TT
La polaire de (j7, y) par rapport à D sera donc tangente à cette conique si
Telle est l'équation de la polaire réciproque cherchée.
Il est bon d'observer que les polaires des points cycliques par rapport à D étant les droites isotropes issues du centre de D, les tangentes à G' issues de ce point sont isotropes; donc, le centre de D est un foyer de G'. En outre, au point de concours w des asymptotes de G correspond la polaire de O par rapport à G'; la directrice est donc la polaire de w par rapport à D. Réciproquement, les pôles des tangentes issues de 0 à la conique G' sont les points cycliques; par suite, G est un cercle, etc.
EXERCICES
1. La distance d'un point pris M sur une hyperbole à l'une des directrices, cette distance étant comptée parallèlement à une asymptote, est égale à la distance du même point au foyer correspondant.
2. Lieu des foyers des coniques qui passent par deux points donnés A, B et dont les asymptotes ont des directions données.
On trouve deux coniques ayant pour foyers les points A et B. Résoudre cette question par le calcul et par la Géométrie.
3. Lieu des foyers des hyperboles d'Apollonius relatives à une conique donnée et à un point P, ce point décrivant une droite fixe.
A. Lieu du sommet d'une parabole passant par un point donné et dont le foyer est un point donné. Montrer que ce lieu est une épicycloïde.
5. Le lieu des foyers des coniques qui passent par quatre points A, B, G, D d'un cercle est aussi le lieu de l'intersection de deux coniques semblables ayant pour foyers les points A, B et G, D. Ce lieu se compose de deux cubiques circulaires. (Fal're.)
6. Etant donnée l'équation cr^-i-y^= e^y^, trouver l'équation de la directrice parallèle à celle qui a pour équation y = o.
7. Former l'équation du faisceau des quatre directrices d'une conique rapportée à des axes quelconques.
8. Étant donnée l'équation d'une conique rapportée à deux axes quelconques, calculer l'excentricité. En prenant pour inconnue i — e^ on a une équation réciproque.
9. Un cercle tangent aux deux branches d'une hyperbole est vu d'un foyer réel sous un angle constant.
10. Si une conique est bitangente à deux cercles dont les cordes de contact sont perpendiculaires, le point de concours de ces cordes a même polaire par rapport aux deux cercles focaux considérés et à la conique.
11. Lieu des foyers des coniques bitangentes à deux cercles (on trouve cinq cercles).
12. Le quadrilatère formé par les tangentes menées à une conique par deux points d'une conique homofocale est circonscriptible à un cercle. (Chasles.)
13. Étant données deux coniques homofocales G, Gi, et une conique C2 bitangente à G, prouver que le quadrilatère formé par les tangentes communes à Gj et à G2 est circonscriptible à un cercle.
14. Étant données deux coniques homofocales, on mène une tangente à la première et une tangente à la seconde; lieu du point de concours de ces tangentes supposées rectangulaires.
15. Lieu des foyers des coniques qui ont un centre fixe et touchent une droite fixe en un point donné.
16. On donne un triangle ABG et une ellipse qui a pour foyers les deux
points B et C; trouver le lieu des seconds foyers des ellipses inscrites au triangle ABC et dont un foyer est sur l'ellipse donnée. (Lbuoine.)
17. Une hyperbole variable a, avec une ellipse donnée, un système de diamètres conjugués communs en grandeur et en position. Chercher le lieu des foyers de l'hyperbole. (Mantel.)
18. Un diamètre d'une ellipse est donné en grandeur et en position; son conjugué est donné en grandeur seulement. Trouver le lieu des foyers.
19. Appliquer la méthode du n° 499 à l'équation réduite d'une conique.
20. Lieu du second foyer d'une conique qui a un foyer donné et passe par deux points donnés.
Équation en )w 307. Soient
(i) f {x, y, z)^ Ax- -i-A'y- -i- X"z' + -iliyz -^ 'j.ii' zx -h 9.li"xy = o, (2) /j (x, y, z) = Ai3-2| A',^2^ A.'( z--{- i.\^iyz ■+- 2B', zx -4- aBj xy = o
les équations de deux coniques. L'équation /-i- X/i = o représentera un couple de droites, si X est racine de l'équation du troisième degré :
A+ÀA, B'+XB'; B'-f-XB'i
b'+xb; a'-+-xa; b -^xb,
B'-+-XB'i B +XBi A"4-XA';
Ces deux droites constituent un système de sécantes communes aux deux coniques. H y a donc, en général, trois systèmes de sécantes communes à deux coniques données.
En désignant par A et Ai les discriminants de/et/j, on trouve, en développant F (X) :
F(X) = A-+-eX -+-e,X2-HA,x»
(') Voir G. Kœnigs, Leçons de l'Agrégation.
46o CHAPITRE XX.
OU, en vertu de la formule de Taylor,
Q = Aia-h A\a'-h A'[a"-\- "iBib -¥■ 2B\b'^ aBjô",
a, a', . . ., a" étant les mineurs de A. On en conclut, en remarquant que 61 est le coefficient de c- dans le développement de F f y j ,
61 = Aai-t- A'a'1-1- A" aï -h iBbi-i- -iB' b\-h 2B"b'[. Cela étant, on trouve immédiatement
(5) F'(X) = aAi-i-«'A' -+-a"AÎ^-•2pB,-^ •iP'B'iH- a^'B';,
a, a', a", p, ^', p" désignant les mineurs de F(X) pris avec des signes convenables.
