Les équations (6) appliquées à l'équation

donnent

AG(jK^ — 372) -^ A — G = o, xy — o.

En particulier, si A = — -, G = -î-» on trouve les solutions suivantes :

j — o, ce — dz s/b- — «2 et x = o, y — ±>Ja^ — b^. Ainsi, en supposant ay>b, l'ellipse imaginaire ayant pour équation

a deux foyers réels sur l'axe des y et deux foyers imaginaires sur l'axe des x.

Cercles focaux.

492. Proposons-nous de déterminer tous les cercles de rayon donné H, bitangents à une ellipse donnée. Pour que les équations

représentent deux coniques bitangentes, il faut et il suffit qu'on puisse mettre l'équation (i) sous la forme

(3) {x—%y~(y-- P)2— R2— (/a7-.-mj' + A)î=: o.

En suivant l'une quelconque des méthodes précédentes, on trouve les solutions suivantes :

1° p — o, a — tci/ 1 — -,-; en outre, la corde des contacts correspondante a pour équation

1° a — o, p — sct4 / I j Gt la corde des contacts a alors pour équation

Considérons deux cercles focaux ayant leurs centres sur l'un des axes, par exemple sur le grand axe : l'équation de l'ellipse peut s'écrire de l'une des deux manières suivantes :

En appelant t et l' les longueurs des tangentes menées d'un point M de l'ellipse à ces deux cercles, d et d' les distances du même point aux cordes

de contact, on a t = d, t' = —d': d'où il résulte qu'en nommant o la dis-

tance des deux cercles de contact, si M est compris entre ces deux cercles,

on a Z -T- <' = - 8 , et, si M n'est pas compris entre ces droites, t — t' = — 8 . a a

Remarquons maintenant que, si R tend vers zéro, les centres des cercles

focaux ont pour limites les foyers de l'ellipse. On est ainsi conduit à une

nouvelle définition des foyers.

Nouvelle définition des foyers ( Plûcker ) .

493. On nomme foyer d'une conique le centre d'un cercle de rayon nul bitangent à cette conique.

Pour justifier cette définition, il suffit de remarquer que l'équation

(a? — a)2-4-(j'— P)2 — {Ix -T- my ^ hy — o

représente une conique bitangente au cercle de rayon nul ayant pour centre le point (a, [i). Or cette équation peut aussi bien s'écrire

[x -- ct-r- i{y -- P)] {x — a — i{y — P)] — {Ix -^ my -+- h)'^— o.

On peut donc dire qu'un foyer d'une conique est vin point d'où l'on peut mener à cette conique deux tangentes isotropes. La directrice, étant la corde des contacts de ces tangentes, est la polaire du foyer correspondant. Cette nouvelle définition a l'avantage de convenir à une courbe plane quelconque.

On peut mener à une courbe algébrique de classe [Jt., [x tangentes par chacun des points cycliques. Les [o. tangentes issues de l'un des points cycliques rencontrent les u. tangentes issues de l'autre en [j.^ points qui sont des foyers, dont [x sont réels.

En particulier, toute conique a quatre foyers qui sont les sommets d'un quadrilatère dont deux côtés ont pour coefficient angulaire i, le coefficient des deux autres étant égal à — i, pourvu que l'on suppose les axes de coordonnées rectangulaires. En nommant F, F' les foyers réels et cp, tp' les foyers imaginaires, les droites Fcp, F'cp', par exemple, ont pour coefficient i; elles sont donc orthogonales et, par suite, constituent une hyperbole équilatère; pareillement pour Fcp' et F' cp; d'où il suit que toute conique passant par les foyers d'une conique donnée est une hyperbole équilatère. La parabole étant tangente à la droite de l'infini, on voit que cette courbe n'a qu'un foyer à distance finie.

Remarquons encore qu'une tangente isotrope est aussi une normale isotrope; donc, les foyers d'une courbe plane sont aussi des foyers de toutes ses développées et de toutes ses développantes.

La définition des foyers que nous venons de donner n'est pas équivalente à la définition d'Euler, quand la conique dégénère en une droite double.

494. Applications. — i" L'équation du faisceau des tangentes, issues du

point (a, P), à la conique ayant pour équation f{x, y) = o étant

on exprime que ce faisceau est isotrope en écrivant qu'il est du genre cercle; on retrouve ainsi les équations des hyperboles focales.

