Mesure de la projection orthogonale d'un segment
1° Soit AB un segment qu'il s'agit de projeter sur X'X (Jig. i6).
Menons par A la parallèle Y'Y à X'X et
abaissons du point B la perpendiculaire BC
à celte parallèle. La projection orthogonale
de AB sur X'X est égale à AC
Nommons / la long^ueur absolue de AB et X' A ...
soit a l'angle que la demi-droite AB fait avec
la demi-droite AY, cet angle étant décrit dans le plan BAY, le sens
positif de rotation étant d'ailleurs quelconque.
Fig. i6.
La définition du cosinus donne
cosa = -ji
X étant l'abscisse du point C, l'origine étant au point A et la direction des X positifs étant celle de la demi-droite AY, c'est-à-dire du
segment X'X. On a donc
ABa:=/cos(AB, X'X).
2" Supposons en second lieu que l'on ait à considérer des seg-
Fig. 17.
nienls parallèles à une même droite Y'Y que nous pourrons toujours supposer menée par un point O de X'X {fig. 17). Nous pouvons remplacer ces segments par des segments de mêmes longueurs et de mêmes sens respectivement et portés sur Y'Y à partir du point O. Soit Ox\ l'un de ces segments et soit OB sa projection sur X'X. Enfin supposons que le sens positif des segments comptés sur Y'Y soit celui de OY et que le sens positif des projections soit celui de OX. Désignons par f) l'angle XOY, compris entre o et 7:. Je dis que, si l'on pose OA =jKj OB =z X, on a
X ■= y cosO.
En effet, soit / la valeur absolue du segment OA et supposons d'abord y'>ç>. Alors
X = /cosO,
puisque OA fait avec OX un angle égal à 0; et, comme y = /, on peut écrire
X = y cosO.
Si, au contraire, on suppose jK<o, OA fait avec OX un angle égal à ^ -{-T. ely = — /; on a donc
37 = /cos(0 + 7c) — (— j')x(— cosO) = /cosO :
donc, dans tous les cas,
ÔÂ^ = ÔÂcos(ÔX, Ôy).
36. Mesure de la projection oblique d' un segment. — Soient A, M, B trois points en ligne droite (y^^. i8), dont les projections, faites parallèlement à un même plan P sur l'axe X'X, sont a, m, b\ on a (33)
am AM ab ÂB d'où __
AM
X ab.
AB
Supposons que le segment AB soit pris pour unité; on voit que le
ÂM j • 1
rapport ^= est, en grandeur et signe, la mesure du segment AM. On peut donc dire que la projection d'un segment est égale au produit de la projection du segment de même direction pris pour unité, multipliée par le nombre positif ou négatif cjui mesure le segment que Von projette.
37. Définitions. — Étant donnés deux segments OA et OB de longuevirs absolues a, b et faisant entre eux un angle égal à a, nous appellerons produit géométrique de ces deux segments, et nous
représenterons par la notation cl b, le produit abcosoL.
Cela posé, si l'on considère deux axes X'X, Y' Y passant par O et
faisant un angle 9, de sorte que XOY = 9 (fs- '9)' ^' ^'^'^ prend sur X'X un point A ajant pour abscisse œ et sur Y'Y un point B ayant pour ordonnée j^, je dis que, si l'on pose
OA = a, OB = 6, AOB = a, on a, dans tous
les cas,
xy cos % = ab cos a.
Cela est évident si x = -|- a, y = -\- b et aussi quand a; = — a ely = — b, car dans ces deux cas a = 9. Or, quand x = — a et j)^= + b ou quand a: = -{- a et y = — b, on aa = 7t — 9; donc la proposition est établie.
Nous étendrons encore la définition précédente à deux segments quelconques AB, CD et nous représenterons par la notation AB CD lo produit
ABGDcos(ÂB, GÏÏ).
On dit alors que AB CD est le produit des deux ' vecteurs AB, CD.
Lorsqu'un segment A, A^ {fig' 20) est la résultante d'une ligne polygonale A, A,, . . . A„, nous écrirons, pour abréger.
AiA„= A,A2-l- AjAs-f-. ..-+- Art-iArt.
38. Théorème. — Soient a et b deux segments qui sont respectivement les résultantes des segments «,, a-^, ..., «« et 6,. b-i, . . . , bp, de sorte que
a = a, -f- «2 ■+-••• -i- ««, b = bi-\- b2-h. ..-h b,„
on a
la somme S s'étendanl à toutes les valeurs de h depuis i jusqu'à n et de k depuis i jusqu'à/?.