On a ensuite
Mais
Ai= Kiai-JrB'[bl-4-B\b\, \i = Blb'[-hA\a\-\-Bibi, li=B\b\+Bibi-h X'[a'[,
ce qui donne, en ajoutant membre à membre ces quatre équations, les deux membres des trois dernières étant d'abord multipliés par X et 0i étant remplacé par sa valeur,
„ j |F"(>.) = rA + XAi)ai4-(A'+XA'i)a'i + (A"+XAï)«ï ^ i -4-2(B + XBi)6i+2(B'+XBi)6i + 2(B"-t-XB';)èï.
Cela posé, si tous les mineurs de F(X) sont nuls, y+Xyi est un carré parfait et l'équation y^+ X/j = o représente une droite double. On sait d'ailleurs que si F(X) = o, pour que tous les mineurs du premier ordre soient nuls, il faut et il suffit que a= a'= a"= o. Si l'un au moins de ces mineurs prend une valeur différente de zéro, quand on y remplace X par une racine de l'équation F(X) = o, l'équation f-\-\fi=:o représente deux droites distinctes. D'une manière générale, si X est une racine de cette équation, la conique singulière /-f- X/i a un point double dont les coordonnées ce, y, z sont déterminées par les équations
ox ùx Oy ()y oz uz
Ce point double est unique dans le cas où l'un des mineurs a, a' ou a" est différent de zéro. S'il en est ainsi, on a, comme on le sait,
aiu^-\- ai v"^ -^ d" w- -\- 'i^vw -^ 1'^' wa-\- i'^" iw =s k {ux -^ vy -h wzy,
k étant une constante différente de zéro, de sorte que
.„ , x'^ ^ y"^ z''- yz zx xy i
SÉCANTES COMMUNES A DEUX CONIQUES. ^6l
Remarquons encore que si F(X) = o, on a
/-f-X/, = (u,a7-f- f|jK-f- iViz)(UiX-^i>iy-^ »'2Z);
donc, en identifiant
A -+- X Al = «1^2, A'-H X A', = t'if2) A'-i- X A'|[ = (V, (i^j, ■^(B -(- XBi ) = fjWj -(- wiVi,
2(B'-f- XB'j ) = U'i Mj-t- UiH'i,
2(B"-i- XB'O = 111^2 -+■ Vi Ui, et, par suite, on a alors
1 F"(X) = aiUiUi-ha\i>iVi-i- a, «vj tvj-H- 6|((^i «'2-(-WtC2)
( -+- b\{wiUî-i- UiWi)-^- b\{UiVi-h ViUi)
Si les deux droites sont confondues, de sorte que
on a, dans ce cas,
(lo) |F"(^) = k {ai u^^ -h a'ivl -+- a'[w\ ■+- î>,6,c, «',-4- jô', 4v,ai-4- 261 «1^1).
508. Théorème I. — Un point double du faisceau admet la même polaire par rapport à toutes les coniques du faisceau, et réciproquement.
En effet, soit X' une racine de l'équation (3); les coordonnées x, y, z d'un point double de la conique y-<- X'/, vérifiant les équations (7), l'équation
peut s'écrire
a-^')[xgH-v|-.zg]=o,
ce qui démontre la proposition directe. Réciproquement, pour que l'équation (11) représente une droite indépendante de la valeur de X, il faut évidemment que les dérivées de /soient proportionnelles à celles de/i, de sorte
que — X' étant le coefficient de proportionnalité : -^ -\-\' ~- =0, etc., ce
qui exprime que x, y, z doit être un point double de/-f- \'fu de sorte que F(X') = o. La recherche des pôles doubles, c'est-à-dire des points ayant même polaire par rapport à deux coniques, est donc ramenée à celle de leurs sécantes communes.
509. Théorème II. — Deux points doubles œ, 10', appartenant à deux coniques singulières distinctes /-l-X'/i, f-h^fi, sont conjugués par rapporta toutes les coniques du faisceau.
Soient ,r, y^ z et x' ^ y', z' les coordonnées de w et lo'. Posons
Of df df ,()/ ,df ,df
Ox "^ dy dz dx -^ dy dz
àfi àf, dfy ,dfy ,df^ ,dfi
dx ay dz ox dy dz
Des équations (7), où l'on remplace X par X', puis par X", on déduit
et, comme X' — "k" ^ o, il en résulte que L = o, M = o, et aussi L -1- XM = o, quel que soit X; ce qui exprime précisément que w et 10' sont conjugués par rapport à/-i-X/i.
510. Théorème III. — Si X est une racine double de l'équation F(X) = o, qui n'annule pas tous les niineui'S du premier ordre de F(X), la conique f -\- X/i se compose de deux droites distinctes qui se coupent en un point commun à toutes les droites du faisceau, et réciproquement. Si la racine est triple, l'une de ces droites est une tangente commune aux coniques du faisceau.
En effet, F(X) étant nul, /"-i- Xj^i = o représente deux droites distinctes, puisque les mineurs de F(X) ne sont pas tous nuls. Mais, X étant racine multiple, F'(X) = o, en désignant par Xi, yi, zi les coordonnées du point double dey*+ Xy*!, on a, si l'on tient compte des équations (5) et (8),
(l'O F'(X) = /:/(a;,, ji,5i);
donc/(^,, jKi,^i) = o et aussi /i (^Tj, ji, 21 ) = «•
Réciproquement, si f-\- X/j = o représente deux droites distinctes se coupant en un point commun à / et fi, on a F(X) = o, puisque /-t- \fi est le produit de deux facteurs du premier degré. En second lieu, les mineurs a, a', a", ... ne sont pas tous nuls, puisque ces facteurs sont distincts, et enfin F'(X) = o, en vertu de l'identité (12).