2° Si dans l'équation y = mx ± ^a*/n*-h b^ on pose m = ± i, on obtient y =.±ix±ci\ ces quatre droites se coupent aux points a = rh c, ^ = o et a = o, ^ =^±ci. On retrouve ainsi les foyers de l'ellipse.

3° En posant /« = i, l'équation y — mx -i^ — ^ devient j' = i Ix — — 1; ce

qui prouve que le point f — j o I est le foyer de la parabole ayant pour équation y^ — ipx — o, les axes étant rectangulaires.

4° Considérons une parabole rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre, 0 étant l'angle de ces deux droites. Soit y^ = xp' x l'équation de cette parabole. Le coefficient angulaire d'une droite isotrope étant — cosG -f- t sinO, si l'on remplace m par cette valeur dans l'équation

d'une tangente v = mx -t- — — » on obtient

y — — cosG I 07 -I- — j -I- t sinO I 3" — ]'■> le point réel de cette droite, c'est-à-dire le foyer, a pour coordonnées

X = —y Y = — p COS 0 .

5" L'équation d'une hyperbole rapportée à ses asymptotes étant

"xxy = o,

le faisceau des tangentes issues de (a, P) a pour équation

Écrivons que l'équation

^xy {-ix'p 1 —{'^x -+-a/)2 = o

r*+ ixy cos6 -f-^^ = o,

est identique à ce qui donne

d'où

cosO

NiEWENOLOWSKi. — G. an., I. 2^

45o CHAPITRE XI\.

On aura les foyers réels en supposant s =+ i, ce qui donne

3 = a=± Vr-

2COSiO

Les directrices correspondantes sont définies par les équations

±(x +y) — c cos J 6 = 0.

Le carré de la distance d'un point (x,y) de la courbe à un foyer réel étant évidemment égal à (a; -hy — c cosi 6)^, l'excentricité a pour valeur

i/'i — a cosO t

ou

sin6 co* 2 ^

Si les axes de l'hyperbole sont a et b, on sait que tangi 0 = -, d'où

, „ rt . . c

cosiO = — ; on retrouve ainsi e = —• 2 c a

49r>. Exprime?' qu'une droite ( u, v^ w) est directice d'une conique ayant pour équation f{x, y) = o. — L'équation du faisceau des tangentes menées à la conique / par les points où elle est rencontrée par la droite (zt, v, w) est

f {x, y) F(«i, P, w) — A {ux -\- vy -{- w)- = o;

il suffit d'écrire que cette équation représente un faisceau isotrope, ce qui donne les conditions

BF(a, p, w) — Amp

cosO

AF(tt, V, w ) — Aa- = GF(a, v, w) — \.vquand les axes sont rectangulaires :

BF(«, p, w) = A.uf,

d'où l'on tire

cette dernière équation exprime que la droite donnée est parallèle à un axe de la conique.

Foyers des coniques rapportées à des coordonnées tangentielles.

496. Trouver les foyers d'une conique dont on donne l'équation tangentielle. — Soient a, ^ les coordonnées d'un foyer F; une droite passant par ce point ayant pour équation

uix — y.)-\-v{y — '^) = 0,

on obtient les directions des tangentes issues de F en remplaçant w par — {uoL-hv^) dans l'équation tangentiellc de la conique, ce qui donne

a jfî -+- a V2 -+- a" ( H a -f- (^ P )* — 2 6 p ( H a -H i> p ) — ib' u{u%-hv^)-+-2b'' uv — o

Le point (a, P) sera un foyer si l'équation précédente est identique à

U--T- v^ — iuv cosO — o,

ce qui donne les conditions

(i) rt a-— 9.//a-+- a = a 82— 26 3-j- a = *- 1— ^ ,

^ ' "^ ' — cosO

et si les axes sont rectangulaires

a"(aî— p2) — -ib' a -h ■?. b '^ -h a — a' = o, a" a.^ — boL — b'^ -r- b" = o.

Si a"— o, ces équations se réduisent au premier degré.

Si a" ^ o, on pourra mettre ces équations sous cette forme

(«"a — 6')2— (a'P — b)^=a"(a'— a) 4- b"^— b'^, ia"% — b'){a''^ — b) = bb'-a''b\

et prendre pour inconnues a" a. — b' et a" ^ — b\ on a ainsi à résoudre un système de la forme x- — y"^ = /«, xy = k.

