Relations entre les angles a, [3, 9. — La formule
donne a + |^ = 9 + iktz.
On peut choisir pour a et ^ des déterminations telles que a-|- [3 = 9.
On déduit de là une relation importante. Menons une demidroite OL, et appelons \ l'angle (O^, OL). Projetons sur OL le contour OBA. des coordonnées du point A, et sa résultante OA. On obtient ainsi
(i) a cosX -I- è cos(X — 6)=^cos(X — a).
En donnant à \ successivement les valeurs o, 9, a, on trouve
(2) a -I- 6 cos6 = / cosa,
(3) a cos6 ^- 6 = Z cos^,
(4) a cosa + 6 cos^ = /.
Par hypothèse a, b, /ne sont pas nuls tous les trois, car le point A ne coïncide pas avec l'origine; il en résulte que le déterminant des coefficients de a, 6, / dans les équations précédentes est nul :
I cosO cosa cos8 I COSJ3 cosa cosp X
ou, en développant,
(6) cos^a -i-cos^^ — acosacosp cos6 = sin^O.
Lorsque 9 = -j celle relalion se réduitàcos^a-f- cos- ^ := i. Mais, dans ce cas, cos^ = slna; on retrouve donc une relation connue.
49. Réciproquement, si deux nombres p, q et l'angle des axes 0, vérifient la relation
p^-h q^ — 2pq cosO = sin^O,
Fig. 27.
il y a une demi-droite OM telle que
cos(Oa:, 0M)=/), cos(OM, Oj^) = <7.
En effet, prenons sur Ox un point C tel que OC =p et sur Or un point D tel que OD = q {fig. 27) et menons (iA et DA respectivement perpendiculaires à Ox et Oy\ ces droites se coupent en un point A; je dis que la demi-droite OM obtenue en joignant le point O au point A satisfait à la condition demandée. En effet, si l'on nomme a et ^ les angles (Oa:, OM) et (OM, Oj), on a, en remarquant que OC est la projection orthogonale de OA sur Ox et OD la projection orthogonale du
même segment OA sur Oy : p = /cosa, q = /cos^; en portant ces valeurs dans l'équation (7) et tenant compte de l'équation (6) on obtient /2 = I , c'est-à-dire / = i , puisque / désigne une longueur absolue; donc cosa=/?, cos;S = q, ce qui démontre la proposition.
50. Définition. — Les cosinus des angles a, [3 se nomment les cosinus directeurs de la demi-droite OM.
51. Problème. — Trouver une demi-droite dont les cosinus directeurs soient proportionnels à deux nombres donnés m, v.
Si nous posons cos(x. = 'ku, cos[3 = X^', il s'agit de déterminer "k de façon que cosa et cos[3 vérifient la relalion fondamentale; ce qui
donne
'k^(u^-hv^ — 2uvcos^) = sin'6,
d'où
£sin6 . , .
NlEWENOLOWSKI.
■ G. an., I.
2UV cos6
o4 CHAPITRE I.
Si l'on pose
R = -{- s/u^ -\- v'^ — -j. uv cos 6,
on obtient deux solutions
MsinO o psini
cos p
j , — MsinO „, — psinO [ cosa = -- , cosp = >
auxquelles correspondent deux demi-droites opposées, comme on le vérifie d'ailleurs au moyen de la construction indiquée au n" 49, puisque aux deux systèmes/?, q et — p, — q correspondent évidemment deux points A et A' symétriques par rapport à l'origine
ifig' 27)-
Il y a donc toujours une droite et une seule, ou deux demi droites
opposées, faisant avec les axes Ox, Oy des angles dont les cosinus
sont proportionnels à deux nombres donnés.
Quand Q = -, les formules se simplifient et deviennent
cosp
52. Connaissant a, 6, déterminer <x et [3. En posant ). = - -f- a, la formule (i) devient
d'où>
On en tire (10) tanga
On a de même
— a sina -+- h sin(6 — a) = o, h sina
a sin(6 — a) h sinO
a^ b cosO sin j3
et
tangp
b sin(0 — p) a sinô