Il convient, toutefois, de remarquer que nous avons supposé la racine X finie; on peut toujours supposer qu'il en est ainsi, c'est-à-dire que Aj soit différent de zéro, à moins de supposer que f et fi soient des coniques dégénérées, et l'on peut laisser de côté ce cas particulier.
Supposons maintenant que X soit racine triple, mais que l'un des mineurs, oc par exemple, soit différent de zéro. Dans ce cas, l'identité (9) montre que la condition F''(X) — o exprime que les droites P, Q du couple/-!- X/i sont conjuguées par rapport à /i. En outre, ces droites, étant distinctes, se coupent en un point w commun à / et /i. Si la droite Q n'est pas tangente kfi, son pôle est sur la tangente au point co à/i, d'où il résulte que P, conjuguée de Q, est la tangente à /i au point w. En outre, w a même polaire par rapport aux coniques du faisceau; donc P est la tangente commune, au point w, à toutes les coniques du faisceau.
SÉCANTKS COMMU.NKS A DEL'X CONIQUES. 463
Si les deux droites étaient confondues, l'identité (lo) montre quey4-X/*| = o représenterait alors une droite double tangente à /i au point w. Mais w ayant même polaire par rapport aux coniques du faisceau, la tangente au point w àyi serait tangente au même point à toutes les coniques du faisceau.
oH. TiiKomÏME IV. — A deux racines distinctes de l'équation F(X) = o, correspondent deux couples distincts et n'ayant aucune droite commune.
En effet, si l'on suppose X ^ X', de l'identité
/+X/.^ia(/+X'/.), ]x désignant une constante, on déduirait
(i-!^)/=(hV-X)/,.
L'hypothèse ;ji = î entraînerait y"i ïs o; si l'on supposait ;j.X' — X = o, on auraity^ o; enfin si iJL — i^o,\i\' — X ^ o, les coniques y et y*! seraient identiques. Nous écartons tous ces cas particuliers.
Supposons maintenant
/-+-X/,^PQ, /^-X'/i^PR, P, Q, R étant des fonctions linéaires; on en déduirait
P(XR — X'Q) P(Q R)
/= T^TÏ' ' /'= X-X'~'
par conséquent, les coniques /, fi seraient toutes les deux dégénérées en couples de droites et auraient une droite commune; on pourrait donc poser f= PPi,yi = PP2, Pi et P2 étant deux fonctions linéaires. Mais dans ce cas, quelle que soit la valeur de X, f-'r-Xfi serait un produit de facteurs du premier degré, et, par suite, F(X) serait identiquement nul. Nous écartons encore ce cas particulier.
312. Théorème \ . — i" Lorsque les coefficients de f et de fi sont tous réels, à toute racine réelle de V équation F(X) = o correspond un couple de droites réelles ou imaginaires conjuguées; 2" à toute racine imaginaire correspond un couple formé de deux droites imaginaires non conjuguées.
Si X est une racine réelle de F(X) = o, les coefficients 'ley*-+-Xyi sont réels : donc/ 4- X/i = o représente, comme on le sait, deu\ droites réelles ou imaginaires conjuguées.
Soit maintenant \ = p -\- q i\ je dis que /-H X/i = o ne peut représenter deux droites réelles ou deux droites imaginaires conjuguées, car on aurait
d'où
qf.^n (P2+EQ2),
d'ailleurs n ^ o, sans quoi/i serait identiquement nul ; on aurait donc
de soRle que/^o ou bien y serait proportionnel à f\\ cas particulier déjà écarté.
Enfin, on vérifiera de la même manière que l'on ne saurait supposer
P, Q, R étant réels; donc enfin, à toute racine imaginaire /> -+- ^ri correspond un couple de droites imaginaires toutes les deux et non conjuguées. Ainsi
et, par suite,
/ + (/> — 5-0/1 =PoQo,
Pq et Qo étant les polynômes respectivement conjugués de P et de Q.
513. Théorème VI. — A une racine simple correspond un couple formé de deux droites distinctes.
Car, si X est racine simple, les mineurs de F(X) ne peuvent être tous nuis sans quoi F'(X) serait nul; doncy-i- Xfi n'est pas un carré.
Rappelons enfin que tout point commun à f el fi est un point commun à toutes les coniques du faisceau, et que si y et^i sont tangentes en un point A toutes les coniques du faisceau leur sont tangentes au même point (447).
Discussion de l'intersection de deux coniques.
514. Nous laisserons d'abord de côté ce qui concerne la réalité; nous distinguerons cinq cas :
Premier cas : Trois racines distinctes Xj, X2, X3. — On peut poser
/+X,/i = PiQ,, /+X,/,.^P,Q„ /+X3/i=P,Q3,
Pi) Qi5 •••> Q3 désignant des fonctions linéaires. La racine Xi étant simple, Pi et Qi sont distincts ; de même pour P2, Q2 et P3, Q3 ; enfin les trois racines étant distinctes, les six droites obtenues sont distinctes. Aucune des droites d'un couple ne peut passer par le point de concours des droites d'un autre couple, puisque les racines sont simples. Les deux premiers couples, par exemple, forment un quadrilatère ABGD, AB étant la droite Pi, CD la droite Qi, BG la droite P2 et enfin AD la droite Q2. Les deux coniques se coupent aux
quatre points A, B, G, D et toute conique du faisceau passe par ces quatre points; il en résulte que les droites AG, BD constituent le troisième couple. G'est d'ailleurs ce que l'on vérifie en remarquant que
(X,X,)P3Q3=(X3-X2)PlQl+(>M-)^3)PîQ2.