En effet, projetons orthogonalement sur b le segment a; la projection de a est égale à la somme des projections de ses composantes a, , «2i . . . , a,i'i on a. donc
a cos\a, b) = ai cos(ai, b) -h a, cos(a2, 6) +. . .-+- anCOs\a„, b) ou, en multipliant les deux membres par b,
ab cos(a, b) = Uib cos(ai, bj + a^b cos( a-i, b) -r-. . .-+- a^b cos(«„, b); on aura de même, puisque b est la résultante de è,, ^2, . . . , bp,
ai 6cos(a|, b) =ai biCOs\ai, bi) -{-ai b.2C0S\ai, bi)-h.,.-h ai bpCOS^ai, b,,),
aibcosya^, 6) = «2 6iCos(«2, 6,} -{-«2 ^2Cos(a2j 62) + ...-+- «2 ^pCos(aj, bp). • >
anbcos{an, b) = a,tbico?,\a,i, 61) -(-rt„62Cos(a,j, bi)-h...-haabpCOs{an, bp).
En ajoutant membre à membre ces n + i égalités et réduisant,
abcoiya, 6}= Ea^ô/, cos(a/j, bj^j ab ^= 1 ((/, . b/,..
on a
ou
39. Corollaire. — Si a = ^, en posant dans la formule précédente ah=: bh-, on aura
aa = 2 a/j . a/,
ou
a'^ = I.al-i-Q.Za/ia/,cos(a,t, a/,).
Systèmes de coordonnées.
Coordonnées rectilignes.
40. Soient {fig. 21) x'x, y' y deux droites qui se coupent au point O. Par un point M pris dans le plan de ces deux droites, menons une parallèle ky'yc^và rencontre x' x en A, et une parallèle à x' x qui rencontre j^'j^ en B. Le point M est déterminé dès que l'on connaît les deux segments OA et OB.
Nous conviendrons une fois pour toutes que le sens positif des segments comptés sur x' X sera celui de x' vers x., et sur y' y, de y' vers y. En outre, si Q est l'angle xOy, nous suppQserons le plan orienté de façon que la demi-droite Ox vienne coïncider avec Oy quand on la fait tourner d'un angle égal à 0 dans le sens direct; sur la figure précédente, le sens direct est indiqué par la flèche. Cela étant, nous appellerons abscisse de M la valeur algébrique du segment OA et ordonnée de M celle de OB; nous poserons
x=~(yk, j'=ÔB.
X el y sont les coordonnées de M, dans le système rectiligne Ox, Oy. Si a et è sont deux nombres positifs ou négatifs, le système d'équations x ^^ a., y = b détermine un point, et un seul, que l'on obtient en prenant sur x' x le point A tel que 0A= «, et snr y'y le
point B tel que OB = 6, puis mcuaut par A et B des parallèles aux axes x' X, y' y.
On doit remarquer que AM=y et BM=:^; le contour OAM se nomme le contour des coordonnées de M. Nous représenterons un point M ayant pour coordonnées «, b par la notation M(<7, 6), la première lettre entre parenthèses désignant toujours l'abscisse.
Quand 9 = 90", on dit que les coordonnées sont rectangulaires; dans le cas contraire, elles sont obliques.
On donne aux coordonnées rectilignes le nom de coordonnées cartésiennes, du nom de Descartes qui s'en est servi, le premier, dans sa Géométrie.
L'axe x' X se nomme l'axe des x ely'y l'axe des y.
Pour définir un système d'axes il suffit de donner les demi-axes positifs Ox, Oy.
41. Tous les points situés sur une parallèle à l'axe des j^ ont évidemment des abscisses égales, et réciproquement tous les points dont l'abscisse a une valeur déterminée a sont sur une parallèle à l'axe (\esy. On dit, pour cette raison, que l'équation x = a représente une parallèle à l'axe des j". En particulier, l'axe des y a pour équation ^ = o.
Pareillement j^ = b est l'équation d'une parallèle à l'axe des x, et y = o est l'équation de l'axe des x. Remarquons enfin que les coordonnées du point O sont x = o, y = o] ce point se nomme Vorigine des coordonnées.
Coordonnées polaires.
42. Soit OX {/ig. 22) une demi-droite tracée dans un plan orienté. Pour fixer la position d'un point M de ce plan, il suffit de donner la distance OM et l'angle que la demi- droite OM fait avec OX. Posons
p = OM, w = XOM.
