sur l'autre branche et ayant par suite une abscisse négative; on obtient
MF
et
M'F — M'F'== aa.
THÊOIUE DES FOYERS. 44^
489. Foyers de la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet. — Déterminons \ de manière que l'expression y"^ — "xpx — X[(a: — a)-+ i^y — ^Y'\ '^^^^ égale à un carré parfait.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut poser )v=i, ^ = 0 et exprimer
que ipx + (^ — a)2 est un carré, ce qui donne a = - • Le carré est alors [x-\-^\ • On en conclut que la parabole a un seul foyer, ayant pour coordonnées a=:— » ^ =:r o. La directrice correspondante a pour équation ^ + — = 0. Le rayon vecteur du point M(x, j') a pour expression x -h ^ et 1 excentricité e =.\ .
490. Formules générales. — En posant a: = a + X,y=[3 + Y, l'expression
(1) /(^.r) - M(^ - «)--" (J -'^Y+iix- a) (j p) cose] devient
/(a,p)^X/;-t-Y/^ + o(X,Y)-X[X2-^2XYcosO-f-Y2].
Nous avons vu que, si /(a;, y)^^o représente une conique véritable, /(a, P) est différent de zéro, si a, ^ sont les coordonnées d'un foyer; donc si l'on rend l'expression précédente homogène, il suffira d'exprimer que
(2) Z2/(a, P) + Z(X/;-i-Y/^)-Hcp(X, Y)-X[X2-f-2XYcosO-f-Y2]
est le carré d'un binôme du premier degré en Z, quels que soient X et Y, c'est-à-dire que
(X/;+Y/^)2-4/(a,P)[(A-X)X2-t-(G-X)Y2-^2(B-XcosO)XYl^o.
D'où
(3) /p^ = 4(G-X)/(a,?), (/;/p=4(B-XcosO)/(a,P).
En égalant entre elles les valeurs de a /(a, [S) tirées de ces équations, et remplaçant a et ^ par x et y^ on obtient pour déterminer
les coordonnées des foyers de la conique donnée, les équations
(4) 4A/(^,r)-/;'^-4G/Kr)"/?- -^^è=^^^-
On peut écrire ces équations de cette manière
(5) 4(B- A cose)/( :r,,r )-/;/;-- /i^cose, ( 4(B-GcosO)/(:r,jK)-/i/;-/;.2cosO.
On déduit des deux dernières
(B - G cosO)/;^ -( A - G)/i/;n- r A cos6 - B)/;^ :^. 0,
c'est-à-dire l'équation du faisceau des axes de sj'métrie de laconique. On voit ainsi que les foyers sont situés sur les axes de la conique. Enfin, chacune des équations (5) représente une hyperbole équilatère. Ces hyperboles ont mêmes centres. Quand les axes sontrectangulaires les équations précédentes deviennent
^ ^ 1 4B/(:^.,r)=/iy;.
On peut encore remarquer que les valeurs de X tirées des équations (3) sont des racines de l'équation en S, ce qui se reconnaît d'ailleurs en remarquant que, si le polynôme (i) est carré parfait, il en est de même de l'ensemble des termes du second degré de ce polynôme,