Plus généralement, l'identité
fait bien voir que toutes les coniques du faisceau sont circonscrites au quadrilatère ABGD.
Remarquons enfin que les points doubles des trois couples de sécantes forment un triangle conjugué commun aux coniques du faisceau.
Deuxième cas : Une racine double Xi n'annulant pas tous les mineurs du premier ordre et une racine simple X^. — A la racine double Xj correspond un couple de droites distinctes Pj, Qi se coupant en un point w commun aux coniques du faisceau; à la racine X2 correspondent aussi deux droites P2, Q2- Soit a>' le point commun à ces deux droites; je dis que l'une d'elles est précisément la droite ww'. En effet, le point 10 est sur toutes les coniques du faisceau, et, par suite, sur l'une des droites du second couple; donc, la polaire de w est une tangente commune en w à toutes ces coniques. De plus, o) et o)' étant conjugués, to' est sur la tangente commune au point w. Ainsi, en résumé, les coniques y", /"i sont tangentes en un point oj, la tangente étant la droite P2 par exemple; les droites Pi, Qi passent par w et la droite Q2 coupe ces deux droites en deux autres points communs à toutes les coniques du faisceau. Il est facile de vérifier que les deux coniques n'ont pas de triangle conjugué commun.
Troisième cas : Une racine double Xi annulant tous les mineurs et une racine simple X2. — Le couple correspondant à la racine Xj se réduit à une droite double Pi. Soient P2, Q2 les droites qui correspondent à X*, (o' étant leur point de concours. Tout point de Pi est un point double, et, par suite, est conjugué de w'; donc Pi est la polaire de to' dans toutes les coniques. D'ailleurs Pi n'est pas une tangente, sans quoi son pôle to' appartiendrait à toutes lefi coniques et X2 serait une racine multiple. Les droites P2, Q2 coupent donc Pi en deux points distincts qui appartiennent à toutes les coniques; il en résulte évidemment que les coniques sont tangentes en ces points. Et, d'ailleurs, on a
/+Xi/i^P^ /+X2/i^P2Q2:
donc les équations des deux coniques peuvent se mettre sous la forme
X1P2Q2-X2PÏ =0 et P2Q2— Pï=o.
Ainsi, dans le cas présent, les coniques sont tangentes en deux points distincts A, B. Ajoutons qu'il y a une infinité de triangles conjugués communs, NiEWENGLOWSKi. — G. an., I. 3o
dont un sommet est le point w', les deux autres sommets de l'un quelconque de ces triangles étant deux points conjugués par rapport au segment AB.
Quatrième cas : Une racine triple Xi n'annulant pas tous les mineurs. — Le couple correspondant à la racine \i est formé de deux droites distinctes se coupant en un point to ; l'une d'elles est tangente commune au point tu, aux coniques du faisceau (510). Donc, dans ce cas, les deux coniques ont un contact du second ordre au point to et se coupent en outre en un autre point.
Cinquième cas : Une racine triple Xi annulant tous les mineurs. — Le couple correspondant à Xi se compose de deux droites confondues en une seule Pi, de sorte que y-+- Xi/i ;s Pf . Mais Pi est tangente à fi, on en conclut queyet^i ont un contact du troisième ordre sur la tangente Pi (448).
On remarquera que dans ces deux derniers cas il n'y a pas de triangle conjugué commun.
Cas où l'équation en X est indéterminée.
515. Supposons que f -\- Xfi soit un produit de deux facteurs du premier degré quel que soit X; on voit déjà que f=o elfi = o représentent des couples de droites. Si f-^^fi est un carré pour toutes les valeurs de X, on a /^ P^, y*!^ P| ; or P2-1- X Pf ne peut être un carré parfait pour toutes les valeurs de X, à moins de supposer Pi^ AP, k étant une constante. Dans ce cas / et /i se réduiraient à une même droite double et F(X) serait identiquement nul. Laissant ce premier cas de côté, soit w un point double de la conique f-T-^f\ '• l'identité F(X) = o donne F(X)^o; donc on voit, comme plus haut, que le point double appartient aux coniques/ et /i. Gela étant, il faut distinguer deux cas :
1° Le point double est indépendant de X. Dans ce cas, toute conique du faisceau se compose de deux droites issues d'un point déterminé; on a, par
exemple,
/^PQ, /l^aP2^^,PQ-^cQ^ et par suite
/h- X/i ^ a P2 + ( 6 -+- X )PQ -+- c Q2.
1° Le point double dépend de X. Soient P, Q et Pi, Qi deux couples de droites du faisceau, w étant le point de concours des deux premières et w' celui des deux autres. Tous les points doubles sont nécessairement des points communs à toutes les coniques du faisceau, puisque F'(X)^o. Donc uu est sur l'une des droites Pi ou Qi et w' sur P ou sur Q; ww' est une droite commune aux deux couples. Supposons que P et Pi soient confondues avec low'; on a ainsi, pour des valeurs convenables de X,
Z+X'/i^PQ, /+X'7.sPQi, d'où
(X'-X")(/+X/i)^[(X-X")Q + (X'-X)Qi]P.