Fig. 22.
On peut supposer p > o et w compris entre o et 271;
mais il est préférable de supprimer ces restrictions, p.
Considérons la droite indéfinie R'R qui passe par
les deux points O et M et fixons sur cette droite le sens positif;
3o CnAPITRE I.
supposons que ce sens soit celui de la demi-droite OR. Le point M sera déterminé si l'on connaît sa position sur l'axe R'R et la ])osition de OR. Soit a l'un quelconque des angles que OR fait avec OX, et soit a la valeur algébrique du segment OM compté sur l'axe R'R; les coordonnées polaires du point M sont
(]) p = a, là ■= "x-^ik-K.
Si, au lieu de OR, on choisit OR' pour demi-axe positif, le point qui a pour coordonnées '
(2) P = — a, OJ = a -h 2 A-' TT -+- TT
coïncide avec M. Ce point a donc deux infinités de coordonnées polaires définies par les formules (i) et (2), dans lesquelles k et k' sont des entiers arbitraires.
Le point O se nomme le pôle et OX V axe polaire.
43. Relations entre les coordonnées rectangulaires et les coordonnées polaires de même origine. — Soient OX, OY deux axes rectangulaires et OX, un axe polaire faisant avec OX un angle donné a {Jîg. 28) et supposons que le sens dans lequel les angles (o
sont comptés positivement soit le sens direct dé- ^^' fini par le système OX, OY. Soient p, w les coordonnées polaires de M. el x^ y ses coordonnées rectangulaires. Le segment OM est compté positivement dans la direction qui fait avec OX un angle égal à (o + a, et avec OY un angle égal à (co + a), à un multiple près de 27t, Donc, en
projetant sur OX, puis sur OY, le contour OAM et sa résultante OM, on a
a^ = p cos(w -(- a), y = p sin(a) -4- a),
d'où
.r« + j2=p2^ tang(to + a)= •^.
Autres systèmes de coordonnées.
44. Système hivectoriel. — On peut déterminer la position d'un pointMendonnantsesdistances w,ràdeuxpointsfixesO,0'(^^. 24).
A chaque syslème de valeurs positives de u, v telles que, a désignant la distance 00', on puisse construire un triangle ayant pour côtés M, s?^ a, correspondent deux points M, M' symétriques par rapport à 00' ; par conséquent, ce système de coordonnées ne peut convenir qu'à une figure qui admet la droite 00' comme axe de symétrie.
4o. Système biangulaire. — Le point M est encore déterminé si l'on se donne les
angles w, w' que les rayons OM, O'M font respectivement avec deux axes polaires ayant pour origines O et O'. On peut prendre, par exemple, comme axes polaires les demi-droites OX, O'X dirigées de O vers O' {Jig. 24). H n'est pas nécessaire d'ailleurs que les angles ti) et w' soient comptés positivement dans le même sens.
46. Syslème pôle-directiice. — Etant donnés {Jig. 25) un point O appelé pôle et une droite AB, appelée directrice, un point <[uelconque M est déterminé si l'on connaît ses distances au pôle et à la directrice. 11 convient de donner un signe au segment PM. Déterminons sur la perpendiculaire abaissée de O sur AB une demi-droile OX ; PAl sera regardé comme positif s'il est dirigé dans le même sens que OX et comme négatif s'il est dirigé en sens contraire; posons OM. = u, PM = t^, u étant positif. S'il existe un point M tel que u^=a^ ç> = b, le point symétrique M' aura les mêmes coordonnées u et v que M : ce système ne peut donc convenir qu'à une figure ayant OX pour axe de symétrie.
Fier. 20.
Relations entre la longueur d'un segmenf issu de l'origine, les angles qu'il fait avec deux axes do coordonnées rectilignes, les coordonnées de son extrémité, etc.
47. Soient O^, Oy deux axes et OM une demi-droite issue de l'origine. Cette demi-droite est déterminée en direction et sens,
si l'on connaît les coordonnées a, h d'un quelconque de ses points,
A. par exemple. Ces coordonnées se nomment coefficients ou paramètres directeurs de OM; on dit aussi que le point A est un point directeur. Quand on suppose que la longueur du segment OA est prise pour -^ unité, les coordonnées du point A sont appelées les paramètres principaux et le point A, point directeur principal.
Nous appellerons a l'un quelconque des angles de OM avec Ox
et ^ l'un quelconque des angles de Oy avec OM.