A9n. Equation tangentielle générale des coniques ayant pour foyer l'origine des coordonnées. — En écrivant que les droites ayant pour équations y -+- tr — o, ^ — i,r = o(axes rectangulaires) sont des tangentes, ou encore en exprimant que les hyperboles focales (a) passent par l'origine, on obtient les conditions a = a', 6"= o. L'équation demandée est donc

( 3 ) a{u--\- v^)-\- a w'^ ■+• ■>. b vw -+- i b' iv u = o.

On voit que cette équation représente le faisceau des coniques tangentes au quadrilatère IJOF, I, J désignant les points cycliques et F le point ayant pour équation i> b' u -h t. bv -\- a" = o et qui est le second foyer réel. Le centre ayant pour coordonnées b', b, a", on devait bien trouver pour coordonnées du second foyer F : 26', 26, a".

On peut mettre l'équation (3) sous une forme remarquable. Observons d'abord qu'on doit supposer a ^ o; par suite, on peut écrire

(u — UQiV)--h(v — t^o *»" )■ = —,'

"o) t^O) — étant des constantes que nous allons déterminer. P- Remarquons d'abord que la polaire de l'origine est définie par les équations /ît= o,/^ = o ou U — Uf^w = o, V — t^otv = o; donc, la directrice a pour équation «0^ ->- ''o^ + 1 = o, ce qui définit les constantes i<o, ^'o- En

second lieu, cherchons les points de rencontre de la conique et de la parallèle à la directrice menée par le foyer. L'équation du n" 433 nous donne, en posant u = Uq, t" = t'o '^ = o,

("o-+-^o) (" — «0^)2 -(-((• — t^o't')^ — ^ —[uo{n — Uo»')-^i'oii^ — i'o»')Y= o.

c'est-à-dire

(«<^0— i'Uo)^— MP^ " ^ " = o.

Les coordonnées des points d'intersection sont donc

et, par suite, x'^-i-y'^^ p^. II en résulte que p est la longueur de la demicorde perpendiculaire à l'axe focal, c'est-à-dire le joara/nèfre c/e laconique.

Équation générale des coniques homofocales à une conique donnée.

498. Si l'on représente par PQ = o l'équation tangentielle d'un système de deux points et par F{u, v, w) = o l'équation tangentielle d'une conique, l'équation du faisceau des coniques inscrites au quadrilatère formé par les tangentes à la conique donnée, issues des points P, Q, est

F(m, r, tv)-hXPQ = o.

Si les points donnés sont les points cycliques, cette équation prend la forme

(i) F{u,i',iv)-^l{u^-i-i''-) = o.

D'ailleurs, si x -h iy -h w = o est une tangente isotrope de la conique F, cette droite sera évidemment aussi tangente à la conique représentée par l'équation (i). Donc, pour toute valeur de X, cette équation représente une conique homofocale à la conique donnée; on peut en outre déterminer une valeur X' de X telle qu'une droite non isotrope («1,1^1, Hfi)soit tangente à la conique (i); donc, si l'on considère une conique G homofocale à la conique donnée et si l'on suppose que la droite {ui, Vi, Wi) soit tangente à G, la conique G' représentée par l'équation (i), dans laquelle X est remplacé par X', et la conique G auront mêmes foyers et une tangente commune, c'est-à-dire cinq tangentes communes; donc l'équation (i) peut représenter toute conique homofocale à la proposée; c'est donc bien l'équation générale demandée.

L'équation

(a2-HX)M2^(62+À)p2 «.2=0

est l'équation générale des coniques homofocales à l'ellipse représentée par

donc, en coordonnées poncliclles, l'équation des coniques homofocalcs à la proposée est

ce qui est d'ailleurs évident.

499. L'équation générale des coniques homofocalcs à la coniqucreprésentée par l'équation générale y( a?, ^) = o est

X y z o ou, en développant,

X^H- l[a''(x--+-y^)— ib'x — iby -h a-h a']-+- f{oc,y) = o.