On voit ainsi qu'il y a une infinité de points doubles sur la droite P, et un autre point double isolé, intersection des droites Q, Qi.
Discussion relative à la réalité.
Nous supposons les coefficients de /ci de/i réel?.
r>lG. Dans le premier cas, les trois racines étant distinctes, l'équation F(X) = o peut avoir :
(A) Trois racines réelles. — Nous avons pose
/-hX,/i^P,Q,, f-hliA^PiQ,;
et nous savons que le couple qui correspond à une racine réelle se compose de deux droites réelles ou imaginaires conjuguées. i° Si les quatre droites Pj» Qi' Pî» Qî sont réelles, les quatre points A, B, C, D sont réels et par suite le troisième couple P3, Q3, formé par les droites AC, BD est réel. Les coniques se coupent donc, dans ce cas, en quatre points réels distincts; il y a trois couples de sécantes réelles, et un triangle aulopolaire commun réel.
2° Supposons Pi, Qi réelles et Pj, Q2 imaginaires conjuguées; les points A, B, C, D sont imaginaires. En effet, le point de concours wj des droites Pj, Q2 étant réel, il ne peut y avoir aucun autre point réel sur aucune de ces deux droites. On voit que, AB étant la droite Pi et CD la droite Pj, A et B sont conjugués ainsi que G et D; le troisième couple AC, BD est formé de droites imaginaires conjuguées.
3° Supposons Pi, Qi imaginaires conjuguées ainsi que P2 et Q2; on voit, comme précédemment, que les quatre points A, B, G, D sont encore imaginaires; les points A, intersection de Pi et de Q2, et G, intersection de P2 et de Qi, sont imaginaires conjugués; il en est de même des points B et D et par suite les sécantes AG et BD sont réelles. Nous pouvons donc énoncer ce théorème :
Si les trois racines de l'équation F(X) = o sont réelles et inégales, les coniques f et /y se coupent en quatre points distincts réels, ou en quatre points imaginaires conjugués deux à deux, et admettent un triangle conjugué commun réel. >
(B) Une racine réelle et deux racines imaginaires conjuguées. — Soient \\ la racine réelle el 1^ = p-h qi, X3 = /> — qi les racines imaginaires. On a /-h- X2/1 = PQ, /-•- ^3/1 = PoQo, P = o, Q = o représentant deux droites imaginaires non conjuguées, Pq, Qo étant les polynômes respectivement conjugués de P et de Q. Les points (P, Pq) et (Q,Qo) sont réels : désignons-les par A et B. Les points (P, Qo) et (Pq, Q) sont imaginaires conjugués : désignons-les par G et D. Ges points ne peuvent être réels, car A et G sont distincts; si G était réel, la droite AG, c'est-à-dire P, serait réelle. Le troisième couple, qui correspond à la racine Xi, est composé des droites AB, GD; il est donc réel. Ainsi, quand l'équation en X a une seule racine réelle, les deux coniques se coupent en deux points réels et distincts et en
458 CUAPITKE XX.
deux points imaginaires conjugués. Le triangle conjugué commun a un sommet réel et deux sommets imaginaires conjugués. Remarquons enfin que, dans le cas des trois racines distinctes, il y a un ou trois couples de sécantes réelles (i).
Deuxième cas : Une racine double Xi n' annulant pas tous les mineurs. — La racine simple X2, qui est réelle ainsi que la racine Xj, donne deux droites réelles, car l'une d'elles est la tangente commune au point w, lequel est nécessairement réel comme étant l'intersection de deux droites réelles ou imaginaires conjuguées; mais, nous venons de le dire, les droites du couple correspondant à la racine double peuvent être réelles ou imaginaires conjuguées. Dans le premier cas, les coniques se touchent en un point réel, et se coupent en deux autres points réels; dans le second cas elles se touchent en un point réel et se coupent en deux autres points imaginaires conjugués.
Troisième cas : La racine double annule tous les mineurs ; / -\-Afi ^sP^ ; P est à coefficients réels; les deux coniques sont bitangentes, la corde des contacts étant toujours réelle, mais pouvant couper les coniques en deux points réels ou en deux points imaginaires conjugués. Dans le premier cas, le couple correspondant à la racine simple est réel et formé de deux tangentes communes; dans le second cas, de deux tangentes communes imaginaires conjuguées.
Dans le quatrième et le cinquième cas, les sécantes sont nécessairement réelles, car le point de contact, étant unique, est réel.
On voit encore aisément que si les coniques sont réduites à deux droites et ont une droite commune, elles sont composées de droites réelles; mais cela n'est plus nécessaire quand elles se réduisent à deux faisceaux de droites issues d'un même point.
Invariants relatifs à l'équation en X.
517. Les racines de l'équation en X restent invariables quand on soumet f{x,y,z) et fi(x, y, z) à une même substitution linéaire; cela résulte de ce que F(X) étant le discriminant de la forme/-)- X/i devient, après la substitution, F(X).;j.2, fx étant le module. Il en résulte que 6 et 0i sont des invariants simultanés des formes / et f^. Toute relation entre les racines de l'équation F (X) = o exprime une propriété géométrique des coniques données.
