a cosO

Lorsque Q = -, ^ 2

tanea = — ■ ° a

PRËLlMmAIRRS. 35

Dans le cas général, la formule (9) peut être transformée de la manière suivante

sina — sin(6 — a) b — a sina-t-sin(0 — a) b -\- a ce qui donne

tanffia = -î tane-«

Celte formule permet de calculer a à l'aide des tables de logarithmes. On déduit encore de la formule (i), pour )v= - (i i) l sina = b sinO et pour \=z — \-%, (12) / sin ^ = a sinO.

53. Carré de la distance de l'origine à un point dont on connaît les coordonnées. — En multipliant les deux membres des équations (2), (3), (4) respectivement par «, 6, / et ajoutant, on obtient

/2 = a2 + 62-4-2a6 cosO et, SI y ^ - j

On obtient immédiatement ce résultat en remarquant que

l = a -\- b, d'où

Le polynôme a"^ -\- b^ -\- lab co?,^ ne s'annule pour aucun système de valeurs réelles de a et 6 autres que a = o, 6=0.

54. Angle de deux demi-droites dont on connaît les paramètres directeurs. — Soient OA, OA' deux demi-droites définies par les coordonnées [a, b) et (a', b') des deux points directeurs A, A'; en posant

V = (OA, OA'), a=(Oa?, OA), a' = (Oa:, OA'), / = OA, V=Ok.',

on sait que

V = a.' — a-i- %kTz

et que, par suite,

cosV = cos(a' — a), sinV = sin(a'— a).

Des formules précédentes et de

/ cosa = a -\- b cos6, / sina = 6 sin6, rcosa'= a'-+- 6'cos6, rsina'= è'sinô, on déduit

ircosY= aa'-h bb'-ir(ab'-h- ba')cos%,

W sinV = {ah' — 6a')sin6, c'est-à-dire

; ,, ,, «a'-i- 66'-f-(a6'-H 6a')cosO

(i3) cos V =

(i4) sinV =

Ya'2-f-6'2

ah' -

-ba'

sjâ^

«rV-

ah'

— ha!

y/a2|. 62| ^ah cos6 y/a'^ -H 6'^ -f- 2 a' 6' cos 6

{ah' — 6a')sin6 /a^ -1- 6^ -I- 2 a6 cos 0 v^oi'^ -t- 6'^ -1- 2 a' è' cos 6

d'où

(«6'— 6a')sin8

(i5) tangV = — } j:r, — -, — j-, 7— tt k'

^ ' ° «a -h 60 -h ( «6 -I- oa ) cos 0

Si les axes sont rectangulaires,

/ex Ar aa'-^bb'

(16) cosV =

(17) sinV =

Si l'on suppose OA = 0A'= i, et si les axes sont rectangulaires, on a

a = cosa, 6 = sina; a' = cosa', è'=sina'.

Le produit des vecteurs OA, OA' se réduit à cosV; donc

cosV= (a4- 6) (a'H- 6'); mais

a.a'= cosa cosa', 6.6' = sina sin«', a.h'—o, b.a'=o;

cos(a — a') = cosa cosa'-h sin a sina'.

C'est la formule fondamentale de la Trigonométrie.

55. Condition d'orthogonalité des droites OA, OA'. — Pour que OA et OA' soient orthogonales, il faut et il suffit que cos V = o,

ce qui donne la condition

(19) aa'-{- bb' -h (ab' -+- ba') cos^ =0,

et si e = -

(20) aa'-\-bb' = o.

56. Condition pour que les demi-droites OA, OA' soient confondues ou opposées. — Les deux demi-droites OA et OA' sont confondues si cos V = + i et opposées si cos V = — i . Dans les deux cassinV=o; donc, quel que soit l'angle des axes, on doit avoir

(21) ab' — ba' — o.

Réciproquement, si cette condition est remplie, cosV=it:i. Pour distinguer les deux cas, remarquons d'abord que, en vertu de l'équation (21), on peut poser rt'=)va, 6'=X6, \ étant arbitraire. Il en résulte que

cosV = —=•

Le dénominateur est un radical arithmétique; on doit donc prendre \/\- = )v si )^ >» o, et y/X^ = — \ si X <; o. Dans le premier cas cosV = + I et, dans le second, cosV = — i . Les deux demi-droites seront donc confondues ou opposées suivant que le coefficient de proportionnalité \ sera positif ou négatif.