!1 passe donc, par chaque point du plan, deux coniques homofocales à la proposée. L'enveloppe de ces coniques étant évidemment formée par leurs tangentes communes, l'équation

[a" (x^ -+- y-) — Q. b' X — iby -\- a -4- a']^— 4A/(ar,j') = o

représente les quatre tangentes isotropes. Par suite, si a, [3 et a', P' sont les coordonnées des foyers réels de ces coniques, l'équation précédente pourra se mettre sous la forme

On peut donc trouver les foyers en appliquant la méthode de Descartes pour déterminer les diviseurs du second degré d'un polynôme du quatrième degré.

On peut procéder autrement. L'équation (i) représente un couple d'ombilics du faisceau si le discriminant du premier membre est nul; ce qui

donne

oX'-+(A-+-G)AX-+- A2=o;

en désignant par X' l'une quelconque des racines de cette équation, on aura donc

F(m, p, w) -t- X'(i<2-4 p2) = (jtji -f- f5t> -t- Y(v)(a'« 4- pV -1- y'iv);

a 3 a' S' les coordonnées des foyers correspondants sont -> - et —, > ^»

Si ç(a, »', w) = o est l'équation des points cycliques dans un système de coordonnées trilinéaires, la même méthode permettra de déterminer les foyers de la conique ayant, dans ce système, pour équation tangentielle F(t<, f, w) = o. On écrira que le discriminant de ¥{u,v^ w) + \'^{u, v^ w)

est nul et X' désignant une racine de l'équation obtenue, l'équation

F(i/, (', <v) -f- X'çi(i/, ^>, (v) = o représentera deux des foyers.

500. Théorème. — Pour que deux droites conjuguées par rapport à une conique donnée soient aussi conjuguées par rapport à une conique homofocale, il faut et il suj/it qu'elles soient rectangulaires .

Démonstration évidente.

501. Corollaire I. — Considérons deux coniques homofocales; les tangentes menées à ces coniques par un de leurs points d'intersection sont évidemment conjuguées par rapport à chacune d'elles, et, par suite, elles sont orthogonales. Donc deux coniques homofocales se coupent à angle droit en chacun de leurs points communs.

502. Corollaire II. — Parmi les coniques homofocales à une conique donnée E, il y en a une, et une seule, E', tangente à une droite donnée D. Soit M le point de contact. Cette tangente et la normale D' en M à la conique E' sont conjuguées par rapport à toutes les coniques du faisceau; il en résulte que le lieu des pôles de la droite D par rapport aux coniques du faisceau est la droite D' et, réciproquement, le lieu des pôles de D' est la droite D. Ces droites D, D' sont conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes menées de M à toute conique du faisceau. Parmi les coniques du faisceau qui est un faisceau tangentiel, figure le couple des deux foyers réels F, F' communs à toutes les coniques et l'on s'assure aisément que les droites MF, MF' sont les tangentes issues de M à cette conique singulière. Il suffit en effet de remarquer que l'équation a^u^-+- b'^v^ — w^-\-\{u'^-t-v'^) = o se réduit à c^a^ — H'2 — o si X = — 62. En outre, les tangentes issues du point (a:o, ^o) sont déterminées par l'équation {a'^-\-\) u^-\- {b'^-\-\)v^~ (uxq -H vyoy = o; si X = — b^, cette équation devient c^jt^ — (uxo-h l'yoy = o et se décompose en deux : (c -h Xq) u ■+- vy^— o, (c — x^^) u — vy^ = o; les coefficients angulaires des tangentes cherchées sont donc

- — et ; ce sont précisément ceux de

a^o-i-c Xo — c

MF et de MF'.

De là résultent les propositions suivantes : Soient (yZ^. ng) MT, MT'les tangentes, issues d'un point M, à une conique du faisceau; les bissectrices des angles formés par ces tangentes sont la tangente et la normale aux coniques du faisceau qui passent par M et, en outre, les angles FMT et F'MT' sont égaux, de sorte que

la tangente et la normale en M sont les bissectrices des angles formés par

les rayons vecteurs.

Fis.

iig.

THÉORIE DKS FOYERS,

Équation focale, l'origine des coordonnées étant un foyer.