Si, en rapportant les deux coniques à deux systèmes différents de coordonnées, on a f{x, y, z) = hF(X, Y, Z), /i(^, y, z) = AiFi(X, Y, Z), h et hi étant deux constantes, l'identité
f{x, y, z) + lf,(x, y,z)^h [f (X, Y, Z) -t- ^^' F,(X, Y, Z)j
(') Voir une démonstration purement algébrique et directe dans le Traité de Géométrie analytique de M. H. Picquet, page 465.
montre que les racines de l'équation obtenue en égalant à zéro le discriminant de F (X, Y, Z) -H XFi(X, Y, Z) sont égales à celles de l'équation
F(X) = o multipliées par la constante -r^ ; donc toute relation homogène
entre les racines de l'équation F(X)=o subsistera, quels que soient les systèmes de coordonnées ponctuelles employées.
518, Applications. — i° Pour exprimer que deux coniques sont tangentes, il suffit d'exprimer que l'équation en X relative à ces deux coniques a une racine double. La condition cherchée est donc
(gAA, — ee,)2— 4(3Ae, — e2)(3A,e— ef) = o;
le premier membre de cette équation est un invariant. 2" Nous avons trouvé la formule
0 =^ Aia -H A'i a'-j- A'J a" -\- •>. Bj ^ -!- iB', 6'-+- 2B'( 6";
donc, si l'on suppose
on a 0 = o. Ces conditions expriment qne le triangle de référence est conjugué à la première conique et inscrit à la seconde. En outre, si l'on suppose que la seconde conique passe par deux sommets d'un triangle conjugué à la première, c'est-à-dire si, par exemple. Ai — o et A'j = o ; si, en outre, on suppose 0=0, elle passera par le troisième sommet. En vertu des hypothèses, on a, en effet, Aia''=o; or, on ne peut supposer a" = o si la conique/ est une conique proprement dite : donc K'[ = o.
Gela étant, prenons sur la conique fi un point quelconque A et soient B et G les points où la polaire de A par rapport à la conique f coupe la conique fi. Je dis que ABC est autopolaire par rapport à y si l'on suppose 0 = o. En effet, s'il en était autrement, la polaire de B couperait BG en un point G' et le triangle ABC' serait conjugué à la conique/. Or, la conique /, passe par A et B, donc elle passe aussi par G', ce qui prouve que G' est confondu avec G. Remarquons que la condition 0 = o, qui exprime que la somme des inverses des racines de l'équation en X est nulle, est indépendante du système de coordonnées auquel on rapporte les deux coniques; on peut donc énoncer le théorème suivant: Etant données deux coniques f et f\, si la conique fi est circonscrite à un triangle conjugué à la première conique, on a S = 0 et, réciproquement, si cette condition est remplie, il y a une infinité de triangles conjugués par rapport à la première conique et inscrits à la seconde.
Les côtés d'un pareil triangle coupent les deux coniques en quatre points formant une division harmonique. On dit alors que la conique/i est harmoniquement circonscrite à la conique/.
En second lieu, on a encore 0 = o si l'on suppose
a = a' = a''=o, Bj = B', = B'J = o
et, réciproquement, si l'on suppose 6 = o et a = «'= o; on en déduit «"= o.
Donc, on peut aussi énoncer cette proposition : S'il y a un triangle conjugué à la conique f y et circonscrit à la conique f, on a 6 = 0 et, réciproquement, si cette condition est remplie, on verra, en raisonnant comme dans le cas précédent, qu'il existe une infinité de triangles conjugués à fi et circonscrits à f. On dit alors que f est harmoniquement inscrite a fi-
On a donc ce théorème : Quand une conique f\ est harmoniquement circonscrite à une conique f, inversement la conique f est harmoniquement inscrite à f^.
On verra de même que la condition pour que f soit harmoniquement circonscrite a fi et, par suite, pour quey*! soit harmoniquement inscrite à/est 01 = 0.
Recherche des ombilics de deux coniques données.
ol9. On nomme ombilic le point de concours de deux tangentes communes à deux coniques. La recherche des ombilics se ramène à celle des sécantes communes. En effet, soit w un ombilic du système de coniques G, Ci; transformons la figure par polaires réciproques. A une tangente T commune à G et Gi et passant par w, correspond un point t' commun à leurs polaires réciproques G' et G'i; à la seconde tangente Ti, issue de w, correspond un second point t\ commun à G' et G',; au point co correspond donc la sécante t' t\, commune aux coniques G', G',. Réciproquement, à toute sécante commune à ces coniques correspond un ombilic de G et Gj. Les coniques G', G', ont, en général, trois systèmes de sécantes communes; donc, G et Gi ont trois couples d'ombilics; en tout six ombilics.
La recherche directe ne présente d'ailleurs aucune difficulté. Soient, en effet, cp(a, f, (v) = o, cpi(M, p, w) = o les équations tangentielles des deux coniques; l'équation tf (m, v, «') -^\^i{u,v,w) = o est l'équation générale des coniques tangentes aux tangentes communes de G et Gi. Si, pour une valeur particulière de X, le premier membre de l'équation précédente est un produit de deux facteurs linéaires, cette équation représentera, pour cette valeur de X. un couple d'ombilics.
Supposons, en effet, que
une tangente à la première conique passant par le point (xi, yi, Zi) sera aussi tangente à la seconde, car si l'on a ç («, v, w) = o, ux^-h fj'i-i- wzi = o, on en déduit X'cfi(M, p, w) = o. Or, on doit supposer X'^o, sans quoi u, V, w) = o représenterait deux points; donc, (fi(u, v, w) = o. On connaîtra donc tous les ombilics si l'on sait résoudre l'équation du troisième degré 'ï'(X) = o, obtenue en égalant à zéro le discriminant de
tv(u,i>, w) -h \cfi(u, V, w).
Or, il y a entre les racines des équations F(X) = o et '1>(X) = o une relation simple. Supposons que
o(«, f, w) = ««Î-4-. . ., cp,(K, i^, tj^) = aiî<î-f-. . ,,
a, . . . , «1, . . . étant respectivement les mineurs du premier ordre des discriminants A, Al des premiers membres /(:r, jk, z) clfi{x,y,z) des équations ponctuelles de G et Ci. Pour éviter toute confusion, formons le discriminant de 9(m, V, w) -4- [xcpi(a, v, w). Le discriminant de <p («, v, w) est le déterminant adjoint de A, il est donc égal à A* ; en second lieu, les formules de Gauss (voir Cours d'Algèbre, t. H, p. 196) permettent de calculer les mineurs du déterminant adjoint. Il en résulte que
* ( fji) = A2 + e, A[jH- eA, iJLÎ -+- Af [ji3.
En posant (x = c > l'équation * ( [Ji) = o devient
A2X3-+-e,A.^X2-f-eAi.<2X t ^2^3= o.
Cette équation sera identique à F(X) = o, si l'on a
ce qui donne t = — ; donc la relation cherchée est X;jt. = — • La résolution Al Al
de F (X) = o entraîne donc celle de * (X) = o.
Si F(X) = o admet une racine double ou une racine triple, il en sera de
même de l'équation *ï>(X) = o et réciproquement.
520. D'après cette remarque, si deux coniques ont quatre points communs distincts, elles ont aussi quatre tangentes communes distinctes et, par suite, six ombilics.
Supposons maintenant que les deux coniques soient tangentes ou bitangentes. L'équation F(X) = o aura une racine double; il en sera donc de même de l'équation ^(X) = o. Deux cas peuvent se présenter : 1° la racine double donne un couple d'ombilics distincts toi, Wj. La racine simple donne nécessairement un couple d'ombilics distincts 103, C04 [on le voit en raisonnant comme pour l'équation F( X) = o]. Dans ce cas, il y aura trois tangentes communes. En effet, on démontre facilement, en raisonnant comme pour les sécantes communes, que l'un des ombilics, 0)3 par exemple, sera sur la ligne 0)10)2) de sorte que les tangentes communes sont 0)10)4, 0)20)4 et 0)10)2, dont le point de contact sera 0)3 et que l'on peut considérer comme la réunion de deux tangentes.
1° Si la racine double donne un couple d'ombilics confondus en un point o)i ; il n'y a plus que deux tangentes communes, qui sont 0)10)3 et 0)10)4, et les points 0)3, 0)4 sont respectivement les points de contact. Ces deux cas correspondent aux cas où les deux coniques sont tangentes ou bitangentes.
Supposons qu'il y ait une racine triple. Les coniques ont alors un contact qui est au moins du second ordre. Si le couple triple d'ombilics est formé de deux points confondus avec toi, wi est le point de contact des deux coniques, qui ont alors quatre tangentes confondues en une seule. Ce cas correspond évidemment au contact du troisième ordre. Si les ombilics sont distincts wi, 0)2, la droite wioj^ sera une tangente commune, et les points wi, w^ seront conjugués par rapport à /i, d'où il résulte que l'un des points, toi par exemple, sera le point de contact de 0)10)2; les deux coniques auront deux tangentes communes : 0)10)2 et une droite issue de 0)2. Ce cas correspond à deux coniques ayant un contact du second ordre.
Cas particuliers de l'intersection de deux coniques.
S21. 1° Coniques concentriques. — Considérons deux coniques concentriques et rapportons-les à deux axes passant par leur centre; leurs équations seront
Ax-+ -iBxy ■+- Cy^-^ F = o, Ai^2( ^j^^xy + Ctj--}- F, = o.
L'équation en X est alors
(F + XFi)[(A-i-XAi)(G-i-XCi) — (B + XBi)2] = o.
A la racine — ^ correspond un couple de droites passant par le centre;
à chacune des racines de l'équation
(A + XAi)(G+ XC,) — (B + XB,)2=o
correspond un couple de droites parallèles. Les coniques données sont donc circonscrites à un parallélogramme, ce qui est d'ailleurs évident a priori. Il est également évident qu'elles sont inscrites à un parallélogramme.
M° Coniques ayant un triangle autopolaire commun. — Soient
Aa2+Bp2|CY2z=o, A'a2+B'^2,G'Y2=o
les équations de deux coniques rapportées à un triangle autopolaire. L'équation en X est
(A-i-XA')(B + XB')(C + XC') =:o;
elle a, en général, ses trois racines distinctes. Pour qu'une racine soit double, il est nécessaire que l'un des déterminants AB' — BA', AC — GA' ou BC — GB' soit nul. Supposons, par exemple, BG' — GB'=o; dans ce cas, les coniques sont bitangentes, la corde des contacts étant la droite a= o; les tangentes communes passent par le point (i, o, o). Deux coniques ayant un triangle conjugué commun se coupent donc en quatre points distincts ou sont bitangentes.
Les équations des sécantes communes s'obtiennent aisément; en effet, les couples de sécantes communes sont donnés par les équations
(AB'- BA')pî- (GA'- AG')y«= o, (BC— CB')y» — (AB'— BA')a2=o,
(GA'— AC')a2 — (BC'--CB')ps=o.