503. Si l'on rapporte une conique à deux axes rectangulaires menés par un foyer réel, son équation peut se mettre sous la forme

Y = o représentant la directrice relative à ce foyer. Il en résulte que le triangle formé par deux droites rectangulaires issues d'un foyer et par la directrice correspondante est un triangle conjuguée la conique donnée; en d'autres termes, la polaire d'un point D de la directrice est la perpendiculaire à la droite FD, menée par le foyer F et, par suite, deux droites rectangulaires menées par un foyer sont conjuguées par rapport à la conique. On peut vérifier ce résultat en remarquant que deux droites rectangulaires menées par un foyer sont conjuguées par rapport aux droites isotropes issues de ce foyer, et comme ces dernières sont tangentes à la conique, les deux droites considérées sont conjuguées par rapport à cette conique. Réciproquement, si les côtés de tout angle droit dont le sommet est un point donné F sont conjuguées par rapport à cette conique, les tangentes issues de F sont isotropes et, par suite, F est un foyer. Ce théorème a été trouvé par La Hire.

Fif

riOi. L'équation (i) est vérifiée en posant a* — y coso, ^ = y sincp; on voit donc que si l'on prend pour triangle de référence le triangle formé par les axes de coordonnées et par la directrice considérée, on peut dire qu'un point M de la conique donnée a pour coordonnées trilinéaires cosç, sinç, I. Nous désignerons ce point M par la lettre ç. Le point o et le point tp -4- t: qui a pour coordonnées — costf, — sin», I sont sur la droite passant par le foyer F et qui a pour équation y = x tango. On peut supposer que cp est l'angle (FX, FM).

Soient o, ç' les paramètres de deux points M, M'; on trouve pour la corde MM' (y?^. l'io) l'équation

X cos ■ — h y sm -! : Y cos — = o.

La tangente en M a pour équation

(2) a? coscp -f-^ sinç — '( = o.

La tangente en M' a, de même, pour équation

(3) ar coso'-hj' sincp' — -^ = o.

En retranchant membre à membre et simplifiant, on obtient l'équalion

. O -f- Cp' CD -4- çp'

{4) arsin-! ■ y cos-^ *- = o,

qui représente la droite FP passant par le foyer F et par le point de concours des tangentes en M et M'. On voit ainsi que FP est la bissectrice de l'angle MFM'. La droite FD, qui passe par le point de rencontre de MM' et de la directrice, a pour équation

X cos-^ ~ — \- y sin-i = o.

Si l'on suppose l'angle MFM' constant et égal à w, l'équation (3) peut s'écrire, en posant ç' — cp = w,

costx>(x coso -^y ?ino) -^ s[n(M {y cos<p — ce sincp) = y-

On aura donc l'équation du lieu de P en éliminant o entre l'équation (2) et

celle-ci :

y COS9 — J7 sin cp = Y tang^w.

Ce lieu est donc une conique ayant pour équation

x^--j^y'-= Y-(i-Htang2 1.w)

et, par suite, ayant même foyer et même directrice que la proposée, mais une excentricité différente.

La droite MM' ayant alors pour équation

/ toX . / w\ to

X cos ( cî -1 1 -t- jK sin ( 'f -1 I = Y cos —

enveloppe la conique ayant pour équation

X'-h y^ = Y^ cos- 1 w.

Ainsi, toute corde vue du foyer d'une conique sous un angle constant enveloppe une conique et son pôle décrit aussi une conique^ ces coniques ayant en commun un foyer et la directrice correspondante.

50o. Pour mettre l'excentricité en évidence, écrivons l'équation de la conique de cette manière :

en posant

y = X cos a -t- j' sin a — — ■>

p désignant le paramètre. L'équation tangentielle est

Or, si l'on pose

ux ■+■ vy -+- i^Y = u' X ■+■ v'y -t- w\ on obtient

c ce u=u' cosa.tv', V = v' sina.w', w = tv';

donc, l'équation tangentielle rapportée aux coordonnées cartésiennes devient, en supprimant les accents,

e V / e . Y cr2

u cosa,(^' -h { i> — — sina,»' = — :

c'est l'équation que nous avons déjà obtenue (497}.

506. Nous avons établi géométriquement (428) que la polaire réciproque d'un cercle par rapport à un cercle est une conique; nous donnerons ici une démonstration analytique de ce théorème important.

Soient x--hy- — R^ = o et (x — dy-\-y^ — /■* = o les équations du cercle directeur D et d'un second cercle G. En écrivant que la polaire du point (x, y) par rapport à D est tangente au cercle G, on obtient immédiatement l'équation de la polaire réciproque de G :

Réciproquement, soit

^2{j2 e^{x — hy-

l'équation d'une conique G'; son équation tangentielle est