On voit que les droites de chaque couple passent par un sommet du triangle conjugué, et sont conjuguées harmoniques par rapport aux côtés du triangle qui partent du même sommet.
Les équations tangentielles des deux coniques ont la même forme que leurs équations ponctuelles; on étudierait donc de la même façon les ombilics de ces courbes.
En particulier, si deux coniques ont un foyer commun, leurs équations peuvent se mettre sous la forme
et, par suite,
représentent deux sécantes communes qui sont conjuguées harmoniques par rapport aux deux directrices correspondant au foyer commun.
3° Coniques hoinothétiques. — Les équations des deux coniques étant
\x^-^'xBxy^Cy^-\--i.Tixz -hiEyz —Fz^ — o, A.r2-f- iBxy -\- Gy^-i-2Ï)'xz -i-^E'yz -r- F'z^ = o,
on voit que l'équation en X a une racine égale à — i; car, en retranchant membre à membre les équations des deux coniques, on obtient l'équation
z[i{D ~ D')x -r- liE — E')y -^ (F — F')z] ^ o,
qui représente deux droites, dont l'une à l'infini. Dans le cas où les deux coniques sont des cercles, il y a un couple de sécantes composé de la droite de l'infini et de l'axe radical; les autres couples sont formés de droites isotropes. Si les coniques sont concentriques et homothétiques, leurs équations peuvent se mettre sous la forme
Ax^-h-iBxy-^Cy^^F = o, Ax^-+- iBxy -h- Cy^-h F, = o
l'équation en X est alors
(F-^ XF,)(i-hX)^^o.
A la racine double — i correspond un couple double 2*= o, formé par la
F droite de l'infini, et à la racine simple — •=- correspondent les asymptotes;
les deux coniques sont bitangentes, la corde des contacts étant la droite de l'infini.
4° Coniques ayant un diamètre commun conjugué à une même direction. — Si l'on prend le diamètre donné pour axe des x, l'axe des y étant parallèle aux cordes que ce diamètre divise en deux parties égales, les équations des deux coniques sont
L'équation en X aura une racine égale à — p^» à laquelle correspondent deux sécantes parallèles à l'axe des^.
5" Coniques bitangentes à une même conique. — Soit y = o l'équation d'une conique et considérons deux coniques qui lui sont bitangentes et dont les équations sont f -i- a.^ = o, f -i- ^^ — o. En retranchant membre à membre, on obtient immédiatement un système de sécantes communes ayant pour équation a^ — ^2—0. Donc, quand deux coniques sont bitangentes à une troisième, deux de leurs sécantes communes forment un faisceau harmonique avec les cordes de contact.
Considérons une troisième conique représentée par l'équation y 4- y^ = o. En combinant ces coniques deux à deux, nous obtenons les cordes communes définies par les équations
ce qui
donne
quatre systèmes
foi
i*més de trois
droites concourantes :
Systèmes de coniques bitangentes à deux coniques données.
522. Soient y=o, fi=o les équations des deux coniques données. Les équations
sont celles de deux coniques respectivement bitangentes aux deux premières; ces deux coniques coïncident, si l'on peut déterminer une constante k telle que
ou
Or a2 — k^^ étant un produit de facteurs du premier degré, la constante — k est une racine de l'équation en X relative aux deux coniques.
D'après cela, soit Xi une racine de l'équation en X; de sorte que, en posant
on a
(a-,-Pv/-X~)(a-Pv/--"X;) -PQ.
Si l'on pose
a-t-fiv/-Xt = P/l'^,
on devra poser aussi
ce qui donne
L'équation qui est identique, comme on s'en assure aisément, à celle-ci :
représente une famille de coniques bitangentes aux deux coniques données. Cette équation peut s'écrire ainsi :
4!^/- (P(x-+-Q)2=o ou
(Jlî P2 -f- 1 [Jl( PQ - if) H- Q2 = o.
On vérifie que l'enveloppe de cette famille de coniques a pour équation
(PQ — 2/)2— P2Q2=o ou
/(PQ-/) = o,
c'est-à-dire
On obtient ainsi trois familles de coniques bitangentes aux deux coniques données. Par chaque point du plan, il passe deux coniques de la même famille. Ces coniques se confondent si le point donné est sur l'une des deux coniques y ou /,.
323. Application. — Si l'on rapporte un quadrilatère au triangle formé par ses diagonales, les équations des quatre côtés étant
on peut poser
on en conclut
de sorte que, en posant
a + p E= 2X v/|Ji, a — p = --— :, on obtient une équation de la forme
ou
X2(,fx) + Y2(i-i)=XS
et, en posant i — (ji = — >
c'est la forme trouvée déjà par d'autres méthodes.
EXERCICES
i. Démontrer que les directrices d'une conique sont les sécantes communes à cette conique et aux polaires des points cycliques. En déduire l'équation du faisceau des directrices d'une conique.
2. Trouver une conique D telle que la conique C soit à elle-même sa polaire réciproque par rapport à D.
3. Montrer que, si deux coniques C, C sont polaires réciproques par rapport à la conique D, il y a un triangle conjugué commun à ces trois coniques. Les coniques G et G' étant données, trouver la conique directrice D.
4. On donne une conique et un cercle de centre fixe et de rayon variable; trouver le lieu des points d'intersection des sécantes communes.
5. Former les équations de deux coniques de manière que l'équation en X ait des racines données.
